七年级下册期中热考+压轴题型专项训练（考题猜想，31大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

七年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（31大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程（组）的定义 题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型三 选用合适的方法解二元一次方程 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型五 二元一次方程组的应用 题型六 二元一次方程组的特殊解法【压轴】 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题【压轴】 题型八 求直线围成的图形面积【热考】 题型九 与二元一次方程有关的错解/污染问题 题型十 解三元方程及应用 题型十一 定义与命题 题型十二 添加一个条件证明两直线平行 题型十三 补全两直线平行的证明过程 题型十四 证明两直线平行 题型十五 根据平行线的性质求角的度数 题型十六 根据平行线的性质探究角的关系【压轴】 题型十七 平行线的性质在生活中的应用 题型十八 根据平行线性质与判定求角度【压轴】 题型十九 根据平行线的性质与判定证明 题型二十 与平行线有关的折叠问题【压轴】 题型二十一 与平行线有关的旋转问题【压轴】 题型二十二 与平行线有关的定值问题 【压轴】 题型二十三 与三角板有关的角度计算问题【压轴】 题型二十四 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 题型二十五 三角形折叠中的角度问题【压轴】 题型二十六 与三角形角平分线有关的热考模型【压轴】 题型二十七 三角形内角和定理与外角和定理综合 题型二十八 利用概率公式计算概率 题型二十九 几何概率 题型三十 游戏公平性 题型三十一 利用频率计算概率 题型一 二元一次方程（组）的定义 1．（22-23七年级下·山东德州·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，试求m的值． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若是二元一次方程的一组解，则k的值是 ． 4．（22-23七年级下·山东泰安·期中）若方程组的解为，则点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 题型三 选用合适的方法解二元一次方程 6．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 7．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解方程组 (1) (2) (3) (4) 8．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解下列方程（组）： (1)（代入消元法）； (2)（加减消元法）； (3)； (4) 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 9．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 11．（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 12．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 题型五 二元一次方程组的应用 13．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·开学考试）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b时，则接收方对应收到的密码为A，B，双方约定：，，例如发出2，1，则收到4，7． (1)当发送方发出一组密码为2，3时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码11，16时，则发送方发出的密码是多少？ 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 16．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数 1 3 乙种货车辆数 2 4 累计运货物吨数 8 19 现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 18．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 题型六 二元一次方程组的特殊解法【压轴】 19．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 20．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题【压轴】 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 22．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 23．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值． （2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值． 题型八 求直线围成的图形面积【热考】 24．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 25．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 26．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与相交于点P，的函数表达式，点P的横坐标为，且交y轴于点． (1)求出点P的坐标； (2)求出直线的函数关系式； (3)求、与x轴所围成的的面积． 题型九 与二元一次方程有关的错解/污染问题 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 28．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 题型十 解三元方程及应用 29．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为元、元、元，购买这些学习用品需要元，经过协商最后以每种单价均下调元成交，结果只用了元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？ 30．（21-22七年级下·山东烟台·期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值． (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 题型十一 定义与命题 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 32．（2025七年级下·全国·专题练习）以下正确的命题共有（   ） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线与射线为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（22-23七年级下·山东德州·期中）下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②有公共顶点且有公共边的角是邻补角 ③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 题型十二 添加一个条件证明两直线平行 36．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有 ．（填序号） 题型十三 补全两直线平行的证明过程 39．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，已知，试说明与的位置关系． 解：． 理由：因为（已知）， 并且（________________）， 所以________（________________）， 所以（________________）． 40．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 41．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 题型十四 证明两直线平行 42．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 43．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知，，试说明：． 44．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知，分别平分，，且与互余，试说明． 题型十五 根据平行线的性质求角的度数 45．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，，则点到直线的距离是 ；点到直线的距离是 ． 46．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）如图，在四边形中，点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 47．