七年级下册期中热考题型专项训练（考题猜想，22大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

七年级下册期中热考题型专项训练（22大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 画图问题（画垂线、平行线、平移作图） 题型二 添加一个条件证明两直线平行 题型三 补全两直线平行的证明过程 题型四 证明两直线平行 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线性质与判定求角度 题型八 利用平移的性质求解 题型九 利用平移解决实际问题 题型十 二元一次方程（组）的定义 题型十一 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型十二 选用合适的方法解二元一次方程 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十四 二元一次方程组的应用 题型十五 幂的混合运算 题型十六 整式的混合运算 题型十七 用科学记数法表示数 题型十八 整式乘法与图形面积 题型十九 运用乘法公式进行计算 题型二十 乘法公式与几何问题 题型二十一 通过对完全平方公式变形求值 题型二十二 整式的化简求值问题 题型一 画图问题（画垂线、平行线、平移作图） 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，垂线段最短： （1）根据要求，画图即可； （2）根据点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，作答即可； （3）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （3），理由是：垂线段最短． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由个边长为个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题： (1)将向上平移个单位，向左平移个单位得到，画出； (2)的面积为___________．（填空） 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了平移作图、面积的求法，熟练掌握平移作图是解题的关键． （1）根据平移分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：的面积为， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知格点．按下列要求画图：    (1)过点C和一格点D画的平行线． (2)在给定方格纸中，平移，使点B与点对应，请画出平移后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特点及平行线的判定作图即可； （2）将点A、C分别向右平移5个单位，向上平移3个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求． （2）解：如图2所示，即为所求．    【点睛】本题主要考查了作图—平移变换，掌握平移变换的定义与性质、并据此得出变换后的对应点是解题的关键． 题型二 添加一个条件证明两直线平行 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，下列推理中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、由只能推出，故错误，不符合题意； B、由，只能推出，故错误，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确； D、由，只能推出，故错误，不符合题意． 故选：C． 5．（2021七年级下·全国·专题练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行）， 故④正确． ∴有3个． 故选：C． 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是 ．（填写序号） ①；②；③；④；    【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③符合题意； ④，不能判断两直线平行，故④符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 题型三 补全两直线平行的证明过程 7．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式的性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（ 角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角的平分线的定义）． ∴（ 等式的性质）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换）． ∴（ 同旁内角互补两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平分，，试说明． 证明：∵平分（ 　              　）， ∴　　 （ 　　                    ）， 又∵（ 　                  　）， ∴　　 （ 　　                  ）， ∴　　 （ 　　         ）． 【答案】已知；3；平行线的定义；已知；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点，掌握“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再结合已知条件运用等量代换可得，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， 又∵（已知）， ∴（等量替换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；3；平行线的定义；已知；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 9．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：． 因为平分（ ）， 所以 = （ ）， 又因为（ ）， 所以（ ）． 所以（ ）．    【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义得到，结合已知，通过等量代换得到，即可证明． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）．    【点睛】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 10．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 题型四 证明两直线平行 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据光线反射得到，，再利用平角的定义得到，，则，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线两直线平行． 【详解】解：．理由如下： 根据光的反射定律和等角的余角相等得到，， ∴，， ∴， ∴． 12．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据已知的，，等量交换可得，再根据“内错角相等，两直线平行”即可证得结论，解题关键是掌握平行线的判定方法． 【详解】证明：，， ， 即， ． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握相关定理是证明的关键．先根据角平分线的性质得出，，再由可得，从而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．（21-22八年级上·江西吉安·期末）如图，平分，若，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：平分，， 角平分线定义， ，已知， 等量代换， 同位角相等两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 题型五 根据平行线的性质求角的度数 15．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图， 直线、被直线所截， 若，平分，， 求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由对顶角相等可得，由两直线平行，同旁内角互补得出，再结合角平分线的定义，得到，最后利用两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，若平分，平分，与的反向延长线交于点，试确定与的关系，并说明理由． 【答案】，理由如下 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 方法一：过点作，过点作，根据平行线的性质，，，根据角平分线的性质，得，，根据等量代换，可得，推出，根据平行线的性质，得，，根据角之间的数量关系，可得，即可． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点，由平行线的性质得到，，根据角平分线的定义，三角形的外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：方法一：过点作，过点作， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ． 17．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，    (1)判断是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可求得，即可判定； （2）由平行线的性质可得，，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：∵， ， ， ∵， ， ， ， 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质定理，并灵活运用． 18．