第二十二章 四边形 易错训练与压轴训练（17易错+10压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十二章 四边形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　多边形的对角线问题 1 易错题型二　多边形的内角和与外角和 3 易错题型三　平行四边形的判定 5 易错题型四　平行四边形的性质 7 易错题型五　矩形的判定 10 易错题型六　矩形的性质 13 易错题型七　矩形的折叠问题 15 易错题型八　菱形的判定 18 易错题型九　菱形的性质 21 易错题型十　菱形的面积计算 25 易错题型十一　正方形的判定 29 易错题型十二　正方形的性质 33 易错题型十三　正方形的折叠问题 38 易错题型十四　中点四边形 38 易错题型十五　梯形与等腰梯形 38 易错题型十六　三角形、梯形的中位线 38 易错题型十七　平面向量的运算 38 压轴题型一 多边形的内角和与外角和综合 42 压轴题型二　平行四边形的判定与性质压轴 51 压轴题型三　特殊平行四边形的判定与性质压轴 57 压轴题型四　平行四边形中的折叠问题 63 压轴题型五　平行四边形中的旋转问题 69 压轴题型六　平行四边形中的最值问题 78 压轴题型七　平行四边形与一次函数综合 86 压轴题型八　平行四边形存在性问题综合 86 压轴题型九　三角形的中位线问题综合 86 压轴题型十　平面向量运算综合 94 02 易错题型 易错题型一　多边形的对角线问题 1．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【详解】解：由题可得． 故选D． 2．一个多边形的对角线共有条，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形对角线条数与边数之间的关系，根据边形的对角线条数进行求解即可，解题的关键是根据边形的对角线条数的公式列方程求解． 【详解】解：这个多边形的边数是， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴这个多边形的边数是， 故选：． 3．填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 4．小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3)54 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． （1）根据从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为条即可得出答案； （2）根据正n边形每个顶点可引出的对角线的条数为，正n边形对角线的总条数为即可得出答案； （3）根据（2）中的关系表达式，将代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为； （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次， 边形所有对角线的条数为； （3）解：将代入，得： ， ∴十二边形的对角线的条数为54． 易错题型二　多边形的内角和与外角和 5．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和的应用，利用内角和外角的关系求得，，，的和是解题的关键． 根据题意，由外角和内角的关系可求得，，，的和，由五边形内角和可以求得五边形的内角和，由此求出，选出答案． 【详解】解：根据题意得： ，，，的外角和等于， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：． 6．已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键． 延长并反向延长、、，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与各边的关系列出等量关系是，即可解出． 【详解】解：如图，分别延长、，相交于点G，分别延长、，相交于点H，分别延长、，相交于点M． ， ∵六边形的每个内角为，，，，， ∴六边形每个外角为， ∴、、、都是等边三角形， ，，， ， 设，， ， ， 即， ； 故答案为：164． 7．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． 8．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 易错题型三　平行四边形的判定 9．在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意； B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意； C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意； D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意． 故选B．    【点睛】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 10．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【答案】或 【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】设点P运动了t秒， ∴，，，， ①当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴； ②当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴， 综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 11．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)①或②或④（填一个即可）； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可； （2）添加①BE＝DF时，证明△ABE≌△CDF（SAS），求出AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，可得AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加②AFCE时，证明△ADF≌△CBE（AAS），可得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④∠BAE＝∠DCF时，证明△ABE≌△CDF（ASA），求出AE＝CF，AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加③不能得出四边形AECF为平行四边形． 故答案为：①或②或④（填一个即可）； （2）证明：如图， 添加①BE＝DF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AFCE时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵AFCE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加④∠BAE＝∠DCF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析 【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可； （2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 易错题型四　平行四边形的性质 13．如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 【答案】26 【详解】本题主要考查了平行四边形的性质， 首先根据平行四边形的性质和对角线的和求得的长，然后根据的长求得的长，从而求得的周长． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴的周长． 14．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由平行四边形对边平行得到，再由三角形内角和定理得到，据此推出，解之即可； （2）由（1）可得到，据此求出的长，进而求出平行四边形的面积，再根据等面积法求出答案即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为h， ∴， ∴， ∴和之间的距离为6． 15．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是的中点， ∴，， 同理得：，， ∵， ， ∴． 16．如图，在中，于点F，于点E． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，，，根据证出即可； （2）由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出的度数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，垂线定义，三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 易错题型五　矩形的判定 17．如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 18．如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，为矩形， 此时的长度为3． 故答案为：3 19．如图，在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，连接，请你添加一个条件，使得四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）    (1)你添加的条件是 ； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意添加条件即可； （2）先得到四边形是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行推理． 【详解】（1）添加，使得四边形是矩形， 故答案为：； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形． 20．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据分别平分，可得，从而得到，即可求证； （2）先判定四边形是平行四边形，然后根据分别平分，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵点在边的中点， ∴， 由（1）得：， ∴四边形是平行四边形， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 易错题型六　矩形的性质 21．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 22．如图，矩形中，，，作对角线的垂直平分线交、于、，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到的长，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵对角线的垂直平分线交、于、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 23．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 24．如图1，在矩形中，点P从点A出发，在边上以2cm/s的速度沿的方向运动，到点D时停止运动．