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 题型十六 根据平行线的性质探究角的关系【压轴】 48．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 49．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 50．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点 在直线或上且不与点、、、重合． (1)若点在图（1）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (2)若点在图（2）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由． 题型十七 平行线的性质在生活中的应用 51．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 52．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 53．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 题型十八 根据平行线性质与判定求角度【压轴】 54．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 55．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 56．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，已知，现有，且轴，另一边所在直线交OA于点P． (1)如图①，当点A，P，E在同一条直线上时，即点P与点E重合时，___________． (2)当点A，P，E不在同一条直线上时，请结合图②③分别求出的度数． 题型十九 根据平行线的性质与判定证明 57．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 58．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图1，点F在线段上，点E在线段上，,． (1)试说明：； (2)如图2所示，延长到M，在,内部有一点P，连接．若，，求的度数． 59．（2025七年级下·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 题型二十 与平行线有关的折叠问题【压轴】 60．（23-24七年级下·全国·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 61．（23-24七年级下·广西南宁·期中）综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕． (1)如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 题型二十一 与平行线有关的旋转问题【压轴】 62．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 63．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当为角平分线时，求的度数； ②当时，求t的值． 题型二十二 与平行线有关的定值问题 【压轴】 64．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 65．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 题型二十三 与三角板有关的角度计算问题【压轴】 66．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 67．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 68．（23-24七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：，，）： 问题解决： (1)①若，则的度数为________； ②若，则的度数为________； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值及平行的边；若不存在，请说明理由． 题型二十四 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 69．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 70．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，平分，点在上，交的延长线于点．，，求的度数． 71．（18-19七年级·吉林长春·期末）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 题型二十五 三角形折叠中的角度问题【压轴】 72．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 题型二十六 与三角形角平分线有关的热考模型【压轴】 73．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 74．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在小学期间，同学们已经知道了“一个三角形的三个内角之和等于180°”这个基本事实，这将为你在解决下列问题中提供帮助．已知线段与相交于点O，连接，．    (1)如图1，试说明：； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作平分，交于点M，交的平分线于点P，交于点N，若，求的大小； ②如图3，若，，，且，，请直接写出，，之间的数量关系． 75．（21-22八年级上·山东青岛·期末） (1)探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，请确定∠A与∠E的数量关系，并说明理由； (3)探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，则∠A与∠F的数量关系，并说明理由； (4)解决问题：如图（d），在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F= . 题型二十七 三角形内角和定理与外角和定理综合 76．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 77．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 78．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】 已知，点A，B分别在上运动（不与点O重合）． 【问题思考】 （1）如图①，若分别是和的平分线，随着点A，B的运动，则 ． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若，则 ． ②随着点A，B的运动，的度数会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【问题拓展】 （3）如图③，在题（2）题干的基础上，如果，其余条件不变，随着点A，B的运动， ．（用含α的代数式表示）． 题型二十八 利用概率公式计算概率 79．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动如图所示的转盘一次，并根据所转结果付账． (1)分别求出打九折，打八折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付钱360元，请你分析他俩获得优惠的情况． 80．（23-24七年级下·山东烟台·期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块． (1)将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率； (2)若先从取出的这些牌中抽掉6张红桃和m张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，从中再随机抽出一张牌，若抽取黑桃牌的概率为，求m的值． 81．（23-24七年级下·山东济南·期末）“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 题型二十九 几何概率 82．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图．将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域，其中、两个区域为圆环，区域为小圆． (1)求出三个区域的面积： (2)若随机往装置内扔一粒黄豆，求黄豆落在区域的概率； (3)随机往装置内扔粒豆子，请问：大约有多少粒豆子落在区域？ 83．（17-18九年级下·全国·单元测试）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是______； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑． 84．（22-23七年级下·福建漳州·期末）在某次主题班会课上的一个抢答环节中，为了吸引同学，班长设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：每答对1道题的同学，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形）. (1)甲同学参与了抢答环节并答对了1道题，求他获得奖品的概率； (2)在原转盘的基础上将空白扇形涂色来增大三等奖的获奖概率，且使得每次转动转盘获奖的概率为，则需要再将几个空白扇形涂成绿色? 