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得； （2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵ ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型六 平行线的性质在生活中的应用 19．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 21．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 22．（22-23七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    【答案】当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】设A灯转动t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据两灯的光束互相平行列出方程求解即可． 【详解】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得（不合题意）； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与一元一次方程的综合，熟练运用平行线的性质找等量关系是解题的关键． 题型七 根据平行线性质与判定求角度 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知． (1)求证： ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【答案】(1) (2)①，是定值  ② 【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 25．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，，点E在线段上，连接，，，，已知．    (1)请说明的理由． (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）根据角平分线的定义可设，则，，再根据平行线的性质可得，求出的值，从而可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，， ∴设，则，， ∵，， ∴，即， 解得， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 题型八 利用平移的性质求解 26．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【答案】(1)图见解析 (2)在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】（1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答． 【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示，      （2）解：∵俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动， ∴在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度． 【点睛】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：    (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求，    （2）解：如图，    ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，， 故答案为，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长， 故答案为： 【点睛】本题考查的是作图一平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 28．（21-22七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是． (1)若，求的度数． (2)若，当时，则　　． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移的性质得到平行，再利用平行的性质得到角相等即可； （2）利用平移的性质得到边相等，进而列方程即可得到线段的长度． 【详解】（1）解：∵沿射线方向平移，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的基本性质及平行线的性质等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． 题型九 利用平移解决实际问题 29．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键． 30．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 31．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 32．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 题型十 二元一次方程（组）的定义 33．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，原方程为， 当时，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 34．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 题型十一 已知二元一次方程（组）的解求参数 35．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 36．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】把代入到方程组中得到关于a、b的方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确计算是解题的关键． 题型十二 选用合适的方法解二元一次方程 37．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得 ：， 方程组的解集为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解集为． 38．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解此题即可； （2）利用加减消元法解此题即可； （3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题． 【详解】（1）解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得： ， 所以原方程组的解是． （2）解： ，得： ， ，得： ， 解得：， 将代入①得： ， 解得：， 所以原方程组的解是． （3）解： 整理①，得： ， 将②代入③，得： ， 解得：， 将④代入③，得： ， 解得：， ，得： ， 解得：， 将代入⑤，得： ， 所以原方程组的解是． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 由②得，③ 得， 解得： 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）解： 由①得③ ③+②得， 解得：， 将代入③得， 解得： ∴原方程组的解为：． 40．（21-22七年级下·山东烟台·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】由①②可得，再由③②得：，然后解二元一次方程，即可求出x、y．再代入求出z． 【详解】解：， ①②得：④， ③②得：⑤， 由④⑤组成方程组得：， 把，代入①得：，解得：． 原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组得基本方法是解题的关键． 41．（21-22七年级下·浙江杭州·期中） 【答案】 【分析】先用②+③求得x，然后代入②得：y＝x＋3z－4 ④，再将④代入①可求得z，然后将x、z代入④可求得y． 【详解】解： ②＋③得： 5x＝2， ∴x＝， 由②得：y＝x＋3z－4 ④， 将④代入①得： 2x－3（x＋3z－4 ）＋4z＝12， 解得：z＝－， 将x＝，z＝－代入④得： y＝－， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的情况与方程系数的关系，解题的关键是理解当二元一次方程组有无数组解时，两个方程所代表的直线重合，即方程对应系数成比例． 先将第二个方程变形，使其的系数与第一个方程中的系数相同，再根据方程组有无数组解时两方程对应系数相等来求解． 【详解】解：∵方程组有无数组解， ∴两个方程应完全一样， 由整理得：， ∴， 解得：． 43．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 44．（21-22七年级下·北京西城·期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值． 【答案】5 【分析】根据方程组的解互为相反数得出，利用代入消元法分别用m表示出x、y的值，再代入另一个方程求解m即可． 【详解】解：∵的解互为相反数，     ∴③， 将③代入①得， 将代入③得， 将，代入②中得， ∴． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数． 45．（21-22七年级下·湖南永州·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可； （2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 解得：， ∴这个相同的解为：； （2）由（1）可得：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴， 解得， ∴m﹣n＝3﹣2＝1． 答：m﹣n的值为1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，同解方程，解题的关键是根据题意重新联立方程组． 题型十四 二元一次方程组的应用 46．