在运动过程中，的面积与运动时间的函数关系如图2所示． (1)填空：______cm，______cm，______； (2)在点P的运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)6；4；5 (2)满足条件的的值为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，函数图象，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法结合三角形面积公式解决问题即可； （2）当点在线段上时，构建方程求出，再根据对称性可得结论． 【详解】（1）解：观察图可知，，，． 故答案为：6；4；5； （2）解：当点在线段上时，； 当点在线段上时，， ，此时， 当点在线段上时，根据对称性可知， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 易错题型七　矩形的折叠问题 25．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由矩形可得，，，，由折叠得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：B． 26．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    ∵在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 27．如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，延长交于点，由折叠可得：，，得到，推出，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 由折叠可得：，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 故答案为：． 28．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)如图1，若点在边上，的长为_______； (2)当三点在同一直线上时，求的长； (3)当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质可证四边形是正方形，即可求解； （2）根据折叠得到，在中运用勾股定理得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，即可求解； （3）根据题意可得，点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，当点三点共线时，的值最小，如图所示，在中运用勾股定理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着直线折叠得到，点在边上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵折叠，点三点在同一直线上， ∴， ∴，，， ∴， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴的长为； （3）解：∵折叠， ∴， ∴，， ∴点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴当点三点共线时，的值最小，如图所示， 在中，， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长，最短路径的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 易错题型八　菱形的判定 29．在平行四边形中，对角线，交于点，下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定和矩形的判定对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，即， 四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，该选项符合题意； D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 30．如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 31．如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点． (1)求证：； (2)连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明过程见详解 (2)添加条件：（答案不唯一） 【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到，运用边角边即可求证； （2）添加条件：，根据菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图所示， 添加条件：， 由（1）的证明可得，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴添加条件：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键． 32．如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)当满足时，四边形为矩形，理由见解析 (3)当满足时，四边形为菱形，理由见解析 (4)， 【分析】（1）先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，由平行线的性质得到，再由平行四边形的性质推出，据此可证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到要满足，则由三线合一定理可得要满足； （3）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得到要满足，则由对角线相等的平行四边形是矩形可得要满足； （4）结合（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴， ∴， ∴； （2）解：当满足时，四边形为矩形，理由如下： ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：当满足时，四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （4）解：当满足，时，四边形为正方形， 证明如下： 由（2）（3）可知可同时证明平行四边形是矩形且平行四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理是解题的关键． 易错题型九　菱形的性质 33．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键． 分两种情况：①如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值． 【详解】解：分两种情况： ①如果四边形是菱形，则．   ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为25秒时，四边形是菱形． ②如果四边形是菱形，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为7秒时，四边形是菱形； 故选：C． 34．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 【答案】 【分析】连接，，根据折叠性质可求出，设，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，判定出四边形为菱形，根据菱形面积的求解可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， ∵折叠，点D与点B重合， ， 设， ，， 在中， ， 解得：， ， ， ∵四边形是矩形，， ，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 35．已知：如图，矩形的对角线的垂直平分线与分别交于点E、O、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明，得，从而得出四边形为平行四边形，进一步由，即可证得结论； （2）根据勾股定理可得的长，进而可得菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得， 故菱形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和菱形面积的计算、勾股定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 36．如图，的对角线相交于点过点O且与分别相交于点E、F．连接． (1)求证：； (2)若的周长是18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）证明即可得到答案； （2）证明四边形是菱形，根据菱形的性质即可求出答案． 【详解】（1）证明：在中， ， 在和中， ∴ （2）解：， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ，即， 即 ， 即的周长是36． 易错题型十　菱形的面积计算 37．如图，四边形是平行四边形，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点和点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由作图方法得到，再证明四边形是平行四边形即可得到结论； （2）过点A作于H，则可得到，据此求出的长，进而求出的长，最后根据菱形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由作图方法可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明四边形是平行四边形，再由可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，从而得，即可求得，则，设与之间的距离为h，则可求解菱形的面积平行四边形的面积，而菱形的面积，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∵菱形的面积，平行四边形的面积， ∴菱形的面积平行四边形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积． 39．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵，     ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24． （3）∵，，， ∴ 设平行线与间的距离为， 则， 解得 故答案为；． 40．如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为． 易错题型十一　正方形的判定 41．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 42．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 43．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形 (3)当时，四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键． （1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论． （2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解． （3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 44．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形； （2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形． 