9.1 正弦定理与余弦定理（10大题型提分练）（题型专练）高一数学人教B版必修第四册

9.1 正弦定理与余弦定理 题型一 正弦定理的应用--边角计算 1.在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，B＝60°，则A=（ ） A．45° B．45°或135° C．30° D．90° 2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3.在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 4.在中，内角所对的边分别为，已知，，则 . 题型二 三角形解的个数问题 5.在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 8.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 题型三 余弦定理的应用--边角计算 9.在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 . 10.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 11.设的内角所对边的长分别为，且． (1)求的大小； (2)若，，为的中点，求的长． 12.已知在中，，，． (1)求角的大小； (2)求的长； 题型四 正弦定理与余弦定理的综合运用 13.（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 14.（2024·全国·高考真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若D为AC边的中点，，，求b． 16.已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求； (2)若，，求. 题型五 判断三角形形状 17.（多选）已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（   ） A． B．， C．， D．， 18.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为 . 19.（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求B； （2）在△ABC中，试判断三角形△ABC的形状 20.已知三角形中，角所对的边分别为，且. (1)当，时，求的值； (2)判断的形状. 题型六 三角形外接圆问题 21.在中，角所对的边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B．4 C．8 D． 22.已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 24.已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 题型七 三角形面积计算问题 25.在中，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．24 D．48 26.在中，若，则的面积为 . 27.记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 28.在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型八 三角形周长计算问题 29.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 30.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 31.的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为中点，，，求的周长. 32.的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． (1)求； (2)若，求的周长． 题型九 三角形中的最值、范围问题 1.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围. 3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 4.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 5．在中，，，的对边分别为，，，且. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 6.在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 题型十 解三角形的其它综合问题 7．在中，角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)延长边到点，使，已知，且的面积为，求. 8.已知分别为三个内角的对边，. (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为锐角三角形？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 9.在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围． (3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 10.中，，． (1)角，所对的边为，，若，，求的长； (2)若，当的面积最大时，求． 11.在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 12．已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1 正弦定理与余弦定理 题型一 正弦定理的应用--边角计算 1.在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，B＝60°，则A=（ ） A．45° B．45°或135° C．30° D．90° 【答案】A 【分析】根据正弦定理，结合三角形边角关系，可得答案. 【详解】正弦定理，，且，. 故选：A． 2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理即可求解； 【详解】因为，， 所以， 由， 可得：， 故选：C 3.在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值. 【详解】因为， 由正弦定理，可得，所以， 又因为，所以，所以， 又由正弦定理，可得，即 因为，所以. 故选：A. 4.在中，内角所对的边分别为，已知，，则 . 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，即， 由正弦定理，可得， 又因为，所以， 因为，则，所以，解得. 故答案为： 题型二 三角形解的个数问题 5.在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 6.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 7.（多选）下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 【答案】ACD 【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由正弦定理，又， 所以，只有一个解，故不正确； 由正弦定理， 因为，所以，又， 所以只有一个解，故正确； 由正弦定理， 所以无解，故不正确； 由正弦定理，因为，所以， 又，所以有两个解，一个锐角和一个钝角，故不正确. 故选：. 8.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：BCD. 题型三 余弦定理的应用--边角计算 9.在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【详解】（1）因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. （2），则. ，则，. 所以. 11.设的内角所对边的长分别为，且． (1)求的大小； (2)若，，为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以，又，所以，所以． （2）由余弦定理， 所以，所以，所以，即， 在中，．    12.已知在中，，，． (1)求角的大小； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式和三角形的面积公式可得，结合角的范围即可求解； （2）由（1）求出，再根据余弦定理求的长即可； 【详解】（1）由题知：，， . ， ，即角的大小为. （2）由（1）知：，，且， . 由余弦定理可得， ，即的长为. 