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 【答案】(1)甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元 (2) 【分析】（1）设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，根据题意列方程即可推得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元， ， 解得， 故甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元； （2）解：设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果， 则， 整理得：． 整理得：， 故， 解得：， 故农场需租辆车才能运完． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程的应用，根据车辆运输的总质量和购买苹果的总售价进行列式求解是解题的关键． 47．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 48．（2025七年级下·浙江·专题练习）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆； (2)共有6种运输方案，详见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键． （1）设需要辆甲种车，辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解； （2）设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车，根据辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜 辆丙种车运送的蔬菜列出方程，再根据、、都是正整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：设需要辆甲种车，辆乙种车， ∴ ∴， ∴需要甲13辆，乙16辆． （2）解：设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车， ∴ ∴ 又∵，，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有6种运输方案，所需费用如下表， 车型 甲 乙 丙 总费用 等级 汽车辆数 6 1 13 4750 优秀 5 4 11 4800 良好 4 7 9 4850 良好 3 10 7 4900 良好 2 13 5 4950 合格 1 16 3 5000 合格 49．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为，宽为 (2) 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为； ∴ ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 题型十五 幂的混合运算 50．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】A．与不属于同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 51．（2022八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ②先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ③先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ④先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：①原式 ； （2）②原式 ； （3）③原式 ； （4）④原式 ； （5）⑤原式 ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方，同类项的合并等知识，正确计算是解题的关键．注意第（4）小题整体思想的运用． 52．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 题型十六 整式的混合运算 53．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据完全平方公式和乘法分配律计算即可求解； （）根据积的乘方、同底数幂的乘法及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式和平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 54．（23-24八年级上·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据整式的运算法则和乘法公式进行计算即可得到结果； （）据整式的运算法则进行计算即可得到结果； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：（）原式， ； （2）解：原式， ， ． 55．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则，零指数幂的意义计算即可； （2）将=再利用平方差公式计算即可； （3）利用多项式乘以多项式、完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算后，合并同类项即可； （4）先计算括号内的，再进行多项式除以单项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算以及零指数幂、负整指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十七 用科学记数法表示数 56．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 【答案】(1)﹣3.96× (2)1.3× 【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×； （2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 57．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 58．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 【答案】(1)B (2) 【分析】（1）科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数； （2）根据1米等于纳米，用即可． 【详解】（1）解：正确使用科学记数法表示的数是， 故答案为：B； （2）解：米米， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 题型十八 整式乘法与图形面积 59．（22-23七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方形木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．    (1)请用含的代数式表示这三块木板的面积总和； (2)如果购买一块长厘米，宽厘米的长方形木板做这种箱子，若不考虑损耗，是否存在整数，刚好可以做成几只完整的箱子？若可以，请求出的值以及相应的箱子只数． 【答案】(1) (2)当为时可以做只箱子；当为时可以做只箱子 【分析】（1）根据三块木板与长方体箱子的长、宽、高的情况，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据长方体箱子的面积与购买木板的面积的比值，根据实际情况确定的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：三块木板的面积总和为cm2． （2）解：由（1）可知长方形箱子的面积为，购买的木板的面积为， ∴， ∵为整数，又要使得箱子是整数只， ∴时，只；时，只； ∴当为时可以做只箱子；当为时可以做只箱子． 【点睛】本题主要考查几何图形的面积与整式的混合运算的综合，掌握几何图形面积的计算方法，整式的混合运算，根据实际情况确定参数的值的方法等知识是解题的关键． 60．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．      (1)请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若游泳池面积和休息区域面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 【答案】(1)休息区域的面积是：平方米 (2)此时游泳池的长与宽的比值是 【分析】（1）利用长方形土地的面积减去泳池的面积即可得解； （2）根据泳池的面积等于休息区域的面积，得到m,n的关系式，即可得解． 【详解】（1）由题意可得，休息区域的面积是： ， 即休息区域的面积是：平方米； （2）由题意可得，， ， 整理得，， ∵， ∴， ∴． 即此时游泳池的长与宽的比值是． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 61．（22-23七年级下·浙江·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：． (1)根据图2，可得等式：______． (2)利用题（1）所得结论解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）根据一个图形面积的两种计算方法求解； （2）利用（1）中结论，变式代入求解． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）∵，， ∴ = ． 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 题型十九 运用乘法公式进行计算 62．（2024七年级下·江苏·专题练习）用整式乘法公式计算：． 【答案】810000 【分析】本题考查了整式的乘法公式，先整理原式为，再进行平方差公式运算，即可作答． 【详解】解： 63．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 64．