【详解】（1）解：四边形是矩形理由如下， ∵，为的中点， ，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ．，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形； （2）解：当时，四边形为正方形， 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 易错题型十二　正方形的性质 45．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． (1)四边形是什么特殊的四边形？说明理由； (2)若，当 时，四边形是正方形； (3)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)28 【分析】此题考查的是正方形的判定与性质、菱形的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）先根据平行四边形的判定得四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可； （2）当时，四边形是正方形，利用勾股定理可得答案； （3）利用勾股定理及四边形周长公式计算可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，说明理由是： ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，如图， ∵在中，，， ∴，即， ∴（舍去负值）， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：； （3）解：在中，． ∵． ∴． ∴四边形的周长． 46．如图，在中，的角平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． （1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据平分，可得，进而得到，由此可判定四边形是菱形； （2）根据题意可得四边形是正方形，求出，可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：， 菱形是正方形， ， 在中，， 四边形的面积为∶． 47．已知，于点，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识．将翻折到，翻折到，延长交于点，推出四边形是正方形，设，则，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：将翻折到，翻折到，延长交于点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 由折叠的性质得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得，（舍， ． 由（1）知，， ． 48．如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形； （2）先证明，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 易错题型十三　正方形的折叠问题 49．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 50．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，使B、D恰好落在点M处，已知，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，解方程，熟练掌握性质和解方程是解题的关键．根据折叠性质，得，，根据正方形的性质，结合，证明，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据折叠性质，得，， ∴，， ∵正方形的边长是4，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 由勾股定理，得， （舍去）． 故， 故选A． 51．如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 【答案】112.5 【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 52．如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由正方形，折叠可知，，则，进而可证． （2）由题意知，．设，则．由勾股定理，得，即，计算求解，然后作答即可； （3）由（2）可知，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由正方形，折叠可知，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则． 由勾股定理，得，即， 解得，， ∴． （3）解：由（2）可知，，， ∴，即， 解得，． 易错题型十四　中点四边形 53．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)AC=BD，理由见解析 (3)AC⊥BD且AC=BD，理由见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理得到相应条件，即可得出结论； （2）根据菱形的判定和性质进行判断即可； （3）根据正方形的判定进行判断即可． 【详解】（1）解：证明：连接BD、AC交于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，EF∥AC，GH∥AC， ∴EH∥FG，EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）当AC=BD时， 由（1）得：HG=AC，EH=BD， ∴EH=GH， ∴四边形EFGH是菱形； （3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH既是矩形又是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 54．如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，□是 ；（填空即可） (3)当时，□是 ．（填空即可） 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)矩形，理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）平行四边形是菱形．理由如下： ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）平行四边形是矩形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的判定和平行四边形的判定等知识．理解和掌握菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 55．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 56．如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点． （1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件） 【答案】（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论； （2）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形， 理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点， ∴GH∥AD，GH=AD， 同理，EF∥AD，EF=AD， ∴GH∥EF，GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点， ∴EH=BC， ∵AD=BC， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形； （2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形， 理由如下：∵EH∥BC， ∴∠AEH=∠ABC， 同理，∠BEF=∠BAD， ∴∠AEH+∠BEF=90°， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为正方形， 故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 易错题型十五　梯形与等腰梯形 57．已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰梯形、等腰三角形的性质，轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质， （1）根据等腰梯形的性质和三角形的判定及性质可得直线即为等腰梯形的对称轴； （2）根据等腰梯形的性质得和，结合轴对称的性质得，即可知，则有成立． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作． 58．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 59．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 60．如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 易错题型十六　三角形、梯形的中位线 61．如图，在菱形中，对角线相交于点，为边的中点，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质．先根据菱形的性质得到，然后根据中位线的性质可得，即可求解． 【详解】解：菱形， ， 为边中点， ． 故答案为：4． 62．如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）过点O作于点F．根据矩形的性质可得，根据“等腰三角形三线合一”可得．再证明为的中位线，则可得．再根据平行四边形的性质可得，则可得，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点O作于点F． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即的长为． 63．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为的中位线，进而得到当时，最短，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一个动点， ∴当时，最小， ∵矩形， ∴， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 64．如图，在中，，平分交于点，点在上，连接，为的中点，，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 【答案】(1) (2)的长为或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定及其性质，解决本题的关键是根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半找到线段的长度之间的关系． 