七年级下册期中压轴题型专项训练（考题猜想，16大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

七年级下册期中压轴题型专项训练（16大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据平行线的性质探究角的关系 题型二 根据平行线的性质与判定求角度 题型三 根据平行线的性质与判定证明 题型四 与平行线有关的折叠问题 题型五 与平行线有关的旋转问题 题型六 与平行线有关的定值问题 题型七 与三角板有关的角度计算问题 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 与二元一次方程组有关的新定义问题 题型十 二元一次方程组的应用（其它问题） 题型十一 利用幂的乘方比较大小 题型十二 多项式乘法中的规律探究问题 题型十三 配方法的应用 题型十四 与整式四则运算有关的新定义问题 题型十五 与整式四则运算有关的阅读材料类问题 题型十六 与整式四则运算有关的图形面积问题 题型一 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级上·吉林长春·期末）“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，已知，若，，则的度数是________． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． [方法应用] 已知．    (1)如图②，若，，则________度； (2)如图②，写出、、之间的数量关系，并证明； (3)如图③，平分，平分，，求的度数． 2．（22-23七年级下·山东济南·期中）（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且． (1)若，则　　． (2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各图中的与平行． (1)图①中的 度， 图②中的 度， 图③中的 度， 图④中的 度，…， 第⑩个图中的 度 (2)第n个图中的 ． 5．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 题型二 根据平行线的性质与判定求角度 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上， (1)连接，，平分，平分，且，所在直线交于点． ①如图1，若，，则的度数为 ； ②如图2，设，，则的度数为 （用含有α，β的式子表示）． (2)如图3，平分，平分，，则和的数量关系是 ． (3)如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论； 7．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 8．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，． (1)求证：； (2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数； (3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案） 9．（21-22七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 题型三 根据平行线的性质与判定证明 10．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 11．（20-21七年级下·湖北随州·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点A、D分别在射线上，且，F在线段上，平分，平分．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动，使，求的度数． 12．（20-21七年级下·重庆·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 13．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 题型四 与平行线有关的折叠问题 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ． 16．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 17．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 题型五 与平行线有关的旋转问题 18．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 19．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 20．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 题型六 与平行线有关的定值问题 21．（21-22七年级下·河北保定·期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于． (1)如图1，若，求的度数； (2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值； (3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系； ②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系． 22．（22-23七年级下·河南商丘·期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．   题型七 与三角板有关的角度计算问题 23．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，____________； (2)当时，求的度数； (3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，一副三角板，其中． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值． 25．（20-21七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定 ，将 绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 题型八 二元一次方程组的特殊解法 26．（2023七年级下·浙江·专题练习）请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 27．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 题型九 与二元一次方程组有关的新定义问题 28．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 29．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4． (1)求“优美二元一次方程”的“优美值”； (2)若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值； (3)是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 题型十 二元一次方程组的应用（其它问题） 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ (2)若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？ (3)若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不记损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？ 32．（21-22七年级下·福建莆田·阶段练习）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地． (1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ ①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组 甲：x表示　　，y表示　　；乙：表示　　，表示　　； ②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题． (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？ 33．（2023七年级下·浙江·专题练习）营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300克． ②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质． ③蛋白质和脂肪共占50%；矿物质的含量是蛋白质含量的；蛋白质和碳水化合物含量共占70%． 根据上述信息回答下列的问题： (1)这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共 　 　克； (2)分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量． (3)学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9，同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 题型十一 利用幂的乘方比较大小 34．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）． (2)比较与的大小（写出具体过程）． (3)已知，求的值． 题型十二 多项式乘法中的规律探究问题 35．（2023七年级下·浙江·专题练习）你能求出的值吗？ (1) … 　 ． (2)请你用上面的结论，计算：． 36．（22-23八年级上·吉林白城·期末）（1）计算观察下列各式填空： 第1个：___________； 第2个：___________； 第3个：___________； 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________． （3）利用（2）的猜想结论计算：___________． （4）扩展与应用：___________． 