类型2 与切线有关的证明与计算-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质课件PPT

数学 1 专题六 曲线型（圆）几何综合题 类型2 与切线有关的证明与计算 2 考法1 角平分线模型 模型解读 图示 总结 ______________________________________________________ 已知平分或点是 的中点，得 ，是切线，连接，得 ； 已知“是的切线”，可得“平分 ” 或“点为 的中点” 3 针对训练 1.[2024临夏州]如图，直线与相切于点，为的直径，过点 作于点，延长交直线于点 . 第1题图 （1）求证：平分 ； 4 第1题解图 证明：连接 ，如解图， 直线与相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ； 5 第1题图 （2）如果，，求 的半径. 解：设的半径为，则 ， 在中，，， ， ， 解得 ， 即 的半径为4. 6 2.[2024齐齐哈尔]如图，内接于，为的直径， 于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为 ， 延长交的延长线于点 . 第2题图 7 第2题图 【解析】思维构建 （1）看到翻折可得 ， 平分 ，由此可知本题为角平分线模型，连接 ，通过 证得 ； （2）图中阴影部分为不规则图形，无法直接求面积， 观察可知，只需求出和 的直角 边长即可解决问题. 8 （1）求证：是 的切线； 第2题图 9 第2题解图 证明：连接 ，如解图， ， ， ， ， 将沿所在的直线翻折，得到 ， ， ， ， 10 ， ， 是 的半径， 是 的切线； 第2题解图 （2）若， ，求图中阴影部分的面积. 第2题图 12 第2题图 解：， ， ， ， ， ， ， ， . 13 第3题图 3.[2023宜宾]如图，以为直径的 上有两点 ，，，过点作直线交 的 延长线于点，交的延长线于点，过点 作 平分交于点，交于点 . （1）求证：是 的切线； 14 第3题解图 证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 第3题图 （2）求证： ； 证明：由（1）知是 的切线， ， 平分， ， ， ， ； 16 （3）如果是的中点，且，求 的长. 第3题图 17 第3题图 解：由（2）知， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 18 ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， . 第3题图 考法2 弦切角模型 模型解读 图示 总结 _________________________________________________________ 已知，得， 是 切线； 已知“是 的切线”，得“ ”“ ”“ ”或“ ” 20 针对训练 4.[2023郴州]如图，是的直径，点是圆上一点，在 的延长线上 取一点，连接，使 . 第4题图 （1）求证：直线是 的切线； 21 第4题解图 证明：如解图，连接 ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 直线是 的切线； 22 第4题图 （2）若 ， ，求图中阴影部 分的面积（结果用含 的式子表示）. 解： ， ， ， ， 在中， ， ， ，解得 ， . 23 第5题图 5.[2024达州]如图，是的直径，四边形 内接 于，连接，且，以 为边作 交的延长线于点 . 24 （1）求证：是 的切线； 第5题解图① 证明：如解图①，连接 ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是 的半径， 是 的切线； 第5题解图① （2）过点作交于点，若，求 的值. 第5题图 27 第5题解图② 解：如解图②，延长交于，连接并延长交 于 ，连接 ， 是 的直径， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 28 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，设，则 ， 第5题解图② ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ， . 第5题解图② 6.[2024辽宁]如图，是的外接圆，是的直径，点在 上，，点在的延长线上， . 第6题图 31 【解析】思维构建 （1） （2）已知半径求弧长，只需求弧 对应的圆心角度数即可. 第6题图 32 （1）如图①，求证：是 的切线； 第6题图 33 第6题解图① 证明：如解图①，连接 ， ， ， 即 ， , ， ，， ， 是的直径， ， ， 34 ， ， ， ，即 ， 是 的半径， 是 的切线； 第6题解图① （2）如图②，若，，求 的长. 第6题图 36 第6题解图② 解：如解图②，连接 ， 设，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ，即 ， ， ，即 ， ， ，的长为 . 37 考法3 双切线模型 模型解读 图示 总结 _______________________________________ 已知，是的切线，得平分 ， ； 已知是的切线，平分，得是 的切线， 38 针对训练 第7题图 7.[2024自贡]在 中， ，是 的内切圆， 切点分别为，， . （1）图①中三组相等的线段分别是 ，____， ____； 若，，则 半径长 为___； 1 39 第7题解图① 【解法提示】如解图①，连接， ，由切线长定理可 知，，， ，是 的 内切圆， ，， 四 边形是正方形，设 ，则 ， ， ， ， 解得，，即 半径长为1. 40 （2）如图②，延长到点，使，过点作于点 .求 证：是 的切线. 第7题图 41 第7题解图② 证明：如解图②，过作于，连接， ， ， ，， ， ， ， ，，即 ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ，即是 的半径， ，是 的切线. 42 第8题图 8.[2024云南]如图，是的直径，点， 是 上异于，的点，点在外， ，延 长与的延长线交于点，点在 的延长线 上，，，点 在 直径上， ，点是线段 的中点. （1）求 的度数； 解：是 的直径， ； 43 第8题图 （2）求证：直线与 相切； 证明：， ， 又 ， ， ， ， ，即 ， 又是 的直径， 直线是 的切线； 44 第8题图 （3）多解法 看一看，想一想，证一证：以下与 线段、线段、线段 有关的三个结论： ，， ， 你认为哪个正确？请说明理由. 45 第8题解图① 解： 正确,理由如下： 解法一：如解图①，过点作的垂线交 延长线于 点，设交于点，连接， . 在和中， , ， 是 的半径， 46 与相切，易知与相切， . 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第8题解图① 即 ， ， ， 为的中点，点与 重合， ，， 三点共线， 由已知得在，之间， . 多解法 第8题解图① 解法二：如解图②，连接，， ， 第8题解图② ， ， 49 ， ， 是的中点， ， ， ， , , ， ， ，， 三线共线， 由已知得在， 之间， . 第8题解图② 第8题解图③ 解法三：如解图③，连接，，过点作 的切 线，交的延长线于点，设与交于点 ， 在和中， ， . 