根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点是的中点，可知是的中位线，根据三角形的中位线定理可求的长度； 根据三角形中位线定理可得：当时，，因为点在直线上，所以要分点在线段；点在的延长线上；点在线段的延长线上，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：，， ， ，平分， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ； （2）解：由可知是的中位线， ， ， 如下图所示，当点在线段上时， 则； 如下图所示，当点在线段的延长线上时， 则， 如下图所示，当点在线段的延长线上时， 则， 此时的长度不等于， 不符合题意； 综上所述，的长为或． 易错题型十七　平面向量的运算 65．根据图中所给的向量，分别画出下列向量. （1）； （2）. 【答案】图形见详解 【分析】利用三角形法则进行作图. 【详解】解：根据三角形法则进行解题,图形见下图, 【点睛】本题考查了向量的作图,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键. 66．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．    （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 【答案】（1），;（2）原式，作图见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解； （2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC ∴ , ∵AE=2ED, ∴DF=AB,AE=AD, ∵, ∴,， ∴； （2） ， ; 如图，平行四边形ABCD，取AB的中点，则,， ∴, ∴    【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键. 67．如图，已知为内的一点，点、分别在边上，且.设，，试用表示. 【答案】 【分析】根据,推知DE∥BC，根据平行线分线段成比例来求． 【详解】∵，∴， ∵，∴ ∴，∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用. 68．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设，. (1)试用向量，表示下列向量：　 , 　 ． (2)求作：，. 【答案】(1) －,;(2)见解析 【分析】（1）根据三角形法则，由即可求得其值，由点D为边AC的中点，由即可求得其的值； （2）如图1，首先过点C作CE∥BD，且使CE=BD，连接BE，向量，同理作CF∥BD，且CF=BD，则. 【详解】（1）∵，， ∴＝－；＝； （2）如图所示： 【点睛】考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力．解题的关键是三角形法则的应用． 03 压轴题型 压轴题型一　多边形的内角和与外角和综合 69．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 70．（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2）仍然成立，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用、四边形的内角和是，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意∶同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先根据判，进而得出，，再根据判定，可得出 ； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 理由∶如图1，延长到点G，使，连接． ， ． ， ． 在与中 ． ，． ，， ． ， ． ，即． ． 在与中 ． ． ， ． （2）仍然成立．理由如下： 理由∶如图2，延长到点G，使，连接． ，， ． 在与中 ． ，． ， ． ， 在与中 ． ． ， ． （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接． ， ． ， ，即． 在与中 ． ，． ，， 在与中 ． ． ， ． ． 即． ． 71．在中，，为延长线上一点，点满足． (1)如图，当时，求的度数； (2)当时， ①如图，连接，过点作，垂足为点．试证明：； ②如图，直线与交于点，满足；为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． （1）先求出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，然后利用四边形的内角和求解即可得； （2）①先参考（1）的方法求出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，从而可得，然后利用定理即可得证； ②作点关于直线的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得当点在的延长线时，的值最大，最大值为，再证出是等边三角形，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 即的度数为． （2）证明：①∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②，证明如下： 如图，作点关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，，， ∴（当且仅当点在的延长线时，等号成立）， 即当点在的延长线时，的值最大，最大值为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 压轴题型二　平行四边形的判定与性质压轴 72．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 73．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长和面积分别为20和 【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形； 由平行四边形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长． 本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高． 【详解】（1）证明：， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， 故 ， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，四边形的周长， 又， ， ， ，，， ，， ， ，点D是的中点， ， 四边形的周长 74．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)35 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论； （2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论； （3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 压轴题型三　特殊平行四边形的判定与性质压轴 75．数学综合实践课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. 如图1，矩形和矩形重合，，.矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针方向旋转. (1)如图2，小红将矩形的顶点旋转至边上，求的长； (2)如图3，小红继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，、、在同一条直线上，你认为小红的发现正确吗?请说明理由； (3)在（2）的条件下，如图4，连接交于点，延长交的延长线于点，求的长． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，即可解答； （2）连接、，证明四边形是平行四边形，即可解答； （3）利用平行四边形的性质得到，，在通过勾股定理列方程解得的长，即可解答． 【详解】（1）解：四边形为矩形，矩形和矩形重合， ，， , （2）解：正确，理由如下： 如图，连接、， 根据题意可得， ， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 所以、、在同一条直线上； （3）解：根据（2）中可得四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 设， 、D、C在同一条直线上， ， 在中，利用勾股定理得， ， 可得方程，解得， ∴． 76．我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点旋转得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点旋转一定的角度得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点旋转得到，当各边与各边分别交于点、、、．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点、、、分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，，由题意得四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）作出如图的辅助线，由题干材料知，四边形是正方形，证明和，同理得到，推出四边形是菱形，再证明，根据正方形的判定定理即可得证； （3）分两种情况讨论，当重合和重合，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得特殊点的情况，即可求解． 【详解】（1）证明：作，，垂足分别为，如图， ∵将绕对称中心点O旋转得到， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：延长交于点，连接，如图， 由题干材料知，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， 同理，， ∵四边形是正方形， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 由全等三角形的性质得， 由对顶角相等知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：当重合时，如图， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当重合时，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，存在正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 77．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 压轴题型四　平行四边形中的折叠问题 78．【操作】如图， 矩形纸片中，， 点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为， 猜想，之间的位置关系为__________; 【探究】如图，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（在上，在上），使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点的对应点落在直线上，折痕为．   若，求证：； 当，，， 时，直接写出的长. 【答案】操作； 探究：见解析；． 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是，可得即可证明； 当时，过点作于点，则，，，易得，于是可得，则． 