37．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）仔细观察下列算式，尝试问题解决： 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数： 杨辉三角形                            各项系数和为2                    各项系数和为4             各项系数和为8     各项系数和为16 ……                                     …… (1)请根据上图中的杨辉三角系数表，仔细观察各式中系数的规律并填空： ①请补全下面展开式的系数：________________； ②请直接写出各项系数之和：________； ③此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期________； (2)设． 小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)你能在（2）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 题型十三 配方法的应用 38．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，的值为 ；当时，的值为 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可以看出代数式的最小值为 ，这时相应的 ． 根据上述探究，请解答： （1）求代数式的最大值，并写出相应x的值； （2）把（1）中代数式记为A，代数式记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时xy的值，若不能，请说明理由． 39．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： (1)比较整式和的大小关系，并请说明理由． (2)比较整式和的大小关系，并请说明理由． 40．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 题型十四 与整式四则运算有关的新定义问题 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它的运算律．对于运算： 实数a，b，规定．小滨通过计算，，发现． 小江：该运算满足． 小美：该运算满足． 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由． 42．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”． (1)若，，求a，b的“加乘数”c； (2)若，，求a、b的“加乘数”c． 43．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 题型十五 与整式四则运算有关的阅读材料类问题 44．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 45．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 46．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料:《见微知警》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的篮要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决:(1)已知． ①求_____；_____； ②求代数式的值． (2)若满足，求的值． 47．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 题型十六 与整式四则运算有关的图形面积问题 48．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．      (1)如图1，表示的面积，表示的面积， ①用含a、b的代数式分别表示、； ②已知，，求； (2)如图2，当时，M、N分别是、上的两个点，，，以、为边作长方形，已知长方形的面积为20，求． 49．（22-23七年级下·广东清远·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．    (1)根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：______（选择正确的一个） . B．C． D． (2)请应用（1）中的等式，解答下列问题： ①计算：； ②计算：． 50．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． $$七年级下册期中压轴题型专项训练（16大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据平行线的性质探究角的关系 题型二 根据平行线的性质与判定求角度 题型三 根据平行线的性质与判定证明 题型四 与平行线有关的折叠问题 题型五 与平行线有关的旋转问题 题型六 与平行线有关的定值问题 题型七 与三角板有关的角度计算问题 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 与二元一次方程组有关的新定义问题 题型十 二元一次方程组的应用（其它问题） 题型十一 利用幂的乘方比较大小 题型十二 多项式乘法中的规律探究问题 题型十三 配方法的应用 题型十四 与整式四则运算有关的新定义问题 题型十五 与整式四则运算有关的阅读材料类问题 题型十六 与整式四则运算有关的图形面积问题 题型一 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级上·吉林长春·期末）“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，已知，若，，则的度数是________． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． [方法应用] 已知．    (1)如图②，若，，则________度； (2)如图②，写出、、之间的数量关系，并证明； (3)如图③，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定与性质求解即可； （2）仿照（1）中求解过程解答即可； （3）由（2）中结论求得，再由角平分线的定义求得，过点作，利用平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明：如图②，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，由（2）得， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质探究角的关系是解答的关键． 2．（22-23七年级下·山东济南·期中）（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；（2）83°；（3）25 【分析】（1）利用猪脚模型，进行计算即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，然后进行计算即可解答； （3）设与相交于点，先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得：，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）设与相交于点， ，， ， ， 由（1）得：， ， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且． (1)若，则　　． (2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，把转化为，从而求得度数； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质，把转化为，把转化为，得出，从而用表示出的度数； （3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出，进而找到与间的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点作， 由（1）知，， 过点作， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由（2）的结论可知，，，， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想解题，作平行线将角转化是解题的关键． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各图中的与平行． (1)图①中的 度， 图②中的 度， 图③中的 度， 图④中的 度，…， 第⑩个图中的 度 (2)第n个图中的 ． 【答案】(1)180；360；540；720；1620 (2) 【分析】（1）对于图①直接利用平行线的性质解决问题；对于②③④…等，作平行线，然后利用平行线的性质解决问题； （2）利用（1）中计算的结果得到一般情况下的规律． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，分别过作的平行线，图②中的， 图③中的， 图④中的，…， 第⑩个图中的； （2）解：第n个图中的． 故答案为180，360，540，720，1620；． 【点睛】本题考查了平行线性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．解决本题的关键构建平行线． 5．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案； （3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二 根据平行线的性质与判定求角度 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上， (1)连接，，平分，平分，且，所在直线交于点． ①如图1，若，，则的度数为 ； ②如图2，设，，则的度数为 （用含有α，β的式子表示）． (2)如图3，平分，平分，，则和的数量关系是 ． (3)如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论； 【答案】(1)①；② (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及等式的性质，添加辅助线是解题的关键． （1）①如图1所示，过点作，根据，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数； ②如图2所示，过点作， ，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数． （2）根据（1）的结论，再利用角平分线的定义求解； （3）根据（1）的结论，再利用等式的性质求解求解． 