题型三十 游戏公平性 85．（22-23七年级下·山东济南·期末）甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张． (1)若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ (2)若抽到的数字是3的倍数，则甲获胜；若抽到的数字是5的倍数，则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 86．（20-21七年级下·山东济南·期末）小明和小亮在玩转盘游戏，如图所示，小明将一个转盘平均分成6份，转盘可以随意转动．    (1)请你求出指针指向3的倍数的概率； (2)如果游戏规定，若指针指向偶数，则小明胜利，指针指向奇数，则小亮胜利，你认为这个戏公平吗？为什么？ 87．（2025七年级下·全国·专题练习）五一劳动节假期期间，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司购买了前往A，B，C，D四地的车票，数量分别是20张、40张、30张、10张． (1)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取1张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），则员工小胡抽到去A地的概率是多少？ (2)若有1张车票，小王、小李都想要，于是决定采取抛掷一枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定车票给谁．具体规则：若抛掷后面朝上的数字是偶数，则车票给小王；若是奇数，则车票给小李．这个规则对双方是否公平？请简要说明理由． 题型三十一 利用频率计算概率 88．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： (1)请将数据表补充完整； 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.948 (2)画出发芽频率的折线统计图； (3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______． 89．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） $$七年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（31大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程（组）的定义 题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型三 选用合适的方法解二元一次方程 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型五 二元一次方程组的应用 题型六 二元一次方程组的特殊解法【压轴】 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题【压轴】 题型八 求直线围成的图形面积【热考】 题型九 与二元一次方程有关的错解/污染问题 题型十 解三元方程及应用 题型十一 定义与命题 题型十二 添加一个条件证明两直线平行 题型十三 补全两直线平行的证明过程 题型十四 证明两直线平行 题型十五 根据平行线的性质求角的度数 题型十六 根据平行线的性质探究角的关系【压轴】 题型十七 平行线的性质在生活中的应用 题型十八 根据平行线性质与判定求角度【压轴】 题型十九 根据平行线的性质与判定证明 题型二十 与平行线有关的折叠问题【压轴】 题型二十一 与平行线有关的旋转问题【压轴】 题型二十二 与平行线有关的定值问题 【压轴】 题型二十三 与三角板有关的角度计算问题【压轴】 题型二十四 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 题型二十五 三角形折叠中的角度问题【压轴】 题型二十六 与三角形角平分线有关的热考模型【压轴】 题型二十七 三角形内角和定理与外角和定理综合 题型二十八 利用概率公式计算概率 题型二十九 几何概率 题型三十 游戏公平性 题型三十一 利用频率计算概率 题型一 二元一次方程（组）的定义 1．（22-23七年级下·山东德州·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，试求m的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得 且， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 题型二 已知二元一次方程（组）的解求参数 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若是二元一次方程的一组解，则k的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．把代入二元一次方程得到关于k的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入二元一次方程得， ， 故答案为：5． 4．（22-23七年级下·山东泰安·期中）若方程组的解为，则点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，根据点的坐标判断点所在象限等知识，先根据二元一次方程组解的定义求出，即可判断出在第四象限． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得， ∴点在第四象限． 故选：D 5．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入 ，得 ， 解得 题型三 选用合适的方法解二元一次方程 6．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得：， 故方程组的解为： （2）解：， 由可得：， 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得， 故方程组的解为： （3）解： 得：， 得：， 解得：， 将代入，可得：， 解得； 故方程组的解为： （4）解：根据 整理可得： 由①式可得：， 将代入②，可得： 解得：， 则； 则方程组的解为：； 7．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）利用代入消元法解方程组即可； （4）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． （2）解：， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． （3）解：， 由②得，， 把③代入①得，， 解得：， 把代入③得，， 方程组的解为． （4）解：， 得，， 得，， 把代入②，得， 解得：， 方程组的解为． 8．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解下列方程（组）： (1)（代入消元法）； (2)（加减消元法）； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为； （3） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （4） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 9．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，乘方，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； （1）根据题意，可得，计算求解即可； （2）根据题意，将代入，即可求解和的值，进而求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 得， 将代入①，可得， 解得：， 则这个方程组的解为； （2）解：当时， 联立，可得：； 解得：； 则； 10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 11．（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得的值(用含的式子表示)是解题的关键．先用加减法求得的值(用含的式子表示)，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴． ∴． 解得：． 12．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：， 由得③， ∴， 由得，解得， 将代入③得，解得， ∴， 将代入①得， 解得． 题型五 二元一次方程组的应用 13．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 (2)有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·开学考试）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b时，则接收方对应收到的密码为A，B，双方约定：，，例如发出2，1，则收到4，7． (1)当发送方发出一组密码为2，3时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码11，16时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)0，13 (2)5，2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据发送方密码与接收方密码之间的关系列出方程组． （1）由题意可知，，代入，，即可求出接收方收到的密码； （2）由题意可知，，根据，可得方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）由题意得：，， 则，． 