精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题

哈师大附中2023级高二下学期4月月考数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 4. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 19 5. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的各项为正数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若等差数列满足，则（ ） A. 2025 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 11. 如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列{}是首项为3，公比为4的等比数列 B. 数列{}是首项为3，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 当n无限增大时，趋近于定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，，则__________. 13. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的值为__________. 14. 已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）且，求数列的前2n项和. 16. 已知数列满足（，），且. （1）求，，并证明数列是等比数列； （2）若，求数列的前n项和. 17. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者. （1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？ 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 不喜欢担任 合计 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量. 数据统计如表： 志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 60 参考数据，附：， 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，求数列的通项公式； （3）若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. （1）若，判断是否为数列； （2）若数列是数列，且，求数列的通项公式； （3）在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2023级高二下学期4月月考数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 2. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列前项和与的关系求出数列的通项公式，再分别求出、、的值，最后代入进行计算. 【详解】已知，当时，. 当时， .  当时，； 当时，； 当时，.  将，，代入可得： .  的值为. 故选：D. 4. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知求出，再结合前项和的意义求得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，， ， 所以. 故选：D 5. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线过点，结合题意可得答案. 【详解】，由题可得 注意到回归直线过点， 由题可得， 则. 故选：A 6. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7. 已知数列的各项为正数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 8. 若等差数列满足，则（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元线性回归的相关系数和决定系数的定义即可判断AB，根据独立性检验中随机变量的值的意义即可判断CD. 【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确； 对于B，关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越好，故B错误. 对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确； 对于D，因的观测值满足，则零假设成立，即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，先由求得，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：令，则，故当时，，故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D错误． 故选:AC 11. 如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列{}是首项为3，公比为4的等比数列 B. 数列{}是首项为3，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 当n无限增大时，趋近于定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为 ，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出． 【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确， 第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确， 因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是 ， 同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形， 于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积， 即， 于是可以利用累加的方法得到 将上面式子累加得 当时， ，故C错误，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出其前30项的和. 【详解】数列中，由，得， 因此，数列是周期数列，周期为3，， 所以. 故答案为：15 13. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的值为__________. 【答案】2或8 【解析】 【分析】根据下标和性质及求和公式得到，求出即可. 【详解】因为， 所以， ， 若使为整数，则是的因数， 因为，所以或. 故答案为：2或8 14. 已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差中项列出①式和②式，消元后求出，进而求出数列的公差，利用与的关系求得，进而得到，最后求即可. 【详解】因数列为等差数列，则，即，化简得：① 又因数列也为等差数列，则，即② 将①代入②：，两边平方整理得：，再两边平方，可得，解得， 故数列 的公差为，故，解得， 当时，，显然时符合， 故数列的通项公式为：， 则， 则 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）且，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）是等比数列，由已知条件求出，进而可求得的通项公式； （2）由（1）知，然后利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 16. 已知数列满足（，），且. （1）求，，并证明数列是等比数列； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1），，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令，根据已知条件得，，即可证明； （2）由（1）求得，利用错位相减法求前n项和即可. 【小问1详解】 由题意，，， 令，， 当时，. 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 即数列是以2为首项，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，则， 所以 则，① 两边同乘2得：，② ①②得： ， 所以. 17. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者. （1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？ 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 不喜欢担任 合计 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量. 数据统计如表： 志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 60 参考数据，附：， 【答案】（1）列联表如下： 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 10 15 25 不喜欢担任 20 5 25 合计 30 20 50 有关 （2），93.4千克.【解析】 【分析】（1）根据题意，列出列联表，再根据公式计算，对照临界表中的数据，比较即可得到答案； （2）由表中数据和参考数据，根据参考公式求得回归直线方程为，再将代入，即可求出结果． 【小问1详解】 零假设：居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别无关根据题意，列出的2×2列联表如下： 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 10 15 25 不喜欢担任 20 5 25 合计 30 20 50 则， 依据小概率值的独立性检验，不成立， 因此认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 由表中数据可知，，， ，又， 则，， ∴回归直线方程为. 当时，， 所以当志愿者为10人时，垃圾分拣量大约为93.4千克. 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，求数列的通项公式； （3）若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求出. （2）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出. （3）由（1）（2）的结论求出，利用作差探讨单调性，再按的奇偶求出的范围. 【小问1详解】 数列的前n项和为，由，得，解得， 当时，，整理得， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则化为， 当时，，两式相减得，即， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 令，则， 当时，，即， 当时，，则，递增，即， 当n是偶数时，由对任意正整数n恒成立，得，而递增， 即，且，因此； 当n是奇数时，由对任意正整数n恒成立，得， 而，当时，递增，即，因此，解得， 所以的取值范围是. 19. 若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. （1）若，判断是否为数列； （2）若数列是数列，且，求数列的通项公式； （3）在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 【答案】（1）是数列 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的求和公式求出，利用题中定义判断即可； （2）根据题中定义可得变形得出，当时，可得出，两式作差变形得出，结合等差中项法可知数列为等差数列，求出的值，可得出的公差，由此可得出数列的通项公式； （3）先由数列是数列，得出，当时，求出的值，当时，由得，两式作差推导出数列为等比数列，求得，可得出，结合裂项求和法可证得结论成立. 【小问1详解】 若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列， 则，所以， 且当，时，，， 即数列满足，所以是数列. 【小问2详解】 若数列是数列，设数列的前项和，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列， 因为，，所以，，解得， 所以，数列的公差为，所以. 【小问3详解】 若数列是数列，所以，所以，. 当时，，，则，解得， 当时，（ⅰ），（ⅱ）， （ⅰ）－（ⅱ）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以首项为、公比为的等比数列，可知， 由（2）知，则， ，所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $