专题4.8 平行四边形单元提升卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

第4章 平行四边形单元提升卷 【浙教版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（24-25八年级·云南楚雄·期末）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 4．（24-25八年级·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25八年级·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 6．（24-25八年级·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 7．（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（   ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 9．（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是（　  ） A． B．14 C． D． 10．（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（24-25八年级·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 12．（24-25八年级·山西吕梁·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有 条对角线． 13．（24-25八年级·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 ． 14．（24-25八年级·广东中山·期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ． 15．（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， ． 16．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，E、F在边上，，连接交于G．，若，则线段的长为 ．      三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（2024八年级·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 18．（6分）（24-25八年级·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 19．（8分）（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 20．（8分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 21．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 22．（8分）（24-25八年级·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 23．（8分）（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给八年级的实践活动区域，八年级 生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形单元提升卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（24-25八年级·云南楚雄·期末）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可． 【详解】解：由正多边形外角和等于可得： ，， ， ， ∴． ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 5．（24-25八年级·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设的解析式为，且直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴的解析式为， 把代入得，， 解得， 在直线上，当时，， 解得， ∵， ∴直线要向右平移3个单位， ∴经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 6．（24-25八年级·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，规律探究图形的变化规律，发现规律是解题的关键． 罗列前十次发现规律，利用规律解答第2025次后动点的位置即可． 【详解】解：∵点，，分别是边长为2的等边三边的中点， ∴， 第一次移动到点， 第二次移动到点， 第三次移动到点， 第四次移动到点， 第五次移动到点， 第六次移动到点， 第七次移动到点， 第八次移动到点， 第九次移动到点， 第十次移动到点， ， 每9次一循环， ， 第2025次移动后动点的位置是点． 故选：A． 8．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键． 9．（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是（　  ） A． B．14 C． D． 【答案】B 【分析】过P作PH⊥OY交于点H，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°， ∴EP＝OD＝a， Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EH＝EP＝a， ∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝2，即a+2b的最小值是4； 当P在点B时，如图2， OC＝2，OA=4，AC＝BC＝， Rt△CHP中，∠HCP＝30°， ∴PH＝，CH＝， 则OH的最大值是：OC+CH＝2+3＝5，即（a+2b）的最大值是10， ∴a+2b的最大值和最小值的和＝4+10＝14， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 10．（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确． 【详解】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°． ∵F是AB的中点， ∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB． ∴AD=2AF． ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴BC=AB， ∴AF=BF=BC． 在Rt△ADF和Rt△BAC中， AD＝BA ，AF＝BC， ∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL）， ∴DF=AC， ∴AE=DF． ∵∠BAC=30°， ∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°， ∴∠DFA=∠EAB， ∴DFAE， ∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确； ∴AD=EF，ADEF， 设AC交EF于点H， ∴∠DAC=∠AHE． ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°， ∴∠AHE=90°， ∴EF⊥AC．①正确； ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴2GF=2GA=AF． ∴AD=4AG．故③正确． 在Rt△DBF和Rt△EFA中， BD＝FE，DF＝EA， ∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确， 综上，①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（24-25八年级·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设， 故答案为：． 12．（24-25八年级·山西吕梁·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有 条对角线． 【答案】35 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，首先根据其内角和求得其边数，然后利用对角线条数的求法求得对角线的条数即可． 【详解】解：∵其内角和为， 解得： ∴这个多边形所有对角线的条数是：． 故答案为：35． 13．（24-25八年级·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意A，C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点， ∴点A，点C关于原点对称， ∵， ∴， ∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度， 则顶点C的对应点C1的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 14．（24-25八年级·广东中山·期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF=AC，EF=AD=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解. 【详解】解：∵在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE=AF=AC=2.5，EF=AD=AB=1.5， ∴四边形ADEF的周长是(2.5+1.5)×2=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义． 15．（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， ． 【答案】或. 【分析】分两种情形列出方程即可解决问题 【详解】①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 16．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，E、F在边上，，连接交于G．，若，则线段的长为 ．      【答案】 【分析】取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，作于点R，在上截取，连接，证明四边形、、都是平行四边形，得到，，利用面积法求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 作于点R，在上截取，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求得是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（2024八年级·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 18．（6分）（24-25八年级·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义． （1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可； （2）根据图形利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：． 19．（8分）（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证明，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 20．（8分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）图1、过平行四边形的一个顶点作高，沿这条高裁剪，即可拼成一个矩形； （2）图2、沿短对角线裁剪，将两个三角形的长边重合，即可得到正方形； （3）图3、过一个顶点和长边的中点剪开，将得到的三角形旋转180度即可得到一个角为135度的三角形． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程． 21．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（8分）（24-25八年级·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 23．（8分）（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给八年级的实践活动区域，八年级 生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积． 【详解】解：（1）连接，，如图，   点是等边的内心， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 四边形的周长， ， 当时，最小，四边形周长最小，此时， 四边形的周长的最小值； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，    则，． 两点之间线段最短， ， 周长， 周长的最小值是， 、关于对称，、关于对称， ，，，，， ． ， ， ， 过点作，   ，， ． 即、、和的最小值为， 此时， 的面积为， 当的面积最小时，四边形的面积最大， 在中，，上的高（定角定高模型）， 当时，的面积最小，且最小值为， 四边形的面积最大值， 当，时，，得四边形为平行四边形， 此时平行四边形的面积四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$