答：接收方收到的密码是0，13； （2）由题意得：， 解得：， 答：发送方发出的密码是5，2． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 16．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数 1 3 乙种货车辆数 2 4 累计运货物吨数 8 19 现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 【答案】货主应付运费元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，列二元一次方程组得到甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，由此得到货物的吨数，由此即可求解． 【详解】解：设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨， ∴，解得，， ∴甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨， ∵现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货， ∴共有（吨）货物， 如果按每吨付运费30元计算， ∴（元）， ∴货主应付运费元． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 18．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为：（平方厘米）． 题型六 二元一次方程组的特殊解法【压轴】 19．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 20．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可． 【详解】解： 设，， 方程组变形得：， 整理得：， 得：，即， 把代入得：， ， 解得：． 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题【压轴】 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 22．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（）当，且时，分别求出和即可， （）根据条件列出方程组即可求出的值； （）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）当，且时， ， ， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∴，； （3）∵任意数对经过运算又得到数对， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又均不为， ∴． 23．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值． （2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意，得，加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据题中的新定义得：，两式相加得：，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 （2）解：根据题中的新定义得： 两式相加得： 则 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组解题的关键． 题型八 求直线围成的图形面积【热考】 24．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程与一次函数的关系，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可得出点、、、的坐标，利用待定系数法求出直线、的解析式，联立两直线解析式构成方程组，解之即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的面积． 【详解】解：如图，点，，，，， 设直线的解析式为， 将点代入中，得， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线、的解析式成方程组：， 解得：， 点的坐标为， ． 25．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可； （2）根据的面积为10，得出，求出，根据A点坐标为，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴； 把代入得：， ∴； （2）解：∵的面积为10， ∴， 又∵， ∴． ∵A点坐标为， ∴点P的坐标为或． 26．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与相交于点P，的函数表达式，点P的横坐标为，且交y轴于点． (1)求出点P的坐标； (2)求出直线的函数关系式； (3)求、与x轴所围成的的面积． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式直线的交点坐标以及三角形的面积； （1）将点的横坐标代入到已知的直线中即可求得结果； （2）根据的解析式求出点的坐标，再设出的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式． （2）当时，设、分别交轴于点、，求出、与轴的交点坐标，就可以求出的值，再利用点的纵坐标就可以求出的面积． 【详解】（1）解：把，代入，得， 点 （2）设直线的函数表达式为，把、分别代入， 得， ，． 直线的函数表达式为． （3）把代入，得， ； 同理，把代入中，得， ， 又 ． 题型九 与二元一次方程有关的错解/污染问题 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 28．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 【答案】A 【分析】将x=-2代入方程2x+y=5中，求出■=9，将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，求出○=-2+9=7． 【详解】解：将x=-2代入方程2x+y=5中，得-4+y=5， 解得y=9，即■=9， 将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，得○=-2+9=7， 故选：A． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 题型十 解三元方程及应用 29．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为元、元、元，购买这些学习用品需要元，经过协商最后以每种单价均下调元成交，结果只用了元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？ 【答案】小明妈妈有三种不同的购买方法 【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设分别购买单价为元、元、元得到学习用品x件、y件、z件， 根据题意可得： 得：， 得：， 得：， ∴ ∵x、y、z都是正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴小明妈妈有三种不同的购买方法． 答：小明妈妈有三种不同的购买方法． 【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，根据题意正确列出方程组． 30．（21-22七年级下·山东烟台·期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值． (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3)-24 【分析】（1）直接由两式相加和两式相减即可求解； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，列方程组，求得，再根据购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需钱为5m+5n+5p=5(m+n+p),整体代入求解即可； （3）根据新定义列出方程组为，求得，再由新定义得，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：， 由①-②可得：， 由可得：； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由2×①-②可得， ∴． 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由3×①-2×②可得：， 即． 【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，整体思想，新定义问题，熟练掌握加减消元法解方程组、整体思想的应用、对新定义的理解与应用是解题词的关键． 