【详解】操作：解：， 理由如下： 四边形为矩形， ， ， 根据折叠的性质可得：，， ， ， ， ； 探究：解：四边形为矩形， ，， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， 在和中， ； ； 如下图所示，过点作于点， ，，， ，，， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，解决本题的关键是正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 79．如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)8或 (3)不改变，证明见解析 【分析】（1）本题先证明，得到，然后，即可求解； （2）分两种情况：①当与矩形的边平行时，根据平行证明为等边三角形，即可求解；②当与矩形的边平行时，证明垂直平分，即可求解． （3）在上的取点Q，；证明，当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，根据平行线间的距离处处相等，可得出结论． 【详解】（1）解：当点N落在线段上时，如图， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：分两种情况：①当与矩形的边平行时，如图， ∵， ∴， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； ②当与矩形的边平行时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为8或． （3）解：中点 到 的距离不变， 证明：如图，在上的点Q，，当，由（2）知边 的中点与点Q重合， ∵是等边三角形， ∴ 由翻折可知：， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M为的中点，点Q为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，如图， 根据平行线间的距离处处相等， ∴中点 到 的距离不变． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，掌握以上知识是解题的关键． 80．如图，在中，，将沿翻折至，连结，设与交于点． (1)利用图1求证：； (2)如图1，若，，，则______°，_____；如图2，若，，，与边相交于点，求的长； (3)若，，当长为多少时，有一个角为30°？请直接写出答案． 【答案】(1)见详解 (2)，； (3)的长度分别为6，9，12，18，有一个角为30° 【分析】（1）根据翻折和平行的性质，得出，即可由等腰三角形的判定得出结论． （2）对于图1，根据已知条件，借助辅助线求出和为等腰直角三角形，即可得出答案；对于图2，作于点，易得为等腰直角三角形，同上得到，然后在中，由勾股定理建立关于的方程，求解即可． （3）由题干图1和图2中的不同情形，通过假设某角为，借助（1），（2）的结论和方法得出，由直角三角形中特殊角的边角关系，求出和的数量关系，进而求出答案． 本题为三角形的综合题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同时也考查了平行四边形和图形翻折的性质，以及全面分析问题的能力．本题难度不是很大，但易丢分．熟练应用全等三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题关键． 【详解】（1）证明：根据题意，，则， 又由翻折的性质得，， ， ． （2）解：①如图1，作，垂足为点，则． ，， ， ． 为等腰直角三角形． ， 根据翻折的性质，，，． 又， ． 四边形为正方形． ， ． ， 为等腰直角三角形， ， 则． 故，． ②如图2，作于点， 根据翻折的性质，，，， ， ． 根据平行四边形的性质，，， ，， 在和中， ， ， ． 在中，， 即． 解方程，得． 故的长为． （3）解：对于图1，在中，点在上方时，在内． 根据前面结论，，则和为等腰三角形． ，， 又． ， 则． ，故只有和可能为．结合如图： 当时，在的延长线上， 则为的中垂线，，， 设 ∴ ∴； 当时，， 则为的中垂线， ∴ 对于图2的情况，在中，点在下方时，在内，同理可得． ，故只有和可能为．结合如图： 当时，， 则为的中垂线，； 当时，， 则为的中垂线，， ． 故的长度分别为6，9，12，18时，有一个角为． 81．小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①，② (3)的长为或 【分析】（1）结合菱形的对角线互相平分且垂直，得，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合矩形的对角线互相平分且相等，得，再根据勾股定理列式计算，即可得．②分别过点作的延长线，运用平行四边形的性质得，，再证明，得，，设，分别运用勾股定理列式，再整理得，即可作答． （3）运用勾股逆定理证明，再由（2）得，则，因为旋转，所以，因为，得，然后证明四边形是矩形，分别运用勾股定理算出两种情况的的长，即可作答． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴，， 则， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：①在矩形中，，， ∴ 则 ∴， ∵， ∴， ∴； ②分别过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别过点作的延长线， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，则， 在中，则， 在中，则， 则， （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 则（负值已舍去）， 则， ∵旋转， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∴在中，， ∴在中， ∴， 综上：当时， 的长为或． 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 压轴题型五　平行四边形中的旋转问题 82．如图四边形是边长为2为正方形，该正方形绕点顺时针旋转一个角度（）得正方形，连接、相交于点． (1)若旋转角为，求大小； (2)在旋转过程中， ①求证：； ②连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由旋转的性质结合等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理求出，由补角的定义即可求解； （2）①过点作交延长线于点，过点作垂足为，证明，推出，再证明，即可证明结论；②在①的基础上，过点作于点K，连接，易证是等腰三角形，推出，证明，是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一求出，求出，再证明，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作交延长线于点，过点作垂足为， 由（1）知， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，在①的基础上，过点作于点K，连接， 由旋转的性质得：四边形，四边形都是边长为2的正方形， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，即， 由①知：， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，即， 由①知，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 83．图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． (1)为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） (2)该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)应设计矩形感应带的边长为和 (2)可行， 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关的知识点，学会利用正方形和旋转的性质求线段长度是解题的关键． （1）由旋转的性质可知，绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上，则有，连接，则有，电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域，则有，结合题意即可求出矩形感应带的尺寸； （2）由题意“两次闪烁间隔3秒”，分析可得当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置，结合（1）中的结论可得，设与的交点为，进而推出，得到，当边上的传感器装在点处，则符合题意，所以方案可行，再利用正方形的性质求出的长即可解答． 【详解】（1）解：电子板在起始位置时，有， 绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上， 如图，连接，则有， 又电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域， ，， ，， 的最小值为，的最小值为， 尽可能节省材料， 应设计矩形感应带的边长为和． （2）解：方案可行，理由如下： 因为电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，并且指示灯两次闪烁间隔3秒，根据该方案，当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置． 此时，在（1）的条件下，在正方形的对角线上，点与点重合，，设与的交点为． ， ，，． 在正方形与中，、是对角线，， ，，， ，即，． 又， ． ，，即． 若边上的传感器装在点处，当电子版处于相对于初始位置旋转角为的位置时，则指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒，因此该方案可行． 在正方形中，，， ， 在中，， ． ． 84．如图，是正方形外一点，连接，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，连接． (1)如图所示，______与______互为全等三角形（写出一组即可）． (2)探究并回答下列问题： ①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； ③当的最小值为时，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1)与，与，与，与，与，（写出一组即可） (2)①当点在中点处时，的值最小；②与的交点即为所求点，理由见解析；③正方形的边长为 【分析】(1)根据证明三角形全等即可； (2)①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在的中点时，的值最小；根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长即可，③过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理即可求得正方形的边长． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 故答案为：与，与，与，与，与，（写出一组即可）； （2）解：①四边形为正方形， 对角线，互相平分， 点三共线，此时的值最小， 当点在中点处时，的值最小； (②如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小， 理由如下：连接，由(1)知，， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 根据“两点之间线段最短”可知，与的交点即为所求点，使得取得最小值，最小值为； ③如图，过点作交的延长线于， ， 设正方形的边长为， 则根据勾股定理得，， 在中， ， 解得，(舍去负值)， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能正确找出取线段和最小值时M的位置是解决此题的关键． 