由（2）知， ， . 为 的半径， 51 为 的切线. 为的切线，， . ，， ， ，， ， ， ， ，， . ， ， 第8题解图③ 点是线段 的中点， 点是线段 的中点， 点与点 重合， 线段经过点 ， . 第8题解图③ 考法4 等腰三角形模型 模型解读 图示 总结 ______________________________________ 已知是等腰三角形，得是切线，是 中点, 54 针对训练 9.[2024广元]如图，在中，， ，经过 、 两点，交于点，的延长线交于点，交于点 . 第9题图 55 （1）求证：为 的切线； 第9题图 56 第9题图 证明：连接 ，如解图， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即 ， 又为 的半径， 为 的切线； 57 （2）若，，求 的半径. 第9题图 58 第9题解图 解：过点作于点 ，如解图， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， （负值已舍去）， 59 ， , 故的半径为 . 第9题解图 第10题图 10.[2023黄冈]如图，中，以 为直径 的交于点，是 的切线，且 ，垂足为，延长交于点 . （1）求证： ； 证明：连接 ，如解图①， 是的切线， ， ，， ， ， ， ， ； 61 （2）多解法 若，，求 的长. 第10题图 62 解：解法一：连接， ，如解图①， 第10题解图① ， ， ， ， ， ， 63 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， . 第10题解图① 多解法 解法二：连接， ，如解图②， 第10题解图② ，， ， ， 65 ， ， 为的直径， ， ，， ， ， 在中， ， 即 ， 解得 . 第10题解图② 第11题图 11.[2023丹东]如图，已知是的直径， 是的弦，点是外的一点， ，垂 足为，与相交于点，连接 ，且 ，延长交的延长线于点 . 67 （1）求证：是 的切线； 第11题解图 证明：连接 ，如解图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 第11题解图 （2）若，，，求 的长. 第11题图 70 第11题图 解： ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 71 ， ， ， ， ， ， . 第11题图 12.[2023巴中]如图，已知等腰，，以为直径作 交 于点，过作于点，交延长线于点 . 第12题图 （1）求证：是 的切线； 73 第12题解图 证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 74 （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用 表示）. 第12题图 75 第12题解图 解：如解图，连接，设的半径为 ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，为 的中点， ， ， 是的直径， ， 76 ， ， ， ， ， . 第12题解图 第13题图 13.（2022阜新改编）如图，在 中， ，是边上一点，以为圆心， 为 半径的圆与相交于点，点在上，连接 ，且 . 78 （1）求证：是 的切线； 第13题解图① 证明：如解图①，连接 . ， . ， . ， . ， . 又是 的半径， 是 的切线； （2）若 ，，，求 的长. 第13题图 80 第13题解图② 解：如解图②，连接 . ,， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， . ， . ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， 的长为 . 81 考法5 平行弦模型 第14题图 14.[2024甘孜州]如图，为的弦，为 的中点， 过点作，交的延长线于点.连接， . 【解析】题干话外音 题干：为 的中点. 提取信息：垂直平分，， . 题干： . 提取信息：设与交于点， . 82 （1）求证：是 的切线； 第14题图 83 第14题解图 证明：设交于点 ，如解图， 是的半径，为 的中点， 垂直平分 ， ， ， 是的半径，且 ， 是 的切线； 84 第14题图 （2）若，，求 的面积. 解：， ， ， ， ， . 85 15.[2024赤峰]如图，中， ，，经过， 两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点 ，过 点作，交于点 . 第15题图 86 第15题图 （1）求证：是 的切线； 证明：连接 ，如解图， ，， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； 87 （2）若，，求 的长. 第15题图 88 第15题解图 解：如解图，连接，过点作于点 ，则 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ， ， ， 是的直径， ，即 ， ，， ， 89 ， ， ， . 第15题解图 第16题图 16.[2023盘锦]如图，内接于，为 的直径，延长到点，使得，连接 ,过 点作，交于点，交于点，过点 作，交的延长线于点 . 91 （1）求证：与 相切； 第16题解图 证明：连接 ，如解图， 为 的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 又为 的半径， 与 相切； 第16题解图 （2）若，，求 的长. 第16题图 94 第16题图 解：由（1）可知： ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得 ， ， ，， ， ， 设，则 ， 95 ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得 ， ， ， 四边形 为平行四边形， . 第16题图 考法6 其他类型 第17题图 17.[2023辽阳]如图，是的直径，点，在 上，，点在线段 的延长线上，且 . 97 （1）求证：与 相切； 第17题解图 证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 是的直径， ， ， ，即 ， 是 的半径， 与 相切； 第17题解图 第17题图 （2）若，，求 的长. 解：在中，设的半径为 ，即 ，则 ， ， ， ， 在中， ， ， ， . 100 第18题图 18.[2023兰州]如图，内接于，是 的直 径，，于点，交于点，交 于点，，连接 . 101 （1）求证：是 的切线； 第18题解图 证明：如解图，连接 ， ， ， 又， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 为 的半径， 是 的切线； 第18题解图 （2）判断 的形状，并说明理由； 第18题图 104 第18题图 解： 为等腰三角形， 理由：如解图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 105 ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 第18题图 （3）当时，求 的长. 第18题图 解：由（2）可知，， ， ， ， . 107 $$