【详解】（1）解：①过点作，如图1所示：   ， ， ∴， ， ，即， 平分，平分，，， ，， ； 故答案为：； ②过点作，如图2所示：   ， ， ， ∴， ， ，即， 平分，平分，，， ，， ． 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得： ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 由（1）的结论得： ①， ②， 得： ． 7．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC (2)见详解 (3)①55°；②160 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； ②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°． 【详解】（1）如图1，过点A作EDBC，    ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， ∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC； （2）如图2，过C作CFAB，   ， ∵ABDE， ∴CFDE， ∴∠D+∠FCD＝180°， ∵CFAB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF， ∴∠D+∠BCD＝180°+∠B， 即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°； （3）①如图3，过点E作EFAB，    ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°； ②如图4，过点E作EFAB，    ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°， 故答案为：160． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线． 8．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，． (1)求证：； (2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数； (3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明； （2）如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案； （3）如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点H作． ∴． ∵， 故可设，则． ∵， ∴，，． ∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB， ∴，， ∴，． 由（1）可知， ∴， ∴， 解得：． ∴，． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点M作． 由题意可设，则． ∵，FK平分∠AFE ∴，． ∵， ∴． ∵EM平分∠HED， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵GM平分∠HGB， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴． 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键． 9．（21-22七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线，对顶角，平行公理的应用，角平分线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型三 根据平行线的性质与判定证明 10．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①过P作，利用平行线的性质得到，，即可解答； ②根据平行线的性质，可得，故可得，再利用角平分线的定义可得，结合①中结论即可解答； （2）过P作，过G作，利用平行线的性质得到和，再利用角平分线的定义，即可解答． 【详解】（1）解：①过P作，如图1：则， ， ， ， ； ②由①得：， ， 与的平分线交于点M， ，， ， 由①得：； （2）如图2，过P作，过G作， 则， ， ， ， ， 同理：， 与的平分线交于点G， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作出正确的辅助线是解题的关键． 11．（20-21七年级下·湖北随州·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点A、D分别在射线上，且，F在线段上，平分，平分．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动，使，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)42° 【分析】（1）结论：．证明即可． （2）由题意 可得结论． （3）设，利用平行线的性质，构建方程求解即可． 【详解】（1）结论：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵平分，平分， ∴， ∴． （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 则有， 解得， ∴． 【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．（20-21七年级下·重庆·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，过点N作， ， ，， 设，， 、分别平分，, ，， 又， ， 又， ， ， ， ， （3）解： ，即， ∴， ∴ ，， 又和是角平分线， ， ， 又， ∴， 故答案为． 13．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 【答案】(1)直线与直线平行，理由见解析 (2)①；②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的计算，证明两个角的关系． (1)证明内错角相等即可． (2) ①根据平行线的性质，等腰三角形的性质，余角性质计算即可． ②仿照①，结合外角性质，将问题一般化计算即可． 【详解】（1）解：直线与直线平行，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）①∵，的平分线， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由如下： ∵是的外角，是的外角， ∴， 又∵平分，的平分线，， ∴，， ∴ ， 即． 题型四 与平行线有关的折叠问题 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出，根据折叠得出，再逐个判断即可． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质，得，①正确； ，②正确； ， ． ， ，③正确； ， ，④正确． 故正确的结论有4个． 15．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，分类讨论，掌握平行线的性质是解题的关键． 16．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解． 【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当在下方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键． 17．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)不成立，数量关系应为：，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可； （2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系； （3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系． 【详解】（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，， ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ， ，（四边形内角和为） ， 故答案为： （2）解：如下图，过点作，交于点，交于点    则， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） （3）解：如下图，过点作，则，   ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） ，即 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 题型五 与平行线有关的旋转问题 18．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；② 或30 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题．当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为 或30． 19．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） ， , 平分， ∴， ∴； （3）由得 当时，， 解得，（舍）； 当时，， 解得，； 当时，， 解得（舍）； 当时，， 解得，， 综上所述，或． 20．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①或；②秒或秒或秒 【分析】（1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果； （2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数； ②根据题意可知，当时，分三种情况， Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案； Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【详解】（1）解：延长与相交于点G，如图1，    ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①Ⅰ如图2，    ∵，， ∴， ∴射线的运动时间， ∴射线PN旋转的角度， 又∵， ∴； Ⅱ如图3所示，    ∵，， ∴， ∴射线运动的时间， ∴射线旋转的角度： 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②Ⅰ当从出发，运动如图4时，，与相交于点H，    根据题意可知，经过t秒， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，，    根据题意可知，，，，射线的转动度数为， 则， 又∵， ∴， ∴， 解得； Ⅲ当从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，，    根据题意可知，经过t秒， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键． 题型六 与平行线有关的定值问题 21．（21-22七年级下·河北保定·期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于． (1)如图1，若，求的度数； (2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值； (3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系； ②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数； （2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值； （3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系； ②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答． 【详解】（1）过点作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）① ② 【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键． 22．（22-23七年级下·河南商丘·期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 题型七 与三角板有关的角度计算问题 23．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，____________； (2)当时，求的度数； (3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值． 【答案】(1)3 (2) (3)的值为15或27或35 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论． （1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可； （2）当时，旋转角为，可求出，即可求出； （3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）当秒时，的旋转角度为， 即，如图， ∴ ； （3）①当时，如图， 此时与重合，旋转角度为， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，一副三角板，其中． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2)15或60或105或150 (3)30或120 【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质可得，即可求得答案； （2）当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解；当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解； （3）当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质求解即可；当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方或在下方时，分别运用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得，，，， ，， ， ， ； （2）解：如图，当时，延长交于点， ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， ； 当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， ， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， ， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， 综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150； （3）解：由题意得，，， 如图，当时，延长交于点 ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ， 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）； 当时，延长交于点， 当在上方时，，如图， ， 根据题意得：， ， ， ， 即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； 当在下方时，如图， ， 根据题意可知：， ， ， ， 即， ， 综上所述：所有满足条件的的值为30或120． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题． 25．（20-21七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定 ，将 绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 【答案】(1)①140°；②30° (2)，见解析 (3)①45；②30° 【分析】（1）①根据，可知，则；②根据，，可知，则； （2）根据，可知； （3）①根据，可知；②根据，可知，则，则． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵， ∴； （3）①∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 题型八 二元一次方程组的特殊解法 26．（2023七年级下·浙江·专题练习）请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】设，，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，得出，解得即可． 【详解】解：设，， 则原方程组可变形为，整理可得， 用加减消元法解得， ∴， 解得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了加减法解二元一次方程组以及换元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 27．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 题型九 与二元一次方程组有关的新定义问题 28．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 29．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4． (1)求“优美二元一次方程”的“优美值”； (2)若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值； (3)是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则“优美二元一次方程”化为：，解方程即可求解； （2）令，则“优美二元一次方程”化为：，将把代入，即可求解； （3）令，则“优美二元一次方程”化为：，令，则“优美二元一次方程”化为：，根据“优美值”相同，列出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，． 其“优美值”为． （2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：， 把代入，得． （3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，， 其“优美值”为． 令，则“优美二元一次方程”化为：，， 其“优美值”为． 假设“优美值”相同， ∴，∴． ∴即“优美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】(1)11，5 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再计算出①②的结果，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）解：∵， ∴， ①②可得：． 题型十 二元一次方程组的应用（其它问题） 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ (2)若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？ (3)若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不记损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？ 