压轴题型六　平行四边形中的最值问题 85．请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． (1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． (2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． (3)【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 【答案】(1)150， (2)，正方形边长为 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，可求得的度数；过点B作，交的延长线于点M，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）可将绕点逆时针旋转，得到，进而可判断出是等腰直角三角形，可得；然后根据、、的长，利用勾股定理得到是直角三角形的结论，可得，即可求得的度数，进而可得的度数．过作的垂线，交的延长线于，易知是等腰直角三角形，即可得到、的长，进而可在中，利用勾股定理求得正方形的边长． （3）如图4中，先由旋转的性质得出，，，，，求出，由勾股定理求出，的长度，当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得出，如图， ，，，， 又， 是等边三角形， ，． ，， ， ， ，则是直角三角形， ； 过点B作，交的延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴等边三角形的边长为． 故答案为：150，； （2）解：如图， 将绕点逆时针旋转，得，则． ，； 连接， 在中， ，， ，； 在中，，，， ，即； 是直角三角形，即， ， ． 过点作，交的延长线于点；则是等腰直角三角形， ， ， ； 在中，由勾股定理，得； ，正方形边长为； （3）解：如图，将绕A顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕A顺时针旋转，得到， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点E作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是考查了旋转变换的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 86．如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． (1)将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． (2)如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)画图见解析； 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，再根据求出结果即可； ②证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可； （2）将绕点B逆时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明，根据当、、E、C四个点共线时，最小，得出最小，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】（1）解：①∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到，此时G，B，F三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． （2）解：将绕点B逆时针旋转得到，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴当、、E、C四个点共线时，最小，即最小， 根据旋转可知：， ∵等边中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 87．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． 压轴题型七　平行四边形与一次函数综合 88．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或或或 【分析】（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标； （2）先求出，根据，得，则有以下两种情况：①当点P在点A的右侧时，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标；②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，，，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案； （3）先求出点，点，则，，依题意有以下6中情况：①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标；⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出所有满足条件的点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：；； （2）解：在x轴上存在点P，使得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： 是的一个外角， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，如图2所示： ，，， 是的一个外角， ， ， ， ， 点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：对于，当时，，当时，， 点C的坐标为，点D的坐标为， ，， 当为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，如图3所示： ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，如图4所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，如图5所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，如图6所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，如图7所示： ， 四边形是矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； ⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，如图8所示： 四边形为矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为或或或或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 压轴题型八　平行四边形存在性问题综合 89．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 90．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕所在直线与轴分别交于点． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）根据点的坐标，结合勾股定理即可求解； （2）根据折叠可得，设，在直角中，根据勾股定理可得点的坐标，再根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，分类讨论，根据菱形的性质，等面积法求三角形的高的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：根据折叠可得，，，， 设，则，且， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴； （3）解：①如图所示，四边形为菱形，即， 由（2）可得，， ∴； ②如图所示，四边形是菱形，， ∴； ③如图所示，四边形是菱形，，过点作轴于点，作轴于点， ∴是等腰三角形，四边形是矩形， ∴，， 由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，待定系数法求解析式，勾股定理，等面积法求高的计算，折叠的性质等知识的综合运用是解题的关键． 91．将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段． (2)如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T． ①求证：； ②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①见解析；② (3)存在，或或 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）①由折叠的性质可知，，，证明，四边形是矩形，则，，，可得，进而可证；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可； （3）当时，，即，，则，，以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分当为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为边时，，如图1，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴线段的长为4． （2）①证明：由折叠的性质可知，，， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，， 由勾股定理得，，即， 整理得，； （3）解：当时，， ∴，， ∴，， ∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，，如图1，，重合，       ∴， 由平移的性质可得，； 当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则， 由平移的性质可得，； 当为边，为边时，，如图1，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴ 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴； 综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质是解题的关键． 压轴题型九　三角形的中位线问题综合 92．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M ，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)如图2，若线段上存在点（不与点B，M 重合）满足，连接 ，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先根据旋转的性质可得，，根据三角形的中位线定理可得，从而可得，再设，，根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键． 93．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）延长至D，使，连接，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题； （3）连接，取的中点，连接，由（1）可知，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】证明：（1）延长至D，使，连接， ∵点O是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 解：（2）在中， 、分别是、的中点， ，， 在中， 是中点， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，取的中点，连接， 由（1）可知， 则点到四边形四个顶点的距离均为，即， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∴点到四边形四个顶点的距离． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 94．已知：和均为等边三角形，连接，，点，，分别为，，中点． (1)当绕点旋转时，如图，则的形状为______； (2)在旋转的过程中，当，，三点共线时，如图，若，，求线段的长； (3)在旋转的过程中，若，（），则的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)是等边三角形； (2)； (3)的周长最大值为，最小值为． 【分析】（1）结论：是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明，再想办法证明即可解决问题； （2）如图中，连接、．在和中，解直角三角形即可； （3）首先证明的周长，求出的最大值和最小值即可解决问题； 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 如图中，连接、，延长交于，设交于点． ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（）， ∴，， ∵点，分别为，中点， ∴，， ∵点，分别为，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． （2）解：如图中，连接、． ∵， ∴， ∵是等边三角形，为的中点， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵、分别为，的中点， ∴． （3）解：存在．理由如下． 由（）可知，是等边三角形，，， ∴的周长， 在中，，， ∴的最小值为，最大值为， ∴的周长最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的三边关系、三角形的中位线、旋转性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题． 压轴题型十　平面向量运算综合 95．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度； （2）利用平面向量的三角形法则解答． 【详解】（1）如图， ∵DE∥BC，且DE=BC， ∴． 又AC=6， ∴AE=4． （2）∵，， ∴． 又DE∥BC，DE=BC， ∴ 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义． 96．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF (1)在图中画出向量的差向量并填空: . (2)图中与平行的向量是 . (3)若,用 表示= 【答案】（1）图见解析，；（2），；（3）. 【分析】（1）首先计算出，然后在图中画出即可； （2）根据题意不难证明四边形AECF是平行四边形，可得AE∥CF，问题得解； （3）根据，，代入计算即可. 【详解】解：（1）， 画出向量的差如图： （2）连接AC交BD于点O， 在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴与平行的向量是：，， 故答案为，； （3）∵， ∴，即. 故答案为. 【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的判定和性质，平面向量问题，熟记平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 158 / 159 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　多边形的对角线问题 1 易错题型二　多边形的内角和与外角和 3 易错题型三　平行四边形的判定 5 易错题型四　平行四边形的性质 7 易错题型五　矩形的判定 10 易错题型六　矩形的性质 13 易错题型七　矩形的折叠问题 15 易错题型八　菱形的判定 18 易错题型九　菱形的性质 21 易错题型十　菱形的面积计算 25 易错题型十一　正方形的判定 29 易错题型十二　正方形的性质 33 易错题型十三　正方形的折叠问题 38 易错题型十四　中点四边形 38 易错题型十五　梯形与等腰梯形 38 易错题型十六　三角形、梯形的中位线 38 易错题型十七　平面向量的运算 38 压轴题型一 多边形的内角和与外角和综合 42 压轴题型二　平行四边形的判定与性质压轴 51 压轴题型三　特殊平行四边形的判定与性质压轴 57 压轴题型四　平行四边形中的折叠问题 63 压轴题型五　平行四边形中的旋转问题 69 压轴题型六　平行四边形中的最值问题 78 压轴题型七　平行四边形与一次函数综合 86 压轴题型八　平行四边形存在性问题综合 86 压轴题型九　三角形的中位线问题综合 86 压轴题型十　平面向量运算综合 94 02 易错题型 易错题型一　多边形的对角线问题 1．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 2．一个多边形的对角线共有条，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 3．填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 4．小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 易错题型二　多边形的内角和与外角和 5．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ． 7．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 8．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 易错题型三　平行四边形的判定 9．在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 10．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 11．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 12．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 易错题型四　平行四边形的性质 13．如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 14．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 15．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形的面积为2，求的面积． 16．如图，在中，于点F，于点E． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 易错题型五　矩形的判定 17．如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ． 19．如图，在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，连接，请你添加一个条件，使得四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）    (1)你添加的条件是 ； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 20．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 易错题型六　矩形的性质 21．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 22．如图，矩形中，，，作对角线的垂直平分线交、于、，则的长为 ． 23．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 24．如图1，在矩形中，点P从点A出发，在边上以2cm/s的速度沿的方向运动，到点D时停止运动．在运动过程中，的面积与运动时间的函数关系如图2所示． (1)填空：______cm，______cm，______； (2)在点P的运动过程中，当时，求t的值． 易错题型七　矩形的折叠问题 25．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 26．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 27．如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 28．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)如图1，若点在边上，的长为_______； (2)当三点在同一直线上时，求的长； (3)当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 易错题型八　菱形的判定 29．在平行四边形中，对角线，交于点，下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 30．如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 31．如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点． (1)求证：； (2)连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 32．如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 易错题型九　菱形的性质 33．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 34．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 35．已知：如图，矩形的对角线的垂直平分线与分别交于点E、O、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 36．如图，的对角线相交于点过点O且与分别相交于点E、F．连接． (1)求证：； (2)若的周长是18，求的周长． 易错题型十　菱形的面积计算 37．如图，四边形是平行四边形，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点和点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若．求四边形的面积． 38．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 39．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 40．如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 易错题型十一　正方形的判定 41．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 42．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 43．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 44．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 易错题型十二　正方形的性质 45．