题型四 正弦定理与余弦定理的综合运用 13.（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 14.（2024·全国·高考真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若D为AC边的中点，，，求b． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）由（1）的结论，利用向量数量积的运算律，结合（1）中信息求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理，得，而， 所以. （2）由D是AC中点，得， 则， 即，解得， 由（1）得，，则，所以. 16.已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用两角和的正弦公式可求出的值，再利用正弦定理可得出的值. 【详解】（1）因为，即，可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）因为，，则， 由正弦定理得，解得. 题型五 判断三角形形状 17.（多选）已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】由已知可求，对于A，由内角和判断；对于BCD，由余弦定理判断即可. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 对于A，当时，，此时成为直角三角形，故A错误； 对于B，当，时， 由余弦定理可得， 所以， 所以，所以为锐角， 由，所以，此时成为锐角三角形，故B正确； 对于C，当，时， 由余弦定理可得， 解得，所以，所以为锐角， 由，所以，此时成为锐角三角形，故C正确； 对于D，当，时， 由余弦定理可得，即， 由于，方程无实根，所以不存在，故D正确. 故选：BC 18.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为 . 【答案】等腰三角形 【分析】先根据余弦定理和三角形面积公式对进行化简，得出角的值，再根据向量条件判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，移项可得， 由三角形的面积公式得. 将上述两个公式代入可得： ，所以. 所以，又因为，所以. 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量. 以这两个单位向量为邻边作平行四边形， 则其对角线平分（菱形的对角线平分一组对角）， 所以表示的角平分线方向的向量. 因为，所以的角平分线垂直于， 根据等腰三角形三线合一的性质可知. 所以是等腰三角形，又因为，所以，. 综上，三角形的形状为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 19.（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求B； （2）在△ABC中，试判断三角形△ABC的形状 【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形. 【分析】（1） 利用余弦定理代入化简得到，再结合范围得到B角即可； （2）利用二倍角公式和化简得到，再结合范围即得，即得结果. 【详解】解：（1）由知， ，而，所以； （2）由得，即， 所以，即， 所以，即， 而，所以，即， 所以△ABC是直角三角形. 20.已知三角形中，角所对的边分别为，且. (1)当，时，求的值； (2)判断的形状. 【答案】(1) (2)为锐角三角形 【分析】(1)由正弦定理通过边角互化将条件转化为角的关系，再通过三角恒等变换求角，再由正弦定理求，(2)由条件通过三角恒等变换判断，的正负，结合两角和公式判断的符号，由此确定三角形形状. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 则， 又，，， 所以， 所以 ， 因为，所以，， 所以 ， 所以，所以 ，， ， 由，得； （2）因为， 所以， 所以 ，又， 所以， 化简得， 所以 因为， 所以， 所以，， 所以 ， 又，，， 所以，，都为锐角， 所以为锐角三角形. 题型六 三角形外接圆问题 21.在中，角所对的边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得,故， 因此外接圆半径为， 故选：C 22.已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 24.已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 题型七 三角形面积计算问题 25.在中，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．24 D．48 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，再由勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：因为在中，， 由正弦定理可得， 所以, 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 26.在中，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】设所对的边为，则 由余弦定理可得：， 解得，所以的面积为. 故答案为：. 27.记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)为边上一点，若，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：对已知等式利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到，进而得到，即可求得；方法二：对已知等式由余弦定理可得，即可求得； （2）方法一：在和中，分别利用正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由三角形面积公式计算即可求得；方法二：过作，可得，由，得，在中，由余弦定理可得，由三角形面积公式计算即可求得；方法三：由与的面积之比为，又由三角形面积公式与的面积之比为，可得，在中，由余弦定理可得，由三角形面积公式计算即可求得. 【详解】（1）方法一：已知， 由正弦定理得，， 因为，所以， 由于，故，则， 而，因此. 方法二：由余弦定理得，， 所以， 而，因此 （2）方法一：由（1）及题设知，. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理得，，即， 则的面积. 方法二：过作，垂足为. 在中，，所以. 由于， 故，，得. 在中，由余弦定理得，，即， 则的面积. 方法三：由（1）及题设知，. 一方面，因为高相同，则与的面积之比等于， 另一方面，与的面积之比为， 所以，即. 在中，由余弦定理得，，即， 则的面积. 28.在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【详解】（1）因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. （2）由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 题型八 三角形周长计算问题 29.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）选①由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得；选②结合正弦定理边化角和同角的三角函数关系可得；选③由正弦定理边化角结合余弦定理可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【详解】（1）选①，， ， 又，，又，. 选②，， 又，， ，，. 选③，， ，即， ，，. （2），，，， 又，且， ，， ，， 所以的周长为6. 30.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 【答案】(1)； (2)10，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解. （2）利用余弦定理及三角形面积建立方程求出，利用正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】（1）在中，由及正弦定理 得， 即， 而，则，又， 所以； （2）由（1）知，， 由的面积为，得，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以的周长为10. 由正弦定理得的外接圆， 所以外接圆面积为. 31.