题型十一 定义与命题 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 32．（2025七年级下·全国·专题练习）以下正确的命题共有（   ） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线与射线为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题的正误．利用确定直线的条件、及直线的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①过一点可画无数条直线，正确，符合题意； ②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条或1条直线，故原命题错误，不符合题意； ③射线与射线不是同一射线，故原命题错误，不符合题意； ④三条直线两两相交，必有1个或3个交点，故原命题错误，不符合题意， 正确的有1个， 故选：A． 33．（22-23七年级下·山东德州·期中）下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②有公共顶点且有公共边的角是邻补角 ③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据邻补角的定义，点到直线的距离，两直线的位置关系一一判断即可得出答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①是假命题． ②有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故②是假命题， ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③是假命题， ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故④是假命题， 故选：A． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【分析】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【详解】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 题型十二 添加一个条件证明两直线平行 36．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法一一判定即可． 【详解】解：①可得出纸条两边平行， ②，无法得出纸条两边平行， ③，，则，可得出纸条两边平行， ④，无法得出纸条两边平行， 故①③可得出纸条两边平行， 故选：B 37．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴，故符合题意； ②∵，∴，不能判断，故不符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故符合题意； ⑤∴，不能判断，故不符合题意； 综上，①③④都能判定， 故选：B． 38．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴（内错角相等，两直线平行），无法判定，故①不符合题意； ②∵，∴（内错角相等，两直线平行），故②符合题意； ③∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），无法判定，故③不符合题意； ④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故④符合题意； 综上，能判定的条件有②④， 故答案为：②④． 题型十三 补全两直线平行的证明过程 39．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，已知，试说明与的位置关系． 解：． 理由：因为（已知）， 并且（________________）， 所以________（________________）， 所以（________________）． 【答案】对顶角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，先因为，，得出，再结合同位角相等，两直线平行，证明，即可作答． 【详解】解：． 理由：因为（已知）， 并且（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行 40．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 41．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 题型十四 证明两直线平行 42．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，，，则，得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 43．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用，，，等量代换得出，即可判定． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 44．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知，分别平分，，且与互余，试说明． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键；先证明，，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵，分别平分， ∴，， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 题型十五 根据平行线的性质求角的度数 45．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，，则点到直线的距离是 ；点到直线的距离是 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）依据直线，可得到，即可得到； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵直线，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）， ∴点B到直线的距离是线段的长即4，点C到直线的距离是线段的长即3， 故答案为：4，3． 46．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）如图，在四边形中，点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定和性质， （1）先证明，推出，进而得到，推出，由此得到结论； （2）利用，得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 47．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 题型十六 根据平行线的性质探究角的关系【压轴】 48．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 49．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1) ； ； ； ； ； ； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 50．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点 在直线或上且不与点、、、重合． (1)若点在图（1）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (2)若点在图（2）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）过点作，利用两直线平行，内错角相等求解即可； （2）过点作，利用两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型十七 平行线的性质在生活中的应用 51．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 52．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 53．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型十八 根据平行线性质与判定求角度【压轴】 54．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 55．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 56．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，已知，现有，且轴，另一边所在直线交OA于点P． (1)如图①，当点A，P，E在同一条直线上时，即点P与点E重合时，___________． (2)当点A，P，E不在同一条直线上时，请结合图②③分别求出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，即可求解； （2）如图②，过点P作轴，可得轴，从而得到，即可；如图③，过点P作轴，可得轴，从而得到，即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：如图②，过点P作轴， 图② ∵轴， ∴轴， ∴， ∴； 如图③，过点P作轴，         图③ ∵轴， ∴轴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 题型十九 根据平行线的性质与判定证明 57．