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）化简： 【答案】3 【分析】根据完全平方公式及去括号展开，再计算合并同类项即可得出答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，去括号原则、合并同类项原则，熟练掌握公式及其法则是解题的关键． 65．（2023七年级下·浙江·专题练习）运用完全平方公式计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据完全平方公式展开即可； （2）根据完全平方公式展开即可； （3）根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式展开即可； （4）得出，再根据完全平方公式展开即可； （5）得出，再根据完全平方公式展开即可； （6）根据完全平方公式展开，再合并同类项即可； （7）根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． （7）解： ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 题型二十 乘法公式与几何问题 66．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是________．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)运用你所得到的公式，计算下列各题： ① ②计算：． 【答案】(1)D (2)①1；② 【分析】（1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算；②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选D； （2）① ； ② 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 67．（22-23八年级上·江西南昌·期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案； （2）由（1）的结论，进行应用即可； （3）设，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可． 【详解】（1）解：由图形面积得， 故答案为：； （2）由（1）题所得， ∴， ∴当，时， ， ∴或-2； （3）解：设，， 则，， 又由，得 ， ∴图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提． 题型二十一 通过对完全平方公式变形求值 68．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）结合（1）所得结果，利用完全平方公式求解即可； （3）根据多项式乘多项式展开计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 69．（22-23七年级下·江西吉安·期中）已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式变形，得出，结合已知条件，即可求解； （2）根据完全平方公式变形，得出，即可求解； （3）根据完全平方公式变形，得出 ，代入数据即可求解． 【详解】（1）解： 即 又 （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 70．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)若，，，求出的值 (2)已知：，，，求代数式的值． (3)若，求． 【答案】(1)3 (2)3 (3)6 【分析】（1）根据完全平方公式将变形，代入求解即可得到答案； （2）根据完全平方公式将变形，代入求解即可得到答案； （3）将左边配方，结合完全平方的非负性求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 当，，时， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， 当，，时， 原式 ； （3）解：由题意可得， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查根据完全平方公式化简求值及完全平方非负性的运用，解题的关键是熟练掌握及非负式子和为0它们分别等于0． 题型二十二 整式的化简求值问题 71．（2025七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 72．（2023七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，根据整式的加减运算法则以及整式的乘除法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ，， 原式． 73．（22-23七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 当，时，原式=14……第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母和表示，写出一种即可）； (2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)或 (2)一 (3)， 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案； （2）根据去括号法则可知第一步出现了错误； （3）根据整式的混合运算顺序解答即可． 【详解】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或； （2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； （3）解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 74．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 【答案】(1)小马同学的化简结果不正确； (2)①； 【分析】（1）代入数据计算即可判断； （2）根据整式的运算法则和混合运算顺序进行化简即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ∵， ∴小马同学的化简结果不正确； （2）解：小马第①步就出现错误； ． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和混合运算顺序是解题的关键． 75．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． $$七年级下册期中热考题型专项训练（22大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 画图问题（画垂线、平行线、平移作图） 题型二 添加一个条件证明两直线平行 题型三 补全两直线平行的证明过程 题型四 证明两直线平行 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线性质与判定求角度 题型八 利用平移的性质求解 题型九 利用平移解决实际问题 题型十 二元一次方程（组）的定义 题型十一 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型十二 选用合适的方法解二元一次方程 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十四 二元一次方程组的应用 题型十五 幂的混合运算 题型十六 整式的混合运算 题型十七 用科学记数法表示数 题型十八 整式乘法与图形面积 题型十九 运用乘法公式进行计算 题型二十 乘法公式与几何问题 题型二十一 通过对完全平方公式变形求值 题型二十二 整式的化简求值问题 题型一 画图问题（画垂线、平行线、平移作图） 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由个边长为个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题： (1)将向上平移个单位，向左平移个单位得到，画出； (2)的面积为___________．（填空） 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知格点．按下列要求画图：    (1)过点C和一格点D画的平行线． (2)在给定方格纸中，平移，使点B与点对应，请画出平移后的． 题型二 添加一个条件证明两直线平行 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，下列推理中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2021七年级下·全国·专题练习）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是 ．（填写序号）①；②；③；④；    题型三 补全两直线平行的证明过程 7．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平分，，试说明． 证明：∵平分（ 　              　）， ∴　　 （ 　　                    ）， 又∵（ 　                  　）， ∴　　 （ 　　                  ）， ∴　　 （ 　　         ）． 9．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：． 因为平分（ ）， 所以 = （ ）， 又因为（ ）， 所以（ ）． 所以（ ）．    10．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．   证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 题型四 证明两直线平行 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 12．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：如图，，．求证：． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 14．（21-22八年级上·江西吉安·期末）如图，平分，若，，求证：． 题型五 根据平行线的性质求角的度数 15．