类型4 折叠类几何综合题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质课件PPT

数学 1 专题七 直线型（三角形、四边形、 多边形）几何综合题 类型4 折叠类几何综合题 2 热身小练 1.如图，在中，点在上，连接.将沿直线 折叠，得 到，则和的大小关系为________________，线段 与 的位置关系为________________. 垂直平分 第1题图 3 第2题图 2.（1）如图①，若将 沿直线 折叠，请画出点和点 的对应点 和点 的位置； 解：画出点和点 的位置如解图①所示； 第2题解图① 4 （2）如图②，若将沿直线折叠后，点的对应点落在 上， 请画出折痕 . 【答案】折痕 如解图②所示. 第2题解图② 5 第3题图 3.如图，在矩形中，点为的中点，点 在线段 上，将沿直线折叠.请画出点 的运动轨迹. 解：如解图，点在以点为圆心， 长为半径的弧上. 第3题解图 6 综合训练 第1题图 1.[2023仙桃]如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点的对应点落在边上（点 不与点 ，重合），点落在点处，与交于点 ，折 痕分别与边，交于点，，连接 . 7 第1题图 （1）求证： ； 证明：由折叠的性质可知： ， 四边形是正方形， ， ， ； 8 （2）若，求 的长. 第1题图 9 第1题图 解：设，，则 ，设 . 在中， ， ， ，即 . ， ， ， 10 ，又 ， ， ，即 ， 整理得，或 （舍去）. . 第1题图 2.[2023枣庄]问题情境：如图①，在中， ， ，是边上的中线.如图②，将的两个顶点， 分别沿 ，折叠后均与点重合，折痕分别交，，于点，，， . 第2题图 12 猜想证明： （1）如图②，试判断四边形 的形状，并说明理由； 第2题图 13 解：四边形 是菱形， 理由：，是 边上的中线， ， ， ， 由折叠得，，， ， ， ， ， 第2题图 14 ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形； 第2题图 问题解决： （2）如图③，将图②中左侧折叠的三角形展开后，重新沿 折叠，使得 顶点与点重合，折痕分别交，于点，，的对应线段交 于点，求四边形 的面积. 第2题图 16 【答案】如解图，过点作于点，则 ， 第2题解图 ， ， ， ， 17 ， 由（1）知， 是 的中位线， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， ， 第2题解图 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 的面积是30. 第2题解图 3.[2023沈阳]如图①，在纸片中，， ， ，点为边上的一点（点不与点重合），连接 ，将 纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为， ，射线 与射线交于点 . 第3题图 20 （1）求证： ； 第3题图 21 第3题图 证明： 四边形 是平行四 边形， ， ， 由折叠得 ， ， ， ， ； 22 （2）如图②，当时， 的长为___________； ； 第3题图 23 第3题解图① 【解法提示】如解图①，过点作，交 的延 长线于，在中， ， ， ， ，四边形 是矩形，由（1）知， 矩形 是正方形， ， . 24 （3）如图③，当时，过点作，垂足为点，延长 交 于点，连接，，求 的面积. 第3题图 25 第3题解图② 解：如解图②，过点作，交 的延长 线于，过点作于，交 的延长线 于，过点作于 ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知： ， 26 ， ， 又 将纸片沿所在直线折叠，点 ， 的对应点分别为，， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ， 第3题解图② 在中， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 第3题解图② ， 由得 ， ， ， ， ， ， ， ， . 第3题解图② 4.[2024湖北省卷]在矩形中，点，分别在边， 上，将矩形 沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点， 交于点 . 第4题图 30 （1）如图①，求证： ； 第4题图 31 第4题解图① 证明：如解图①， 四边形 是矩形， ， ， 将四边形沿折叠，使的对应点落在 上， ， ， ， ； 32 （2）如图②，当为的中点，，时，求 的长； 第4题图 33 第4题图 解： 四边形 是矩形， ， ， ， 为 的中点， ， 设， ， 在中， ， 34 即 ，解得 ， ， ， ， ， 即 ， ， 由折叠性质可得 ， 第4题图 ； 第4题图 （3）如图③，连接，当，分别为，的中点时，探究与 的数量关系，并说明理由. 第4题图 37 第4题解图② 解：如解图②，延长，交于一点，连接 ， ，分别在，上，将四边形沿 折叠，使点 的对应点落在 上， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为 的中点， 38 设 ， ， 为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， 第4题解图② 在中， ， ， ， ， ， ， . 第4题解图② 5.[2024宿迁]在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探 究活动. 第5题图 41 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕 ， 把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点 落在正方形内部， 得到折痕 ； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边 重合， 得到折痕 . 把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、 . 根据以上操作，得____ . 45 42 第5题图 43 【解法提示】如解图①，由题意可得， ， ， ， . 第5题解图① 44 【探究证明】（1） 多解法 如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明； 45 解：解法一： 为等腰直角三角形，证明如下： 由题意可得 ， 四边形 是正方形， ， ， ，又 ， ， ， 46 ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； 多解法 解法二： ， 、、、 四点共圆， 48 ， ， ， 为等腰直角三角形； （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、 于点 、、.求证： . 50 证明：由（1）得 ， ， ， ， ， ， , ， ， 易得 ， 51 ， 根据折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ； 【深入研究】 多解法 若，请求出的值（用含 的代数式表示）. 第5题图 53 第5题解图② 解：解法一：将绕点顺时针旋转 至 ， 连接 ，如解图②， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 54 ， 又 ， ， ， ， 由（2）知，四边形 为矩形， ， ， 设， ， 第5题解图② ， ， ， ， ， ， 解得， ， . 多解法 第5题解图② 第5题解图③ 解法二：易得， ， 设，则 ， ， ， 如解图③，延长交的延长线于点，则 ， 由（2）知为的中点， ， 为的中点，即 ， ， ， ， 57 ， ， ， . 第5题解图③ $$