第二十二章 四边形【单元卷·考点卷】（22大核心考点）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十二章 四边形【单元卷·考点卷】（22大核心考点） 考点一 多边形的相关概念（共3题） 1．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 3．将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 考点二 多边形的内角和与外角和综合（共3题） 4．和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 5．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 6．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 考点三 平行四边形的判定（共3题） 7．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 8．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 9．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 考点四 平行四边形的性质（共3题） 10．如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，，则的长为 ． 12．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 考点五 平行四边形的判定与性质的应用（共3题） 13．在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 14．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    15．（1）如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______； （2）如图，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______． 考点六 矩形的判定（共3题） 16．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 18．如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 考点七 矩形的性质（共3题） 19．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点．    (1)求证：； (2)连接交于，已知，，求的长． 20．如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当四边形是矩形时，求的长． 21．如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点八 矩形中的折叠问题（共3题） 22．如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 23．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 24．折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 考点九 菱形的判定（共3题） 25．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 26．如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． (1)求证：； (2)连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与相交于点E．边、的长满足式子． (1)直接写出、的长； (2)求证：； (3)求点E的坐标； (4)若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 考点十 菱形的性质（共3题） 28．如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 29．如图，在菱形中，，直线垂直平分边，交于点E，交于点F，且，垂足为点G；    (1)求的度数； (2)若，求. 30．如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求点与线段之间的距离． 考点十一 菱形的面积计算（共3题） 31．如图，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上，连接，若，则四边形的面积为（   ）    A．64 B．48 C．32 D．16 32．如图，在矩形中，，点分别在边上，，连接，点分别在上（点G不与点A，点E重合），连接．若，则四边形的面积为 ． 33．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，直接写出四边形的面积． 考点十二 正方形的判定（共3题） 34．如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 35．如图：在中，，过点 的直线， 为 上一点，过点作，交 直线 于点 ，垂足为 ，连结 ，， (1)当点 是 的中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由 (2)在（1）的条件下，当等于多少度时四边形 是正方形？说明理由． 36．如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． (1)试探究，四边形是什么特殊的四边形； (2)当 时，四边形是正方形（不证明） 考点十三 正方形的性质（共3题） 37．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 38．在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为 ． ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 39．如图，在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 考点十四 正方形折叠问题（共3题） 40．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 41．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 42．【感知】如图①，在正方形中，点、分别在边，上，．求证：． 【拓展】在图①的基础，将沿翻折，点的对应点落在上，如图②．若，，则______． 【应用】如图③，在正方形中，点在边上，点在边上，将沿翻折，点的对称点落在边上，如图③．若，，则四边形的面积为______． 考点十五 中点四边形 （共3题） 43．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 44．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 45．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 考点十六 平行四边形的存在性问题（共3题） 46．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求A点坐标； (2)若点D的坐标为，将沿直线对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 考点十七 平行四边形的旋转问题（共3题） 49．如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示． (1)求证：． (2)在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． (3)当时，求BP的长． 50．情境  如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点F． 操作 （1）当时，四边形的形状为__________； （2）在旋转过程中，存在使点，，在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：； ②求出的长； 探究  （3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值，”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时的长． 51．【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 考点十八 平行四边形的最值问题（共3题） 52．如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 53．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 54．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 考点十九 梯形与等腰梯形（共3题） 55．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　） A． B． C． D． 56．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 57．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 考点二十 三角形、梯形的中位线（共3题） 58．在中，，为边上的高． (1)如图1，若的平分线分别交，于点F，E； ①当时，求的度数；②与相等吗？请说明理由． (2)如图2，若为的中点，交于点，，的面积为36，连接，则的面积为______． 59．如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 60．【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 (1)请完成教材的证明； (2)如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 考点二十一 平面向量 （共3题） 61．