【答案】(1)可制作竖式无盖箱子24个，可制作横式无盖箱子48个 (2)可以制作竖式箱子50个 (3)45个 【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，然后根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题； （2）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，然后根据题意可以列出相应的，二元一次方程组，再解方程组即可解答本题； （3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有列，由于材料恰好用完，则最后A型的数量一定是3的倍数，据此列出相应的二元一次方程，再根据a为整数和，即可解答本题． 【详解】（1）解：设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个， 依题意有， 解得， ∴可制作竖式无盖箱子24个，可制作横式无盖箱子48个； （2）解：设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个， 由题意得，， 解得， ∴可以制作竖式箱子50个； （3）解：C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有列， ∵材料恰好用完， ∴最后A型的数量一定是3的倍数， 设竖式a个，横式b个， ∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型， ∴， ∴， ∵a、b均为整数，， ∴或或或， ∴最多可以制作竖式箱子45个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答． 32．（21-22七年级下·福建莆田·阶段练习）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地． (1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ ①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组 甲：x表示　　，y表示　　；乙：表示　　，表示　　； ②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题． (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？ 【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800 (2)8吨 【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可； ②将的值代入方程组即可得到结论． （2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量， 乙：表示产品销售额，表示原料费， 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； 则甲： 乙：， 故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费． ②将代入原方程组解得， 产品销售额为元， 原料费为元， 运费为元， （元）， 答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元． （2）解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨， 原料总重量是产品总重量的2倍， ． 解得：． 则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨． 产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元， ． 解得：． ． 答：需要再购买8吨的原料． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解． 33．（2023七年级下·浙江·专题练习）营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300克． ②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质． ③蛋白质和脂肪共占50%；矿物质的含量是蛋白质含量的；蛋白质和碳水化合物含量共占70%． 根据上述信息回答下列的问题： (1)这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共 　 　克； (2)分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量． (3)学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9，同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 【答案】(1)150 (2)这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克 (3)脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克 【分析】（1）根据质量＝总质量×百分比，这份快餐总质量为300g，蛋白质和脂肪共占50%，根据公式即可计算出这份快餐中蛋白质和脂肪的质量． （2）（方法一）根据矿物质的含量是蛋白质质量，设出矿物质的质量和脂肪的质量，表示出蛋白质的质量，然后根据题意，列出二元一次方程组，通过解方程求出值．（方法二）可以设出矿物质的质量、蛋白质的质量和脂肪的质量3个未知数，根据题意，列出三元一次方程组，解方程求出值． （3）通过计算这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量比，判断是否符合理想比；根据碳水化合物、脂肪、蛋白质的“理想比”＝8：1：9，设出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量，然后根据这三种成分的总质量占300克总质量的90%列出方程，从而计算出三种成分的质量． 【详解】（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量：（克）． 故答案为：150． （2）（方法一）设矿物质的质量为x克，脂肪的质量为y克，则蛋白质的质量为3x克， 根据题意，得， 解得． 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克． （方法二）设矿物质单元质量为x克，蛋白质的质量为3x克，脂肪的质量为y克，碳水化合物的质量为z克， 根据题意，得， 解得． 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克． （3）这份快餐的碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量分别为120克、60克、90克，这三种成分的质量比为4：2：3，不符合“理想比”． 设符合“理想比”的碳水化合物的质量为8a克，脂肪的质量为a克，蛋白质的质量为9a克． 根据题意，得， 解得， 矿物质的质量：（克）． 答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，其中通过设未知数，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 题型十一 利用幂的乘方比较大小 34．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）． (2)比较与的大小（写出具体过程）． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)603979776 【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答； （2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可； （3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的形式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2） （3） ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则． 题型十二 多项式乘法中的规律探究问题 35．（2023七年级下·浙江·专题练习）你能求出的值吗？ (1) … 　 ． (2)请你用上面的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式的规律即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）∵ ∴ 【点睛】本题考查了多项式乘法运算的规律问题，找到规律是解题的关键． 36．（22-23八年级上·吉林白城·期末）（1）计算观察下列各式填空： 第1个：___________； 第2个：___________； 第3个：___________； 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________． （3）利用（2）的猜想结论计算：___________． （4）扩展与应用：___________． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算即可得； （2）利用（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，即可得； （3）将原式变为，即可得； （4）将原式变形为，在根据所得规律进行计算即可得． 【详解】解：（1）第1个：； 第2个：； 第3个：； 故答案为：；；； （2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差， 若n为大于1的正整数，则， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律． 37．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）仔细观察下列算式，尝试问题解决： 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数： 杨辉三角形                            各项系数和为2                    各项系数和为4             各项系数和为8     各项系数和为16 ……                                     …… (1)请根据上图中的杨辉三角系数表，仔细观察各式中系数的规律并填空： ①请补全下面展开式的系数：________________； ②请直接写出各项系数之和：________； ③此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期________； (2)设． 