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 58．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图1，点F在线段上，点E在线段上，,． (1)试说明：； (2)如图2所示，延长到M，在,内部有一点P，连接．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据补角性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结果即可； （2）根据平行线的性质得出，根据，，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 59．（2025七年级下·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 题型二十 与平行线有关的折叠问题【压轴】 60．（23-24七年级下·全国·期中）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图①所示的长方行纸片，按如图②所示的方法折叠． (1)在图②的折叠过程中，若，则∠2的度数是 ． (2)如图③，在长方形中，为图②折叠过程中产生的折痕．与平行吗？请说明理由． (3)若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片（如图⑤），新的折痕有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查折叠问题，平行线的判定和性质： （1）折叠和平角的定义，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可； （2）折叠和平行线的性质，推出，即可得出结论； （3）折叠和平行线的性质，推出，得到，同理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 61．（23-24七年级下·广西南宁·期中）综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕． (1)如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握图形中线间的位置关系，角之间的关系是解答本题的关键． （1）①由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答；②由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答； （2）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系； （3）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系． 【详解】（1）①∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：∵是由折叠得到的， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 理由：由（1）知， 由折叠，知，， ∴， ∴． 题型二十一 与平行线有关的旋转问题【压轴】 62．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)垂直 (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，垂线的定义等等： （1）折叠的性质可得； （2）同理可得，由此可得，进而根据内错角相等，两直线平行得到； （3）根据平行线的性质得到，进而推出，由此可证明． 【详解】（1）解：如图②所示，由折叠的性质可得， ∴折痕与直线的位置关系是垂直； （2）解：如图③所示，同理可得， ∴如图④所示，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 63．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当为角平分线时，求的度数； ②当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①的度数为或；②或 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）过点P作，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴；      （2）当为角平分线时，则， 分两种情况：当时，此时的运动时间秒， ∴，这时； 当时，此时的运动时间秒， ∴，这时； ∴的度数为或； ②当即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 题型二十二 与平行线有关的定值问题 【压轴】 64．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 65．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型二十三 与三角板有关的角度计算问题【压轴】 66．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10秒后与重合 (2)经过秒或80秒后， (3)经过20秒时间与重合 (4)的值为或 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分平分时（上方、下方各一个角)，平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴秒后与重合； （2）解：分两种情况： 在上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过20秒后，； 在下方时，如图2.2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴经过20秒或80秒后，； （3）解：如图3所示： 则， ∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， ∵与重合， 则， 可得：， 解得：秒； 即经过20秒时间与重合； （4）解：分三种情况： ①平分时，此时在上方，如图4所示： ， ∴，无解； ②平分，此时在上方，如图5所示： ， ， 解得：秒； ③当平分时，如图6， ， ， 解得：； ④当平分时，如图7， ， ，无解； 故的值为或． 67．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作直线， ， ， ，， ， ． 68．（23-24七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：，，）： 问题解决： (1)①若，则的度数为________； ②若，则的度数为________； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值及平行的边；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)与互补，理由见解析 (3)存在，当时， 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，平行线的性质，解题的关键是看懂图中相关角的和差关系． （1）根据角的和差关系求解； （2）根据，，可得，即； （3）当且点E在直线的上方时，只能是，根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：①若， 则， ； ②若，则， ， 故答案为：①；②； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：能，． 当且点E在直线的上方时，边只可能与三角板的边平行，即， 此时． 题型二十四 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 69．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，理解平行线的性质和判定是解答关键． （1）根据由得到，然后证明出，得到； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后由平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵，平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 70．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，平分，点在上，交的延长线于点．，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数，垂直得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：，， 平分， ， ， ． ． 71．（18-19七年级·吉林长春·期末）【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）30，125；（2）；拓展： 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 探究：（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数； （2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数； 拓展：根据和的平分线交于点，可得，，再根据进行计算，即可得到的度数． 