下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 62．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 63．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二十二 平面向量的运算（共3题） 64．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 65．材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 66．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．    （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形【单元卷·考点卷】（22大核心考点） 考点一 多边形的相关概念（共3题） 1．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故选：C． 2．如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 3．将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 考点二 多边形的内角和与外角和综合（共3题） 4．和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 【答案】 /270度 /240度 / 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，邻补角的性质，根据三角形的外角和定理，邻补角的性质逐一求解即可，掌握三角形的外角和定理，邻补角的性质是解题的关键． 【详解】解：题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴， 故答案为：；；． 5．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 6．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 考点三 平行四边形的判定（共3题） 7．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 8．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 9．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可； （2）由，得，再证明得，进而即可得到结论． 【详解】（1）或（填写一个答案即可）， 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：或（填写一个答案即可） （2）如图，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 考点四 平行四边形的性质（共3题） 10．如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，而，由，证明，求得，因为于点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， 故选：． 11．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2）解：根据题意得， ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ． 12．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 考点五 平行四边形的判定与性质的应用（共3题） 13．在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图像上点的坐标特征，先证明四边形平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得m值即可． 【详解】解：∵、、、四点的坐标依次为、、、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分， ∴一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点， ∵，， ∴则该平行四边形对角线的交点坐标为， 将代入中，得， 解得， 故选：A． 14．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 15．（1）如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______； （2）如图，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______． 【答案】（1）平行（2），证明见解析（3）6 【分析】本题考查了几何变换，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，过作是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，根据平行线的判定得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； （2）过作于，于是得到，由旋转的性质得到，，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； （3）设与之间的距离为，由已知条件得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：平行； （2）证明：如图，过作，交于，则， 由旋转的性质知，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3） 解： 由（2）知， 设与之间的距离为， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 考点六 矩形的判定（共3题） 16．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的判定定理、菱形的定义和菱形的判定定理等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，推导出，则四边形是菱形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可推导出四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，且，可证明四边形是菱形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可判断四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 18．如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得再证明然后证明即可得出结论； （2）证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵分别是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形． 考点七 矩形的性质（共3题） 19．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点．    (1)求证：； (2)连接交于，已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质． （1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，，再由勾股定理可得，从而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    由旋转性质得， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分． ，， ． （2）解：连接，   ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由勾股定理得，， ， ， ． 20．如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当四边形是矩形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的判定定理和矩形的性质是解题的关键． （1）证明，得到，则，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得， ∴． 21．如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值是秒 (2)存在，t的值是秒 【分析】（1）根据题意得出方程，求出方程的解即可； （2）画出符合条件的两种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 即当E运动到B点时，t的值是秒； （2）解：当时，如图1，过E作于，则， 由勾股定理得：， 解得：； 当时，如图2， 由勾股定理得：， 此方程无解； 即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得，此时t的值是秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角． 考点八 矩形中的折叠问题（共3题） 22．如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）根据折叠得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点纵坐标为8，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：沿折叠，， ， 四边形是矩形，， ， ， 设， 根据勾股定理得：， ∴， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， 即， ． 23．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、梯形面积等知识． （1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将的长求出； （2）根据S梯形=，将各边的长代入进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知，. ∵在中，   ∴. 