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． (1)四边形是什么特殊的四边形？说明理由； (2)若，当 时，四边形是正方形； (3)若，，求四边形的周长． 46．如图，在中，的角平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 47．已知，于点，且，，求的长． 48．如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 易错题型十三　正方形的折叠问题 49．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 50．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，使B、D恰好落在点M处，已知，则的长为（       ） A． B． C． D． 51．如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 52．如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 易错题型十四　中点四边形 53．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 54．如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，□是 ；（填空即可） (3)当时，□是 ．（填空即可） 55．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 56．如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点． （1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件） 易错题型十五　梯形与等腰梯形 57．已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 58．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 59．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 60．如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 易错题型十六　三角形、梯形的中位线 61．如图，在菱形中，对角线相交于点，为边的中点，连接，若，则线段的长为 ． 62．如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 63．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 64．如图，在中，，平分交于点，点在上，连接，为的中点，，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 易错题型十七　平面向量的运算 65．根据图中所给的向量，分别画出下列向量. （1）； （2）. 66．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．    （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 67．如图，已知为内的一点，点、分别在边上，且.设，，试用表示. 68．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设，. (1)试用向量，表示下列向量：　 , 　 ． (2)求作：，. 03 压轴题型 压轴题型一　多边形的内角和与外角和综合 69．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 70．（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 71．在中，，为延长线上一点，点满足． (1)如图，当时，求的度数； (2)当时， ①如图，连接，过点作，垂足为点．试证明：； ②如图，直线与交于点，满足；为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系并证明． 压轴题型二　平行四边形的判定与性质压轴 72．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 73．已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 74．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 压轴题型三　特殊平行四边形的判定与性质压轴 75．数学综合实践课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. 如图1，矩形和矩形重合，，.矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针方向旋转. (1)如图2，小红将矩形的顶点旋转至边上，求的长； (2)如图3，小红继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，、、在同一条直线上，你认为小红的发现正确吗?请说明理由； (3)在（2）的条件下，如图4，连接交于点，延长交的延长线于点，求的长． 76．我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点旋转得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点旋转一定的角度得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点旋转得到，当各边与各边分别交于点、、、．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点、、、分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 77．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 压轴题型四　平行四边形中的折叠问题 78．【操作】如图， 矩形纸片中，， 点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为， 猜想，之间的位置关系为__________; 【探究】如图，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（在上，在上），使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点的对应点落在直线上，折痕为．   若，求证：； 当，，， 时，直接写出的长. 79．如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 80．如图，在中，，将沿翻折至，连结，设与交于点． (1)利用图1求证：； (2)如图1，若，，，则______°，_____；如图2，若，，，与边相交于点，求的长； (3)若，，当长为多少时，有一个角为30°？请直接写出答案． 81．小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 压轴题型五　平行四边形中的旋转问题 82．如图四边形是边长为2为正方形，该正方形绕点顺时针旋转一个角度（）得正方形，连接、相交于点． (1)若旋转角为，求大小； (2)在旋转过程中， ①求证：； ②连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 83．图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． (1)为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） (2)该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 84．如图，是正方形外一点，连接，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，连接． (1)如图所示，______与______互为全等三角形（写出一组即可）． (2)探究并回答下列问题： ①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； ③当的最小值为时，请直接写出正方形的边长． 压轴题型六　平行四边形中的最值问题 85．请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． (1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． (2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． (3)【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 86．如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． (1)将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． (2)如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 87．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 压轴题型七　平行四边形与一次函数综合 88．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 压轴题型八　平行四边形存在性问题综合 89．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 90．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕所在直线与轴分别交于点． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 91．将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段． (2)如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T． ①求证：； ②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．       压轴题型九　三角形的中位线问题综合 92．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M ，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)如图2，若线段上存在点（不与点B，M 重合）满足，连接 ，，求的度数． 93．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 94．已知：和均为等边三角形，连接，，点，，分别为，，中点． (1)当绕点旋转时，如图，则的形状为______； (2)在旋转的过程中，当，，三点共线时，如图，若，，求线段的长； (3)在旋转的过程中，若，（），则的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由． 压轴题型十　平面向量运算综合 95．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 96．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF (1)在图中画出向量的差向量并填空: . (2)图中与平行的向量是 . (3)若,用 表示= 31 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$