的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为中点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值；方法二：利用余弦定理将角化边，得出，消去，得出结果. （2）方法一：利用已知条件和余弦定理，得出，题干已知条件有转化成，利用余弦定理得出，解方程得出再计算得出周长；方法二：利用，得出，由，得出，解方程得出，再计算得出周长；方法三：在和分别利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出，再计算得出周长. 【详解】（1）方法一：因为， 由正弦定理可得， 则， 所以， 因为在中，，所以. 方法二：因为， 由余弦定理可得， 所以， 因此， 因为，所以. （2）方法一：由已知条件得. 在利用余弦定理得. 所以， 由余弦定理得， 所以， 因此， 所以的周长为. 方法二：因为， 所以， 因此， 所以， 又由余弦定理得， 所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 方法三：在和分别利用余弦定理可得， 所以， 又由余弦定理得， 所以，所以， 又，所以， 所以的周长为.    32.的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以. （2）由（1）知，，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 题型九 三角形中的最值、范围问题 1.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 2.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. （2）由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. （3）在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理可得答案； （2）由余弦定理、基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以； （2）由余弦定理可得， 即， 所以，， 所以， 当且仅当时“”成立. 4.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将角化为边，利用余弦定理可求出角A，再利用已知条件即可求出，的值，再利用三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理可分别将边，用角B，C来表示，进而利用两角差的正弦公式、辅助角公式等即可求解范围. 【详解】（1），，即， ， ，，解得， ； （2）由（1）可知，正弦定理可得 ， 为锐角三角形，∴，解得 所以，所以， 所以 所以 即的周长的取值范围 5．在中，，，的对边分别为，，，且. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，从而利用正弦定理即可得解； （2）根据正弦定理得，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图像及性质即可得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又因为，则， 所以， 又，则，所以， 又，所以， 又，所以，解得. （2）由正弦定理得：，所以，， 所以， 又，， 所以， 则       ， 又因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则，所以， 即，故， 所以周长的取值范围为. 6.在中，，，分别为内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求三角形周长的最大值. (3)点在边上，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求得即可； （2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可求三角形的周长最大值； （3）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【详解】（1）， ，即， ，， . （2）因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， 可得， 所以三角形的周长最大值为. （3）根据题意可得， 平方可得. 整理得，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 题型十 解三角形的其它综合问题 7．在中，角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)延长边到点，使，已知，且的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式可得即可利用三角函数的性质求解， （2）利用余弦定理求解的长度，即可利用正弦定理求解. 【详解】（1）由 得 所以 由于，故,所以 ,故 所以； （2）因为，且 的面积为,所以的面积为， 所以所以AC = 2 ， 因为，所以, 在中， 由余弦定理得， 所以 , 由于， 所以. 所以, 在 中， 由余弦定理得， 所以 , 在 中， 由正弦定理得， 即 8.已知分别为三个内角的对边，. (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为锐角三角形？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，6 【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，即可求解，根据余弦定理求解，即可根据同角关系，结合面积公式求解， （2）根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：， 又因为，所以，解得. 所以. 由余弦定理得：， 由于所以， 所以. （2）由，可知，，要使得为锐角三角形， 则使角为锐角即可，即. 且，即. 由余弦定理得， 则， 解得，或， 结合，故 因为为正整数，所以的最小值为6. 9.在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围． (3)若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围. （3）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， ，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，而，由余弦定理， 得，当且仅当时取等号， 因此，解得，而，则， 故的周长的取值范围是. （3）由（2）得，设的内切圆半径为， 由，得， 由（1）及正弦定理，得，， 则， 由为锐角三角形，得，解得，， 则，因此，， 所以内切圆半径的取值范围为. 10.中，，． (1)角，所对的边为，，若，，求的长； (2)若，当的面积最大时，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用边化角和二倍角公式得，所以，或，分情况求的长； （2）根据题意，的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，显然当时，的面积最大，可得，再利用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，，所以，． 因为，根据正弦定理，可知， 由二倍角公式得：， 所以，或，即，或， ①时，因为，所以， 在中，根据余弦定理可得： ， 故； ②时，因为，所以是边长为6的等边三角形， 因为， 故， 解得． 所以，或； （2）因为， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆， 显然当时，的面积最大． 此时，，， 所以 ． 11.在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； 解法二：直接由余弦定理化简求解即可； （2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可； 解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可. 【详解】（1）由，得， 解法一：由正弦定理得， 又中，，所以， 所以， 于是， 又，所以， 又，所以. 解法二：由余弦定理得， 化简得， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）由是的平分线，得， 解法一：， 又， 所以 . 解法二：由得 . 即， 解得， 所以. 12．已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为18 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； （2）在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$