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图， 直线、被直线所截， 若，平分，， 求的度数． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，若平分，平分，与的反向延长线交于点，试确定与的关系，并说明理由． 17．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，    (1)判断是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 18．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 题型六 平行线的性质在生活中的应用 19．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 20．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 21．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 22．（22-23七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    题型七 根据平行线性质与判定求角度 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知． (1)求证： ； (2)若，，求的度数． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 25．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，，点E在线段上，连接，，，，已知．    (1)请说明的理由． (2)若平分，，，求的度数． 题型八 利用平移的性质求解 26．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：    (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 28．（21-22七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是． (1)若，求的度数． (2)若，当时，则　　． 题型九 利用平移解决实际问题 29．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 30．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 31．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 32．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 题型十 二元一次方程（组）的定义 33．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程．(1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 34．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 题型十一 已知二元一次方程（组）的解求参数 35．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 36．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 题型十二 选用合适的方法解二元一次方程 37．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）解下列方程组． (1)；(2)． 38．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组： (1)；(2)；(3)． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组： (1)；(2) 40．（21-22七年级下·山东烟台·期中）解方程组：． 41．（21-22七年级下·浙江杭州·期中） 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 43．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 44．（21-22七年级下·北京西城·期中）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值． 45．（21-22七年级下·湖南永州·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 题型十四 二元一次方程组的应用 46．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 47．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 48．（2025七年级下·浙江·专题练习）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 49．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 题型十五 幂的混合运算 50．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 51．（2022八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 52．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）计算：． 题型十六 整式的混合运算 53．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 54．（23-24八年级上·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 55．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型十七 用科学记数法表示数 56．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 57．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 58．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 题型十八 整式乘法与图形面积 59．（22-23七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方形木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．    (1)请用含的代数式表示这三块木板的面积总和； (2)如果购买一块长厘米，宽厘米的长方形木板做这种箱子，若不考虑损耗，是否存在整数，刚好可以做成几只完整的箱子？若可以，请求出的值以及相应的箱子只数． 60．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．      (1)请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若游泳池面积和休息区域面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 61．（22-23七年级下·浙江·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：． (1)根据图2，可得等式：______． (2)利用题（1）所得结论解决问题：已知，，求的值． 题型十九 运用乘法公式进行计算 62．（2024七年级下·江苏·专题练习）用整式乘法公式计算：． 63．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)． (2)． 64．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）化简： 65．（2023七年级下·浙江·专题练习）运用完全平方公式计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 题型二十 乘法公式与几何问题 66．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是________．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)运用你所得到的公式，计算下列各题： ① ②计算：． 67．（22-23八年级上·江西南昌·期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 题型二十一 通过对完全平方公式变形求值 68．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 69．（22-23七年级下·江西吉安·期中）已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 70．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)若，，，求出的值 (2)已知：，，，求代数式的值． (3)若，求． 题型二十二 整式的化简求值问题 71．（2025七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 72．（2023七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 73．（22-23七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 当，时，原式=14……第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母和表示，写出一种即可）； (2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的解答过程． 74．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 75．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中 $$