八年级下册期中热考+压轴题型专项训练（考题猜想，28大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

八年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（28大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据二次根式的非负性求解 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 利用二次根式的性质化简 题型四 复合二次根式的化简（压轴） 题型五 同类二次根式与最简二次根式的判断 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 二次根式的混合运算 题型八 二次根式的应用 题型九 二次根式的化简求值 题型十 比较二次根式的大小 题型十一 分母有理化（压轴） 题型十二 求解根式方程（压轴） 题型十三 与二次根式有关的新定义问题（压轴） 题型十四 根据一元二次方程的定义求参数 题型十五 一元二次方程的一般形式 题型十六 根据一元二次方程的解求参数 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 题型十八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十九 根据一元二次方程根的情况求参数 题型二十 换元法解一元二次方程（压轴） 题型二十一 一元二次方程根与系数的关系 题型二十二 已知一元二次方程根满足的条件求参数 题型二十三 实际问题与一元二次方程 题型二十四 与一元二次方程有关的新定义问题 题型二十五 根据已知数据，求相关数据统计量 题型二十六 已知一个统计量求另一个统计量 题型二十七 利用合适的统计量做决策 题型二十八 统计量与统计图综合 题型一 根据二次根式的非负性求解 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，那么的值是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题： 若和都有意义，x的值是多少？ 解： 和都有意义， 且． 又 ，且， ． 问题：若，求的值． 题型二 二次根式有意义的条件 4．（2023八年级下·浙江·专题练习）要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 题型三 利用二次根式的性质化简 5．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 6．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 7．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 题型四 复合二次根式的化简（压轴） 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 题型五 同类二次根式与最简二次根式的判断 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 11．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 题型六 已知最简二次根式求参数 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 15．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 题型七 二次根式的混合运算 15．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 题型八 二次根式的应用 18．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 题型九 二次根式的化简求值 22．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 23．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 24．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 25．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 题型十 比较二次根式的大小 26．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 27．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 题型十一 分母有理化（压轴） 28．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 题型十二 求解根式方程（压轴） 30．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如 ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A.互为相反数    B.绝对值相等    C.互为倒数 (2)已知，，化简，； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 题型十三 与二次根式有关的新定义问题 32．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 33．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 34．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 题型十四 根据一元二次方程的定义求参数 36．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 题型十五 一元二次方程的一般形式 38．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 题型十六 根据一元二次方程的解求参数 39．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； (2)若是此方程的一个根，求的值． 40．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值． 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 41．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) 42．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1) (2) 43．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型十八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 45．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知：关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求k的值． 46．（24-25九年级上·北京·期末）已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 题型十九 根据一元二次方程根的情况求参数 47．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的方程 ． (1)若方程有两个实数根，求k的取值范围； (2)求证：无论 k为何值，方程总有实数根． 48．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当时，求的值． 49．（24-25九年级上·四川·期中）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 50．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 题型二十 换元法解一元二次方程（压轴） 51．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 52．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 53．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 题型二十一 一元二次方程根与系数的关系 57．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 题型二十二 已知一元二次方程根满足的条件求参数 58．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． （2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 59．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 60．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 61．（21-22九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 题型二十三 实际问题与一元二次方程 62．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边___________米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积能达到平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． (4)请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米2． 63．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价元，则该水果每千克利润是__________元，每天可以卖出水果__________千克．