在中，有， 即 解得， ∴. （2）由(1)知：， 梯形的面积. 24．折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】(1)，5 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； （2）解：为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点九 菱形的判定（共3题） 25．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及直角三角形斜边上的中线性质． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）添加，先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 26．如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． (1)求证：； (2)连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)或或平分（答案不唯一） 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判定定理； （1）根据平行四边形的性质得出，．进而利用证明三角形全等即可； （2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∴． （2）添加， 理由：∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 添加， 理由：∵， ， 在中 ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； 添加平分，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ． ∵是的中点， ∴，． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 综上所述：添加或或平分（答案不唯一）． 27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与相交于点E．边、的长满足式子． (1)直接写出、的长； (2)求证：； (3)求点E的坐标； (4)若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)点E的坐标为 (4)存在，满足条件的点Q坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长即可解决问题； （2）由折叠，得，根据矩形的性质，进而证明即可； （3）设，则，在中，，即可求出点E的坐标； （4）分三种情形，根据菱形的性质分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，的长满足式子， ∴，， ∴，； （2）证明：由折叠，得， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：在矩形中，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为； （4）解：如图， ∵，， ∴， ①当为菱形的边时， ， 故， ， 故； ②当为菱形的对角线时，， 设， 则， 在中， ， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，可得， 综上所述，存在，满足条件的点Q坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 考点十 菱形的性质（共3题） 28．如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和菱形的边的性质． （1）根据，，证明，得到结论； （2）根据菱形的性质证明，得到的度数． 【详解】（1）证明：由题意得，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 29．如图，在菱形中，，直线垂直平分边，交于点E，交于点F，且，垂足为点G；    (1)求的度数； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，，，然后可得，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴，； ∵直线垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵直线垂直平分边，， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在菱形中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键． 30．如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求点与线段之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，菱形性质，勾股定理等． （1）根据菱形性质得，，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可； （2）利用平行四边形和菱形性质可得，再得到，再利用勾股定理得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：四边形是菱形， ，， ， 点是的中点． ， ， 又，即， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ． 由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， 点与线段之间的距离为线段的长度． 由（1）知点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． ∴点与线段之间的距离为． 考点十一 菱形的面积计算（共3题） 31．如图，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上，连接，若，则四边形的面积为（   ）    A．64 B．48 C．32 D．16 【答案】D 【分析】先证明四边形为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质．解题的关键是证明四边形为菱形． 32．如图，在矩形中，，点分别在边上，，连接，点分别在上（点G不与点A，点E重合），连接．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，过作于，作于，求解，，设，则，可得，证明四边形是菱形，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过作于，作于， ∵矩形，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，菱形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 33．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）证明、为等边三角形，得出，，结合旋转的性质可得，，即可得证； （2）由题意可得平行四边形是菱形，得出，连接，作于，则，求出，由直角三角形的性质可得，再由面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，，，，，， ∴、为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 连接，作于，则， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 考点十二 正方形的判定（共3题） 34．如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的判定，菱形的判定： （1）先根据，证明四边形是平行四边形．根据角平分线、平行线的性质得出，根据等角对等边得出，可证四边形是菱形． （2）有一个角是直角的菱形为正方形，由此可解． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形． 又平分， ． 又， ， ， ． 四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形． 理由：由（1）得四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 35．如图：在中，，过点 的直线， 为 上一点，过点作，交 直线 于点 ，垂足为 ，连结 ，， (1)当点 是 的中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由 (2)在（1）的条件下，当等于多少度时四边形 是正方形？说明理由． 【答案】(1)四边形 是菱形，理由见解析 (2)当时，四边形 是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定； （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （2）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 36．如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． (1)试探究，四边形是什么特殊的四边形； (2)当 时，四边形是正方形（不证明） 【答案】(1)四边形是菱形 (2)当时，菱形是正方形 【分析】本题利用了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当时，，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：∵的垂直平分线为， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴四边形是菱形． （2）解：当时，菱形是正方形． 证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴菱形是正方形． 考点十三 正方形的性质（共3题） 37．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 38．