【详解】探究：（1），平分， ， 又， ； ，平分， ， 中，； 故答案为：30，125； （2）平分，平分， ，． ， ． ， ，． ． ， ． 拓展：和的平分线交于点， ，， ． 题型二十五 三角形折叠中的角度问题【压轴】 72．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二十六 与三角形角平分线有关的热考模型【压轴】 73．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 74．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在小学期间，同学们已经知道了“一个三角形的三个内角之和等于180°”这个基本事实，这将为你在解决下列问题中提供帮助．已知线段与相交于点O，连接，．    (1)如图1，试说明：； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作平分，交于点M，交的平分线于点P，交于点N，若，求的大小； ②如图3，若，，，且，，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想求角度计算． （1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图2，    ∵平分，平分 ， ∴ 由（1）得：， ， 两式相加得：， ∴， ∴， ②如图3，    设，， ∵， ∴，， 由（1）得：，， 即， ∴， ∴， 即． 75．（21-22八年级上·山东青岛·期末） (1)探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，请确定∠A与∠E的数量关系，并说明理由； (3)探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，则∠A与∠F的数量关系，并说明理由； (4)解决问题：如图（d），在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F= . 【答案】(1)∠D＝90°＋∠A，理由见解析； (2)∠E＝∠A，理由见解析； (3)∠F＝90°−∠A，理由见解析； (4)15.5° 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出∠D和∠A与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠A和∠E与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠A和∠F与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：∠D＝90°＋∠A； 理由：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， 设∠DBC＝∠DBA＝α，∠DCB＝∠DCA＝β， 则∠D＝180°−（α＋β），∠A＝180°−2（α＋β）， ∴α＋β＝180°−∠D，α＋β＝90°−∠A， ∴180°−∠D＝90°−∠A， ∴∠D＝90°＋∠A； （2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM， 设∠ABE＝∠CBE＝α，∠ACE＝∠MCE＝β， 由三角形外角的性质可得：2β＝∠A＋2α，β＝∠E＋α， ∴∠A＝2β−2α，∠E＝β−α， ∴∠E＝∠A； （3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ， 设∠PBF＝∠CBF＝α，∠QCF＝∠BCF＝β， 由三角形外角的性质可得：2α＋2β＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°＋∠A，α＋β＝180°−∠F， ∴α＋β＝90°＋∠A， ∴90°＋∠A＝180°−∠F， ∴∠F＝90°−∠A， 故答案为：∠F＝90°−∠A； （4）由（1）（2）（3）的结论可得：∠D＝90°＋∠A＝118°， ∴∠E＝90°−∠D＝31°， ∴∠F＝∠E＝15.5°， 故答案为：15.5°． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练使用这些定理去推导角的关系是解题关键． 题型二十七 三角形内角和定理与外角和定理综合 76．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 【答案】25，三角形内角和定理，115；（1），（2）49 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：教材呈现：∵平分（已知）， ∴， 同理可得 ， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 77．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2， ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 故答案为：，，． （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴，，平分，平分， 则平分， ∴ ∴ ∴． 78．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】 已知，点A，B分别在上运动（不与点O重合）． 【问题思考】 （1）如图①，若分别是和的平分线，随着点A，B的运动，则 ． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若，则 ． ②随着点A，B的运动，的度数会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【问题拓展】 （3）如图③，在题（2）题干的基础上，如果，其余条件不变，随着点A，B的运动， ．（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①；②不变，为；（3） 【分析】（1）由题意知，，由分别是和的平分线，可得，根据，计算求解即可； （2）①由，可得，由是的平分线，是的平分线，可得，，根据，计算求解即可；②同理①求解作答即可； （3）同理（1），，同理（2），根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴度数不变，为； （3）解：同理（1），， 同理（2），， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，邻补角等知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，邻补角是解题的关键． 题型二十八 利用概率公式计算概率 79．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动如图所示的转盘一次，并根据所转结果付账． (1)分别求出打九折，打八折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付钱360元，请你分析他俩获得优惠的情况． 【答案】(1)， (2)①一个不打折，一个打八折；②都打九折；两种情况 【分析】（1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意可得，；； （2）解：（元）， （元）， （元）， （元）， 他俩获得优惠的情况分为：①一个不打折，一个打八折；②都打九折；两种情况． 80．（23-24七年级下·山东烟台·期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块． (1)将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率； (2)若先从取出的这些牌中抽掉6张红桃和m张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，从中再随机抽出一张牌，若抽取黑桃牌的概率为，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查概率公式的应用． （1）共有种等可能结果，其中出现红桃的有种结果，利用概率公式计算可得； （2）共有种等可能结果，其中出现黑桃的有种结果，利用概率公式列式求解可得； 解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：∵， ∴从中随机抽出一张牌，共有种等可能结果，其中出现红桃的有种结果， ∴从中随机抽出一张是红桃的概率是； （2）∵， ∴抽掉6张红桃和m张黑桃后，桌面上共有张牌，其中黑桃有张， ∴从中再随机抽出一张牌，共有种等可能结果，其中出现黑桃的有种结果， 又∵抽取黑桃牌的概率为， ∴， 解得：， ∴m的值为． 81．（23-24七年级下·山东济南·期末）“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【答案】(1)个 (2) (3) (4)人 【分析】此题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式． （1）用球的总数乘以红球的概率即可求解； （2）设白球有个，则黄球有个，根据题意列出方程求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，根据概率公式求解即可； （4）用乘以白球的概率即可求解． 