（用含的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ (3)该水果店每天销售这种水果所获得的利润能否达到510元？若不能，请说明理由． 64．（2025八年级下·浙江·专题练习）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 65．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 题型二十四 与一元二次方程有关的新定义问题 66．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 67．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 68．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 69．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 题型二十五 根据已知数据，求相关数据统计量 70．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）某中学环保小分队的10名同学一周的社区服务时间（单位：h）如下表所示： 时间 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 关于志愿者服务时间的描述正确的是（   ） A．众数是6 B．中位数是4 C．平均数是4 D．方差是1 71．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（    ） A．样本容量是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．中位数是4 72．（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 73．（2020·山东济南·模拟预测）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（　　） A．平均数是3 B．中位数和众数都是3 C．方差为10 D．标准差是 题型二十六 已知一个统计量求另一个统计量 74．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 75．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 76．（2023八年级下·全国·专题练习）样本数据，4，7，a的中位数与平均数相同，则a的值是（　　） A．或2或12 B．2或5或12 C．或2 D．或12 77．（21-22八年级下·浙江温州·期中）一个样本数据为：13，14，14，x，13，17，17，31，若其中众数为13，则x的值为(   ) A．13 B．14 C．17 D．20 78．（2023八年级下·全国·专题练习）若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8 题型二十七 利用合适的统计量做决策 79．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某生物学习小组为了研究一种药物对、两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高进行了测量，汇总情况如下： 种植物的苗高：、、、、； 种植物的苗高：、、、、； (1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差； (2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合（1）中所求的统计量说明理由． 80．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． (2)该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 81．（24-25九年级上·江苏南京·期末）周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 82．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某商场统计了两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 品牌 16 31 29 24 24 24 20 品牌 17 22 23 24 26 26 30 (1)填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 品牌 24 24 ① ② 品牌 24 ③ 26 14 (2)由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由． 题型二十八 统计量与统计图综合 83．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析： 乙班成绩频数分布表 6 5 7 2 8 1 9 1 10 1 【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数）． 【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表． 【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示， 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 乙班 6.5 6 请根据所给信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)______，______； (3)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”） (4)学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少，试估计乙班班级人数． 84．（24-25八年级上·山西运城·期末）科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 85．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．学校为鼓励学生假期在家阅读，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况进行统计，如图所示： (1)将条形统计图补充完整，所抽查同学读书本数的众数是______本，中位数是______本； (2)求所抽查同学读书本数的平均数； (3)在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？ $$八年级下册期中 热考+压轴 题型专项训练（28大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据二次根式的非负性求解 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 利用二次根式的性质化简 题型四 复合二次根式的化简（压轴） 题型五 同类二次根式与最简二次根式的判断 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 二次根式的混合运算 题型八 二次根式的应用 题型九 二次根式的化简求值 题型十 比较二次根式的大小 题型十一 分母有理化（压轴） 题型十二 求解根式方程（压轴） 题型十三 与二次根式有关的新定义问题（压轴） 题型十四 根据一元二次方程的定义求参数 题型十五 一元二次方程的一般形式 题型十六 根据一元二次方程的解求参数 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 题型十八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十九 根据一元二次方程根的情况求参数 题型二十 换元法解一元二次方程（压轴） 题型二十一 一元二次方程根与系数的关系 题型二十二 已知一元二次方程根满足的条件求参数 题型二十三 实际问题与一元二次方程 题型二十四 与一元二次方程有关的新定义问题 题型二十五 根据已知数据，求相关数据统计量 题型二十六 已知一个统计量求另一个统计量 题型二十七 利用合适的统计量做决策 题型二十八 统计量与统计图综合 题型一 根据二次根式的非负性求解 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性运算出的值，代入中求出的值，再一起代入运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，解得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 先根据被开方数大于等于0求出的取值范围，再去绝对值符号，得再代入代数式求值即可． 【详解】解：根据题意，得：， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题： 若和都有意义，x的值是多少？ 解： 和都有意义， 且． 又 ，且， ． 问题：若，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负，建立不等式组求出x，y的值，带入计算即可. 【详解】解：由题意得： ， ， 解得， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、解不等式组；根据二次根式的性质确定x的值是解题的关键． 题型二 二次根式有意义的条件 4．（2023八年级下·浙江·专题练习）要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1)； (2)且； (3)且； (4)； (5)； (6)． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式计算即可求解； （2）根据二次根式及分式有意义的条件，列不等式组计算即可求解； （3）根据二次根式及分式有意义的条件，零次幂有意义的条件，列不等式组计算即可求解； （4）根据二次根式及分式有意义的条件，列不等式组计算即可求解； （5）根据二次根式有意义的条件，列不等式组计算即可求解； （6）根据二次根式有意义的条件列不等式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， 解得； （2）解：∵有意义， ∴， 解得且； （3）解：∵有意义， ∴， 解得且； （4）解：∵有意义， ∴， 解得； （5）解：∵有意义， ∴， 解得； （6）解：∵有意义， ∴， 解得． 【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式或不等式组是解答此题的关键．注意：零次幂的底数不能为0． 题型三 利用二次根式的性质化简 5．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 7．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 题型四 复合二次根式的化简（压轴） 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 题型五 同类二次根式与最简二次根式的判断 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 11．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 题型六 已知最简二次根式求参数 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解： ，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 13．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 14．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的15．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了二次根数的运算，熟练计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再相加即可； （2）首先计算乘法，算术平方根，最后化简即可； （3）先利用完全平方公式，平方差公式化简，再相加即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，绝对值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值，零次幂，乘方计算，再计算加减即可； （2）根据平方差公式，二次根式的乘除进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后求算术平方根和立方根即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （4）先计算二次根式的乘法，然后利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （5）先求立方根、化简绝对值并计算零指数幂和负整数指数幂，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，完全平方公式，平方差公式，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则及实数的运算法则是解题的关键． 相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 题型七 二次根式的混合运算 15．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了二次根数的运算，熟练计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再相加即可； （2）首先计算乘法，算术平方根，最后化简即可； （3）先利用完全平方公式，平方差公式化简，再相加即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，绝对值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值，零次幂，乘方计算，再计算加减即可； （2）根据平方差公式，二次根式的乘除进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后求算术平方根和立方根即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （4）先计算二次根式的乘法，然后利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （5）先求立方根、化简绝对值并计算零指数幂和负整数指数幂，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，完全平方公式，平方差公式，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则及实数的运算法则是解题的关键． 题型八 二次根式的应用 18．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (2)4，3 (3)的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用完全平方公式变形求值，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，则矩形的宽为米，那么得到，再运用“均值不等式”求解； （2）将变形为，再运用“均值不等式”求解； （3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可． 【详解】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴最小值为3， 故答案为：4，3； （3）解：， 当时，， ∵， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最大值为； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最小值为； 当时，，可知， 综上：的最小值为，的最大值为． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 【答案】(1) (2)或1 【分析】本题考查了二次根式的应用： （1）根据非负数的性质求出、的值，再代入，计算； （2）根据腰或为腰，两种情况，分别求等腰三角形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ； （2）解：若为腰，为底，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为， 若为底，为腰，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题目中的公式即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，三角形的三边长分别为5，6，7， 则该三角形的面积 ． 题型九 二次根式的化简求值 22．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 23．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ． 24．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数的估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 25．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 比较二次根式的大小 26．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 27．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 题型十一 分母有理化（压轴） 28．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【答案】(1) (2)2 (3)9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【详解】（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 题型十二 求解根式方程（压轴） 30．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】 ；； 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为： ； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如 ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A.互为相反数    B.绝对值相等    C.互为倒数 (2)已知，，化简，； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 【答案】(1)C (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值， （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知分别化简x，y即可； （3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据，，解得，即可求出x值，检验即可； （4）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数； 故选：C； （2）解：由题意得 ， ； （3）解：令，则两边同乘以， 得， 解得， ∵， ， ∴①+②，得 ， 两边同时平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （4）解： 题型十三 与二次根式有关的新定义问题 32．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）20 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵10是“完美数” ∴； 故答案为：； （2） 要使S为“完美数”， 则，即． （3）∵， ∴ ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的值最大，为. （5）， ∴， ，，， ，，， ． 33．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 34．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 题型十四 根据一元二次方程的定义求参数 36．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 题型十五 一元二次方程的一般形式 38．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； (2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：将化为一般形式为： ， 则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （3）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （4）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （5）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （6）将化为一般形式为： 则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键． 题型十六 根据一元二次方程的解求参数 39．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； (2)若是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∵， ∴； ∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：． 40．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值． 【答案】(1)且 (2)，方程的另一根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ， 且， 故答案为：的取值范围是且； （2）解：把代入到关于的一元二次方程中， 得， ， ， ， 故方程的另一根是． 题型十七 选用合适的方法解一元二次方程 41．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)， (3)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，公式法，以及因式分解法． （1）利用完全平方公式得，再直接开方，解一元一次方程即可； （2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程右边利用平方差公式因式分解后，移项，再提取公因式进得因式分解，得到两个一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， 配方得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 42．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）先化为一般式，再由因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴； （2）解： 或 解得：． 43．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，直接开方法解一元二次方程等． （1）先将等式左侧因式分解，再将右侧移项后提公因式，继而计算即可； （2）先计算，再直接开方法即可； （3）先将第二个括号内展开合并再去括号，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 提公因式得：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：，； （2）解：， ， ∴， 即：，； （3）解：， 去括号得：， 即：， 因式分解得：， 即：或， 解得：，． 题型十八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 【答案】见详解 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明判别式的在大于等于0即可． 【详解】证明： ， 该方程总有两个实数根． 45．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知：关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）把方程的解代入方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵关于的方程 ∴，，， ， 无论取何值，， ，即． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入得 解得． 46．（24-25九年级上·北京·期末）已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， 所以，方程总有实数根； （2）解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 题型十九 根据一元二次方程根的情况求参数 47．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的方程 ． (1)若方程有两个实数根，求k的取值范围； (2)求证：无论 k为何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式． （1）由题意得到，，求解即可解答； （2）当时，方程可化为一元一次方程，则方程有实数根；当，方程为一元二次方程，根据根的判别式得到，即可得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 有两个实数根， ∴， 且， ∴； （2）证明：当，即时，方程为， ∴，方程有实数根； 当，即时， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴无论 k为何值，方程总有实数根． 48．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式． （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）将代入原方程，由根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且； （2）解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 49．（24-25九年级上·四川·期中）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 50．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，此时方程的另一个根为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于即可； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】（1）解：关于x的方程为， ， 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）关于x的方程有一个实数根是， ， 解得：， 原方程为， ， 解得：，， 此时方程的另一个根为． 题型二十 换元法解一元二次方程（压轴） 51．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 52．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 53．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 题型二十一 一元二次方程根与系数的关系 代入计算即可，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，把方程变形为，代入得，可得或，再根据根的判别式进行取舍即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 57．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 题型二十二 已知一元二次方程根满足的条件求参数 58．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． （2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据这个一元二次方程根的判别式大于或等于0建立不等式，解不等式求出的取值范围，再结合一元二次方程的定义、二次根式的被开方数为非负数即可得； （2）先根据一元二次方程根的判别式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得、的值，然后利用完全平方公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个一元二次方程根的判别式为， 整理得：， 解得， 又∵方程是一元二次方程，且的被开方数为非负数， ∴，且， ∴且， 综上，的取值范围为且． （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个一元二次方程根的判别式为， 解得， 又∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， 所以的值为． 59．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：方程中， ， 无论取何值，此方程总有两个实数根． （2）解：， ． ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根，即， 的值为或3． 60．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 61．（21-22九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 题型二十三 实际问题与一元二次方程 62．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边___________米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积能达到平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． (4)请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米2． 【答案】(1) (2)边的长为米． (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，列方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式判断即可； （4）根据题意列出一元二次方程，通过配方法将变形为即可求解． 【详解】（1）解：（米）； 故答案为：． （2）解：设米， 米， 根据题意，得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为米． （3）解：设米， 米， 根据题意，得：， 整理，得：， ， 该方程没有实数根， 该饲养场的面积不能达到平方米． （4）解：设米， 米， ， 当时，米， ，， 此时平方米， 当米，时，围成饲养场面积的最大值为平方米． 故答案为：． 63．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价元，则该水果每千克利润是__________元，每天可以卖出水果__________千克．（用含的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ (3)该水果店每天销售这种水果所获得的利润能否达到510元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)单价应定为8元 (3)不能，最大利润为500元，理由见解析 【分析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据利润＝售价进价和“水果的单价每提高1元／千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （1）根据利润=售价一进价列出方程并解答； （3）通过建立利润关于提价的二次函数，根据二次函数性质判断利润能否达到指定值。 【详解】（1）解：每千克水果的利润元及每天的销售量千克． 故答案为：； （2）解：由题意知，， 化简得：， 解得， 因为让利于顾客， 所以符合题意， 答：单价应定为8元． （3）解：设总利润为元，由总利润=每千克利润销售量，可得： ， 对于二次函数，这里， 根据二次函数顶点坐标公式，可得， 把代入函数得（元）， ，二次函数图象开口向下， 所以函数有最大值500元，即利润不能达到510元， 答：不能，最大利润为500元． 64．（2025八年级下·浙江·专题练习）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为 (2)售价应降低6元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2024年种植橙子的亩数该村民2022年种植橙子的亩数该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 65．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 题型二十四 与一元二次方程有关的新定义问题 66．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 67．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 68．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 69．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 题型二十五 根据已知数据，求相关数据统计量 70．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）某中学环保小分队的10名同学一周的社区服务时间（单位：h）如下表所示： 时间 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 关于志愿者服务时间的描述正确的是（   ） A．众数是6 B．中位数是4 C．平均数是4 D．方差是1 【答案】B 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数及方差的计算，掌握其概念是解题的关键；分别计算出众数、中位数、平均数及方差即可作出判断． 【详解】解：数据中服务时间为的人数最多，故众数是5； 这组数据按从小到大排列，中间第5、6个数据均是4，则其中位数为； 平均数为：； 方差为：， 故选：B． 71．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（    ） A．样本容量是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．中位数是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了方差，平均数，中位数，众数和样本容量，根据方差计算公式可得这组数据为4、5、5、6，据此计算出平均数，众数，中位数和样本容量即可得到答案． 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为4、5、5、6， ∴这组数据一共有4个，即样本容量为4，故A说法正确，符合题意； ∵5出现了2次，出现的次数最多， ∴众数为5，故B说法错误，不符合题意； 平均数为，故C说法错误，不符合题意； ∵处在最中间的两个数分别为5和5， ∴中位数是，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 72．（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A、这组数据的平均数为，故本选项说法正确； B、这组数据的方差是，故本选项说法正确； C、这组数据的中位数是3，故本选项说法不正确； D、这组数据的标准差是，故本选项说法正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数和极差的定义，熟知这几个基本概念是解题关键. 73．（2020·山东济南·模拟预测）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（　　） A．平均数是3 B．中位数和众数都是3 C．方差为10 D．标准差是 【答案】C 【分析】分别求解这组数据的平均数，中位数，众数，方差与标准差，即可得到答案． 【详解】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，因此选项A不符合题意； 出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3， 因此选项B不符合题意， S2＝＝， S＝ 因此C符合题意，D选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是求一组数据的平均数，中位数，众数，方差与标准差，掌握以上知识是解题的关键． 题型二十六 已知一个统计量求另一个统计量 74．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据，，，，的平均数为可知，据此可得出的值． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ， ， 数据，，，，的平均数为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平均数，熟记平均数是解答此题的关键． 75．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了方差与平均数，用到的知识点是方差与平均数的变化规律，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．根据平均数的性质、方程的性质解答即可． 【详解】解：的平均数是， 则数据平均数是， 方差是， 则数据的方差是， 故选：B． 76．（2023八年级下·全国·专题练习）样本数据，4，7，a的中位数与平均数相同，则a的值是（　　） A．或2或12 B．2或5或12 C．或2 D．或12 【答案】A 【分析】根据中位数和平均数的意义列方程求解．对于a的取值分情况讨论：①；②；③． 【详解】①当时，平均数为，中位数为， 故可得：， 解得：． ②当时，平均数为，中位数为， 故可得：， 解得：． ③当时，平均数为，中位数为， 故可得：， 解得：． 综上所述，a可取或2或12． 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数和平均数的意义．解题的关键是对于a的值要分情况讨论． 77．（21-22八年级下·浙江温州·期中）一个样本数据为：13，14，14，x，13，17，17，31，若其中众数为13，则x的值为(   ) A．13 B．14 C．17 D．20 【答案】A 【分析】根据众数的定义解答即可． 【详解】解：该组数据中，已经有2个13，2个14和2个17，若众数为13，则13出现的次数最多，x的值为13， 故选：A． 【点睛】本题考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 78．（2023八年级下·全国·专题练习）若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵样本…，的平均数是5，方差是2， ∴，…，的平均数是，方差是， 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的变化规律是解题的关键． 题型二十七 利用合适的统计量做决策 79．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某生物学习小组为了研究一种药物对、两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高进行了测量，汇总情况如下： 种植物的苗高：、、、、； 种植物的苗高：、、、、； (1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差； (2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合（1）中所求的统计量说明理由． 【答案】(1)A种植物的平均数为24，方差为0.8；B种植物的平均数为24，方差为26 (2)对A种植物的生长作用效果更稳定，理由见解析 【分析】本题主要考查平均数，方差的计算，根据方差作决策，掌握方差的计算方法是解题的关键． （1）利用求平均数和方差的公式计算求解即可； （2）比较方差大小即可，根据方差越小，越稳定即可判断． 【详解】（1）解：种植物：平均数为， 方差为， 种植物：平均数为， 方差为：； （2）解：对A种植物的生长作用效果更稳定，理由如下： ∵两种植物的平均数相同，且， ∴对A种植物的生长作用效果更稳定． 80．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． (2)该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 【答案】(1)根据平均分，从高到低排列分别是甲、乙、丙 (2)最后得到冠军的是丙 【分析】本题主要考查平均数及加权平均数，熟练掌握平均数及加权平均数是解题的关键； （1）根据表格结合平均数的求法可直接进行求解； （2）由题意可知甲淘汰，然后分别计算乙、丙的加权平均数，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （分）； （分）； （分）； 答：根据平均分，从高到低排列分别是甲、乙、丙 （2）解：由于甲的小组展示低于80分，所以甲不能获得冠军，则有： 乙按比例最后得分为（分）； 丙按比例最后得分为（分）； ∵， ∴最后得到冠军的是丙． 81．（24-25九年级上·江苏南京·期末）周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】(1)22 (2)路线所用的时间更稳定，理由见解析 (3)周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【详解】（1）解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． （2）解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． （3）解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 82．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某商场统计了两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 品牌 16 31 29 24 24 24 20 品牌 17 22 23 24 26 26 30 (1)填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 品牌 24 24 ① ② 品牌 24 ③ 26 14 (2)由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由． 【答案】(1)24，22，24 (2)建议商场采购B品牌洗衣机．理由见解析 【分析】本题考查了方差，求方差时一定要牢记方差的公式，难度不大． （1）分别利用平均数的计算公式求得平均数，再利用方差公式求得方差即可； （2）根据方差的大小确定哪种洗衣机的销售情况即可． 【详解】（1）解：由题意可得，品牌的销售中，24出现次数最多，共出现3次，故众数为24， ， ； 由题意可知，品牌B的销量的中位数为24， 故答案为：24，22，24 （2）由，可知A、B两种品牌平均销量相当，由，可知B品牌销量的离散程度较小， 由表格可知，B品牌一月到七月的销量呈上升趋势， 故建议商场采购B品牌洗衣机． 题型二十八 统计量与统计图综合 83．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析： 乙班成绩频数分布表 6 5 7 2 8 1 9 1 10 1 【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数）． 【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表． 【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示， 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 乙班 6.5 6 请根据所给信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)______，______； (3)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”） (4)学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少，试估计乙班班级人数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)乙 (4)50 【分析】本题考查频数分布表、条形统计图，用样本估计整体、平均数、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据条形图得到甲组的得分情况，画出统计图即可； （2）根据加权平均数、中位数定义求解即可； （3）根据中位数的概念解答； （4）先计算出甲班获一等奖的人数，进而求出乙班获一等奖的人数，再用乙班获一等奖的人数除以样本中乙班获一等奖人数的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：甲班成绩为7分的人数为：人， 补全统计图，如图所示： （2）解：由题意得，， 把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分， ∴甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，故， 故答案为：； （3）解：由题意得，甲班中位数是分，乙班中位数是分， ∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”， ∴小明在乙班． （4）解：人， ∴估计乙班的人数为50人． 84．（24-25八年级上·山西运城·期末）科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)A款AI聊天机器人更受用户喜爱，详见解析 (3)此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体； （1）由扇形统计图及表格获取数据分别求出抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”、 “满意” 、“非常满意”、“比较满意”的人数，再由中位数的定义、众数的定义，即可求解； （2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解； （3）A款 “不满意”所占的百分比 Ｂ款 “不满意”所占的百分比，即可求解； 理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键． 【详解】（1）解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数： （人）， ； 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数， “不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人， 第、个数在评分为“满意”的数据中， 第、个数为、， ； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个， ； 故答案为：，，； （2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）解：（人）， 答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人． 85．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．学校为鼓励学生假期在家阅读，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况进行统计，如图所示： (1)将条形统计图补充完整，所抽查同学读书本数的众数是______本，中位数是______本； (2)求所抽查同学读书本数的平均数； (3)在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？ 【答案】(1)见解析，10，12.5； (2)13.1； (3)400人． 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）用条形统计图中读书本数为15本的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽查的学生人数，再用抽查的学生人数分别减去读书本数为5，15，20，25本的人数，可得读书本数为10本的人数，补全条形统计图即可；根据众数、中位数的定义可得答案． （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据用样本估计总体，用800乘以样本中读书15本及以上的人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：抽查的学生人数为（人）， 读书本数为10本的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 所抽查同学读书本数的众数是10本， 将所抽查同学的读书本数按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的读书本数为10本和15本． 所抽查同学读书本数的中位数是 (本)， 故答案为∶10，12.5； （2）解：所抽查同学读书本数的平均数为 （本）； （3）解：（名）， 答：在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有400人． $$