在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 39．如图，在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)四边形的面积为24 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形． （2）欲证明四边形是正方形，因为第一问已经证明四边形是菱形，所以只需要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当时，，即四边形是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形是正方形，得出四边形为直角梯形，求出，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形， 理由如下：∵，， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∴菱形是正方形， （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 考点十四 正方形折叠问题（共3题） 40．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形， ，，， ， 解得． 故选：B． 41．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 42．【感知】如图①，在正方形中，点、分别在边，上，．求证：． 【拓展】在图①的基础，将沿翻折，点的对应点落在上，如图②．若，，则______． 【应用】如图③，在正方形中，点在边上，点在边上，将沿翻折，点的对称点落在边上，如图③．若，，则四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质勾股，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）根据正方形的性质得出，则，根据，得出，即可推出，即可求证； （2）易得，，用面积法得出，由折叠可得：，最后根据，即可解答； （3）易得四边形均为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理可得：，求出，最后根据四边形的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 由折叠可得：， ∴， 故答案为：； （3）过点H作于点P， ∵，四边形是正方形， ∴四边形均为矩形， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 考点十五 中点四边形 （共3题） 43．如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析； (2)，证明见解析 【分析】 （1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形为菱形，进而由中位线定理判定四边形的对角线垂直． 【详解】（1）解：平行四边形， 理由： ∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如图所示，    连接、、、，设与交于点O， 连接、， 由中位线定理得：，且， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴中点四边形为菱形， ∴， 故要镶嵌后的平行四边形为矩形， 则四边形需要满足的条件为． 【点睛】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 44．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 45．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 考点十六 平行四边形的存在性问题（共3题） 46．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)存在，t的值为6或 【分析】（1）根据时间、速度、路程之间的关系即可求解； （2）①证明四边形为平行四边形，则，设动点的运动时间为秒，则，，列方程并解方程即可求出答案；②证明四边形是矩形，则，据此列方程并解方程即可求出答案； （3）假设在线段上存在一点，使得使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形，分两种情况，画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴； （2）连接，如图所示， 若， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒，则，， ， 解得：，符合题意， 当，满足； ②∵， ∴与之间的距离为， 当时，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 解得 （3）解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 第二中情况如图， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程． 47．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 48．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求A点坐标； (2)若点D的坐标为，将沿直线对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是四边形为平行四边形，判断出是解本题的难点． （1）设，则，由勾股定理可知，，进而可列方程，即可求解； （2）由（1）可知，，则，可得，由题意可知，则，得，由对折可知，，，即可证明结论； （3）由（2）可知，得，进而可知，分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， 在中，， 则， 解得：，即：， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，则， 在中，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， 由对折可知，，， ∴四边形是平行四边形； （3）存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 由（2）得：，则， 由（2）得：，则， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 当点在上方时，过点作，则 ， ∴， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，，则， ∴此时点的坐标为； 当点在下方时，过点作，则 ， 同理，可得点的坐标为； 综上所述，存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 考点十七 平行四边形的旋转问题（共3题） 49．如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示． (1)求证：． (2)在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． (3)当时，求BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3) 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，，．即可证明； （2）由得到，又由即可证明结论； （3）由勾股定理得到．由得到，，证明四边形是正方形，得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：，，DE是的中位线， ，， ． 在和中， ． （2）不变． 如图1，设AB与CP交于点G． ， ， ， ． （3）如图2，在中，，， ． ， ，， 四边形是正方形， ， ． 50．情境  如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点F． 操作 （1）当时，四边形的形状为__________； （2）在旋转过程中，存在使点，，在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：； ②求出的长； 探究  （3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值，”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时的长． 【答案】（1）正方形；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）①证明，即可得出； ②根据，可得，根据勾股定理求得，即可求解； （3）根据题意补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图2 四边形是矩形， ，，， ，，， 在和中， ， ② ； 在中，由勾股定理得 ， （3）当旋转角大于直角则小于平角大于直角时，补全图形如图3； 同理，， ； 在中，由勾股定理得 ， 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 51．【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． （1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解； （2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②； （2）解：． 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴， （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 考点十八 平行四边形的最值问题（共3题） 52．如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 【答案】(1) (2)4 (3)作图见解析，的最小值为4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、轴对称、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称的性质求最值成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及已知条件可得，再根据线段的和差即可解答； （2）根据求解即可； （3）先说明直线是的垂直平分线，如图：连接，延长交于，然后说明当三点共线时，最小，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：∵面积为8的正方形和面积为2的正方形， ∴， ∴ （2）解∶ ∵，，， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴直线是的垂直平分线， 如图：连接，延长交于， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，且最小值为． 53．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 54．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 考点十九 梯形与等腰梯形（共3题） 55．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB，利用垂径定理可得BF＝BC＝1，OE＝1，设AE＝x，则OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，计算求出满足要求的，根据OA＝AE+OE，求出的值即可． 【详解】解：如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB， 在等腰梯形ABCD中， ∵OF⊥CB， ∴BF＝BC＝1， ∴OE＝1， 设AE＝x， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OB＝OA＝x+1， 由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12， 整理得2x2+2x﹣1＝0， 解得或（不合题意，舍去） ∴OA＝AE+OE＝+1＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰梯形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于利用垂径定理构造直角三角形． 56．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 57．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 考点二十 三角形、梯形的中位线（共3题） 58．在中，，为边上的高． (1)如图1，若的平分线分别交，于点F，E； ①当时，求的度数；②与相等吗？请说明理由． (2)如图2，若为的中点，交于点，，的面积为36，连接，则的面积为______． 【答案】(1)①；②相等；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）①根据直角三角形的性质得出，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， ②题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案； （2）取的中点G，连接，根据中位线的性质得出，，证明，得出，说明，根据，的面积为36，求出，最后根据求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：取的中点G，连接，如图所示： ∵点E为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为36， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，三角形面积计算，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出辅助线． 59．如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线求解； （2）先判断出，得出，同（1）的方法来求解； （3）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点，是，的中点， ∴，． ∵点，是，的中点， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，． ，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 同（1）的方法得， ∴． 同（1）的方法得，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时，面积最大， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． 60．【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 (1)请完成教材的证明； (2)如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）延长到使，连接．利用证，得到、，再证四边形是平行四边形．根据平行四边形对边平行且相等，结合，得出结论． （2）连接，根据中位线定理得，，然后理由勾股定理的逆定理得，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：延长至点G，使，连接， ∵点D、E分别是的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）如图，连接． ∵E、F分别是边、的中点， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造三角形中位线解决问题． 考点二十一 平面向量 （共3题） 61．下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【答案】B 【详解】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质根据题意，依次分析选项：对于、零向量有方向，故可得A错误；对于、符合零向量的定义，B正确；对于、符合零向量的性质，C正确；D错误；综合可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误； 对于、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确； 对于、零向量与任一向量共线，C正确； 对于、零向量与任一向量共线，D错误． 故选B． 62．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 与是等向量． 故选：． 根据等向量的定义判断即可． 本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 63．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD， ∴①向量与向量是相等的向量，正确． ②向量与向量是互为相反的向量，正确． ③向量与向量是相等的向量；错误． ④向量与向量是平行向量．正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量． 考点二十二 平面向量的运算（共3题） 64．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【答案】(1) ，；(2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题． （2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 65．材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 【答案】（1）(11,1)，；（2）证明见解析；（3）m<2 【分析】（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答； （2）利用两点间的距离公式和勾股定理逆定理进行证明； （3）利用向量的乘法法则求得a、b的值；然后代入不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】（1）∵A(−3，3)，B(8，4)， ∴AB=(8−(−3)，4−3)，即AB=(11，1)， |AB|= 故答案为：(11，1)； （2）当x=2时，A(−3，3)，B(8，4)，C(2，−2) 此时AB2=(−3−8)2+(4−3)2=122， AC2=(−3−2)2+[3−(−2)]2=50，BC2=(2−8)2+(−2−4)2=72． 得AB2=AC2+BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A(−3，3)，B(8，4)，C(x，−x) ∴AB=(11，1)，AC=(x+3，−x−3)，BC=(x−8，−x−4) ∴a=AB⋅AC=11x+33−x−3=10x+30 b=AC⋅BC=x2−5x−24+x2+7x+12=2x2+2x−12 ∴a+b=10x+30+2x2+2x−12=2x2+12x+18 ∴由a+b>m−2得到：2x2+12x+18>m−2 即：m<2x2+12x+20 ∴m<2(x+3)2+2 ∵2(x+3)2+2⩾2． ∴m<2 ∴使a+b>m−2恒成立的m的取值范围是：m<2 故答案为：m<2 【点睛】本题考查了向量的定义、向量的长度的计算公式、两点间的距离公式、向量的乘法法则和勾股定理逆定理． 66．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．    （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 【答案】（1），;（2）原式，作图见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解； （2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC ∴ , ∵AE=2ED, ∴DF=AB,AE=AD, ∵, ∴,， ∴； （2） ， ; 如图，平行四边形ABCD，取AB的中点，则,， ∴, ∴    【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键. 86 / 101 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$