【详解】（1）解：红球的个数为： （个）； （2）设白球有个，则黄球有个， 根据题意得：，       解得：， 摸出一个球是白球的概率为：； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化， 从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是； （4）获得一等奖的人数：（人）． 题型二十九 几何概率 82．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图．将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域，其中、两个区域为圆环，区域为小圆． (1)求出三个区域的面积： (2)若随机往装置内扔一粒黄豆，求黄豆落在区域的概率； (3)随机往装置内扔粒豆子，请问：大约有多少粒豆子落在区域？ 【答案】(1)三个区域的面积分别为： (2) (3)（粒） 【分析】本题考查了几何概率，概率的应用； （1）根据圆的面积公式，分别求得三个区域的面积，即可求解； （2）根据概率公式进行计算即可求解； （3）用乘以落在区域的概率，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴三个区域的面积分别为：： （2）； （3）根据题意，得：（粒）． 83．（17-18九年级下·全国·单元测试）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是______； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑． 【答案】(1) (2)2个，画图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率． （1）由图中共有16个小等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得． 【详解】（1）解：图中共有16个小等边三角形，其中阴影部分的小等边三角形有6个， ∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是， 故答案为：； （2）解：涂黑2个； ∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为， ∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个， 又已经涂黑了6个， ∴还需要涂黑个； 如图所示： （答案不唯一）． 84．（22-23七年级下·福建漳州·期末）在某次主题班会课上的一个抢答环节中，为了吸引同学，班长设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：每答对1道题的同学，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形）. (1)甲同学参与了抢答环节并答对了1道题，求他获得奖品的概率； (2)在原转盘的基础上将空白扇形涂色来增大三等奖的获奖概率，且使得每次转动转盘获奖的概率为，则需要再将几个空白扇形涂成绿色? 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据指针正好对准红、黄或绿色区域，其中红色区域1个，黄色区域2个，绿色区域4个，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形），即可得到答案； （2）用增加涂色后的区域个数减去已有的涂色区域个数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，指针正好对准红、黄或绿色区域，其中红色区域1个，黄色区域2个，绿色区域4个，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形）， ∴他获得奖品的概率为； （2）解：由题意可得，， 答：需要再将7个空白扇形涂成绿色． 【点睛】此题考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率的计算方法是解题的关键． 题型三十 游戏公平性 85．（22-23七年级下·山东济南·期末）甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张． (1)若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ (2)若抽到的数字是3的倍数，则甲获胜；若抽到的数字是5的倍数，则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 【答案】(1)游戏公平 (2)游戏不公平 【分析】（1）由题意知，1到20中的数是奇数的概率为，不是奇数的概率为，由，进行判断作答即可； （2）由题意知，抽到3的倍数有3、6、9、12、15、18，抽到5的倍数有5、10、15、20，则抽到的数字是3的倍数的概率为；抽到的数字是5的倍数的概率为；比较大小后进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，1到20中的数是奇数的概率为，不是奇数的概率为， ∵， ∴抽到的数是奇数的概率和抽到不是奇数的概率一样，游戏公平． （2）解：由题意知，抽到3的倍数有3、6、9、12、15、18，抽到5的倍数有5、10、15、20， ∴抽到的数字是3的倍数的概率为；抽到的数字是5的倍数的概率为； ∵， ∴对乙不公平． 【点睛】本题考查了简单的概率计算．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 86．（20-21七年级下·山东济南·期末）小明和小亮在玩转盘游戏，如图所示，小明将一个转盘平均分成6份，转盘可以随意转动．    (1)请你求出指针指向3的倍数的概率； (2)如果游戏规定，若指针指向偶数，则小明胜利，指针指向奇数，则小亮胜利，你认为这个戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据概率公式分别求出小明胜利和小亮胜利的概率，再进行比较，即可得出这个游戏不公平． 【详解】（1）解：指针指向3的倍数的概率为； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： ∵偶数有2个，奇数有4个， ∴小明胜利的概率是，小亮胜利的概率是， ∵， ∴小亮胜利的可能性大， ∴这个游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 87．（2025七年级下·全国·专题练习）五一劳动节假期期间，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司购买了前往A，B，C，D四地的车票，数量分别是20张、40张、30张、10张． (1)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取1张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），则员工小胡抽到去A地的概率是多少？ (2)若有1张车票，小王、小李都想要，于是决定采取抛掷一枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定车票给谁．具体规则：若抛掷后面朝上的数字是偶数，则车票给小王；若是奇数，则车票给小李．这个规则对双方是否公平？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】此题考查概率的计算公式，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键： （1）根据概率的计算公式计算可得答案； （2）分别计算抛掷后面朝上的数字是偶数及奇数的概率，即可判断． 【详解】（1）解：小胡抽到去A地的概率是． （2）公平．理由如下： 因为抛掷后面朝上的数字是偶数的概率是， 是奇数的概率是，概率相同， 所以这个规则对双方公平． 题型三十一 利用频率计算概率 88．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： (1)请将数据表补充完整； 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.948 (2)画出发芽频率的折线统计图； (3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率和折线统计图，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的概念求解即可； （2）根据折线统计图的作法求解即可； （3）根据随着每批粒数的增加，结合折线图得出其频率的稳定值即可得出答案． 【详解】（1）解：将数据表补充完整如下： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 96 283 344 552 948 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.943 0.86 0.92 0.948 0.947 0.949 故答案为：96；948；0.943；0.86；0.92；0.947；0.949； （2）解：折线统计图如图所示： ； （3）解：这种小麦发芽的概率的估计值是， 故答案为：． 89．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据：频率频数试验次数，即可求解； （2）随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】（1）解：；． （2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是． 【点睛】本题考查事件的频率、频率的稳定性等相关知识点．掌握频率与概率的区别与联系是解题的关键． $$