小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)你能在（2）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)①，；②；③二 (2) (3)能， 【分析】（1）①根据规律写出各项，即可求解； ②根据规律可得各项系数之和为为，    ③，进而根据整除即可求解； （2）根据题意可得各项系数之和为，，整体代入，即可求解； （3）根据（2）的方法，分别设，，得出①②，然后两式相加，即可求解． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ②，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ……    各项系数之和为为，      ∴各项系数之和为， 故答案为：． ③∵， ∴被除余数为， 假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期二； 故答案为：二． （2）解：∵各项系数之和为， 即， ∵令，则， ∴； （3）当时，① 当时，② ①+②得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到杨辉三角系数规律是解题的关键． 题型十三 配方法的应用 38．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，的值为 ；当时，的值为 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可以看出代数式的最小值为 ，这时相应的 ． 根据上述探究，请解答： （1）求代数式的最大值，并写出相应x的值； （2）把（1）中代数式记为A，代数式记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时xy的值，若不能，请说明理由． 【答案】探究一：； 16；探究二：； 2；（1）当时，最大值是33；（2）存在，x，y的值，使得A与B的值相等，此时 【分析】探究一：把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案； 探究二：根据代数式吧变形后的式子可得结论； （1）将代数式根据完全平方公式变形可得结论； （2）令即可求解． 【详解】探究一： 当时，； 若，； 故答案为：，16； 探究二： ， ∵是非负数， ∴这个代数式的最小值是，此时． 故答案为：，2； （1）原式， ∵， 故当时，最大值是33 （2） 故当，时, 此时． 【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 39．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： (1)比较整式和的大小关系，并请说明理由． (2)比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）运用作差法，再根据材料提示方法比较即可求解； （2）运用作差法，配方法得到完全平方公式，再根据材料提示方法比较即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查运用乘法公式进行整式的运算，作差法比较整式的大小，任何实数的平方的非负形等知识的综合，掌握以上知识及运算法则是解题的关键． 40．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型十四 与整式四则运算有关的新定义问题 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它的运算律．对于运算： 实数a，b，规定．小滨通过计算，，发现． 小江：该运算满足． 小美：该运算满足． 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】小江的说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算．根据新定义运算分别计算进行判断即可． 【详解】解：小江的说法正确，理由如下： 因为 ． 所以． 小美的说法错误，理由如下： ． ． 所以． 42．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”． (1)若，，求a，b的“加乘数”c； (2)若，，求a、b的“加乘数”c． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． 43．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【答案】-，－20 【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案． 【详解】解： = = =- 当x=2，y=1时， 原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键． 题型十五 与整式四则运算有关的阅读材料类问题 44．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)13， (2)18 (3) 【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可； （2）将变形为，代入计算即可； （3）根据已知得到，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； ； （2）∵，， ∴ ； （3）∵，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形． 45．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）用整体代入法进行计算； （2）用逐步降次法进行计算． 【详解】（1）∵， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是正确应用“逐步降次法”和“整体代入法”两种方法进行解答． 46．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料:《见微知警》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的篮要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决: (1)已知． ①求_____；_____； ②求代数式的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）根据上述例题解法，，进行化简分式，即可；根据，得，对分式进行化简，即可；根据，得，对分式进行化简，即可； （2）根据，完全平方公式，可得，，再根据，即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ； 故答案为：； ∵ ∴ ∴ ； 故答案为：； ∵ ∴ ∴ ； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法和加减运算，幂的乘方，学习部分换成整体的解题法思路． 47．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案． （2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变． （3）根据第二问的结论计算即可． 【详解】（1）解： =1； （2）解：原式=， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． 题型十六 与整式四则运算有关的图形面积问题 48．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．      (1)如图1，表示的面积，表示的面积， ①用含a、b的代数式分别表示、； ②已知，，求； (2)如图2，当时，M、N分别是、上的两个点，，，以、为边作长方形，已知长方形的面积为20，求． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可；②根据①中、列式利用完全平方公式变形，整体代入求解即可； （2）根据完全平方公式变形，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，，， ，， ，； ②由①知：，； ，， ； （2）解：由题意得：，即， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 49．（22-23七年级下·广东清远·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．    (1)根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：______（选择正确的一个） . B．C． D． (2)请应用（1）中的等式，解答下列问题： ①计算：； ②计算：． 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】（1）观察图形，利用两图的面积相等即可得出结论； （2）①将原式变形为，再利用（1）的公式计算； ②将3变形为，再逐步利用平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选:C． （2）解：①原式 ②原式 【点睛】本题主要考查完全平方公式，要仔细观察所给结论，灵活运用. 50．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． 【答案】(1)20，28 (2) (3) 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出，，，是解题的关键． （1）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将代入计算，即可求解； （2）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可获得但； （3）结合（1）（2）可得，，再代入进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，长方形的长为，宽为， 则， ， 当时， ，． 故答案为：20，28； （2）由图形可知，长方形的长为，宽为， 则， ， ∴； （3）由（1）（2）可知，，，， ∴， 将，代入， 可得，整理可得， 即， ∴b与c满足的数量关系为． $$