专题5 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质课件PPT

数学 1 专题五 二次函数图象与性质的应用 突破设问1 交点问题 2 ◆水平直线与一段抛物线的交点问题 例1 已知直线与抛物线的交点个数为 . 【点拨】数形结合法：联立 再根据根的判别式及图象 确定取值范围，注意要结合自变量的取值范围. 3 图象法： a=0 请画出,2时直线 的图象 4 （1）当时， 的取值范围为_____________； （2）当时， 的取值范围为_________________； （3）当时， 的取值范围为( ) . 或 或 同学们！直线与抛物线的交点个数为0,1，2时， 的 取值范围是多少？可自行探究. 5 ◆动线段与定抛物线的交点问题 例2 已知点在直线上，将点向右平移3个单位长度得到点 ， 设点的纵坐标为,线段与抛物线的交点个数为 . 【点拨】图象法： 6 （1）当时， 的取值范围为_____________； （2）当时， 的取值范围为_________________； （3）当时， 的取值范围为__________. 或 或 同学们！已知线段的长度为1，点, ,则抛物线 与线段 的交点情况可自行探究. 7 ◆动抛物线与定线段的交点问题 例3 已知点，，探究抛物线与线段 的交 点情况. 突破口：找临界端点——将线段两端的坐标代入 解析式中，求出此时 的值. 8 （1）①点 在抛物线上： 当点在抛物线对称轴右侧时， 的值为____； 当点在抛物线对称轴左侧时， 的值为____； ②点 在抛物线上： 当点在抛物线对称轴右侧时， 的值为___； 当点在抛物线对称轴左侧时， 的值为___； 0 2 （2）当没有交点时， 的取值范围为___________ _______； 或 9 （3）当只有一个交点时， 的取值范围为________________________； （4）当有2个交点时， 的取值范围为__________ __. 或 $$ 数学 1 专题五 二次函数图象与性质的应用 突破设问2 含参最值问题 2 例1 已知二次函数为常数，且 ，当 时，函数有最小值2，则 的值是( ) A. 1 B. C. 1或 D. 1或 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知二次函数，则抛物线对称轴为直线 ___； ②二次项系数为为常数，且 ，则抛物线开口方向________ （填“确定”或“不确定”）. 1 不确定 √ 3 步骤2 分类讨论与数形结合 例1题解图 4 ①当时，抛物线开口向上，画出草图如解图①，当 时，函数有 最小值2，则，解得 ； 例1题解图 5 ②当 时，抛物线开口向下，在解图②的坐标系中画出草图，并补全 剩余步骤 当时，函数有最小值2，则，解得 例1题解图② . 6 例1题解图 7 步骤3 得出结论 故 的值为_______. 1或 8 例2 [2023贵州改编]已知抛物线 ，当 时，的值恒大于等于9.则 的取值范围为_______. 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线 ，则抛物 线的开口______； ②抛物线的对称轴为直线 ___. 向下 . . 9 步骤2 分类讨论与数形结合 例2题解图 ①如解图①，对称轴在自变量取值范围右侧，即，当时， 有 最小值， ，解得， ； 10 ②如解图②，对称轴在自变量取值范围内，即，当时， 有最小值， 例2题解图 得， ； 请补全后面两种情况的过程及草图并计算出结果： 11 ③ 如解图③，对称轴在自变量取值范围内，即，当时， 有 最小值，得， ； 图③ ； 12 例2题解图 ④ 如解图④，对称轴在自变量取值范围左侧，即，当时， 有最小值，，解得， 图④ . 14 例2题解图 15 步骤3 得出结论 则 的取值范围为_______. 16 例3 若抛物线经过点，，抛物线在， 之间的部分为图象（包括，两点），图象 上点的纵坐标的最大值与 最小值的差为1时， 的值为_______. 或7 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线 ，则抛物线的开口______； ②抛物线的对称轴为_________________，顶点坐标为______； 向上 轴或直线 17 步骤2 分类讨论 抛物线经过点，， ， . ①当点在轴（抛物线对称轴）左侧时，此时， 的 值随值的增大而减小， ，即 ，解得 ； 18 ②当点在轴上或轴右侧，点在轴左侧，且点 到轴的距离小于点到轴的距离时，此时 ， ，即，解得 （舍去）； 请补全后面两种情况的过程并计算出结果： ③ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________ ； ④ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________. 当点在轴右侧，点在轴左侧或轴上，且点到 轴的距离大于 等于点到轴的距离时，此时， ，即 ，解得 （舍去） 当点在轴右侧时，此时， ，即 ，解得 19 步骤3 得出结论则 的值为 _______. 或7 【注意】例2、例3本质上都是围绕对称轴进行分类讨论，解答完成后应检 查分类讨论是否完备，如例3针对进行分类讨论，每种情况下 的取值范 围分别为，，， ，做到了不重复 不遗漏.另外的值在哪边取等号均可，只要保证最终所有分类情况覆盖 的整个取值范围即可. 20 $$ 数学 1 专题五 二次函数图象与性质的应用 突破设问3 大小比较 2 比较二次函数值大小的4种方法： 方法一：直接代入法，直接将<m></m>的值代入，求出对应的<m></m>值. 方法二：画草图比较，画出图象根据图中点的位置高低进行判断. 3 方法三：异侧转同侧，用增减性比较.求出某一异侧点关于对称轴对称的点 的横坐标，然后利用增减性进行比较.如图①和图②. 图① 图② 4 方法四：距离法 先定开口方向，再算距离，开口向上，距离对称轴越远，点的纵坐标越大； 开口向下，距离对称轴越远，点的纵坐标越小.如图③和图④. 图③ 图④ 5 例1 多解法 [2024北京海淀区模拟]若点，， 在抛 物线上，则，， 的大小关系为_____________ （用“ ”连接）. 6 【解析】解法一：将点，， 代入抛物线解析式 可得，， ， . 多解法 解法二：根据题意可知抛物线的对称轴为直线，点 关于直线 对称的点的坐标为， 抛物线开口向上， 在对称轴左侧 随的增大而减小， . 解法三：的开口向上，且对称轴为直线 ， ， . 7 【思维构建】解法一：抛物线的解析式中仅含有一个参数，且，， 三 点的横坐标已知，将，， 三点的横坐标代入抛物线解析式中，可用含 的式子表示出，， ，比较这三个式子的大小即可解决问题； 解法二：此抛物线的对称轴为直线，且，， 三点的横坐标已知， 点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，可求出点 关于对称轴对 称的点的横坐标，再根据增减性进行比较即可； 解法三：先求出，， 三点到对称轴的距离，开口向上时，距离对称轴 越远，点的纵坐标越大. 8 例2 [2024广西梧州模拟]已知抛物线经过 ， 两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 9 【解析】，B分别位于抛物线对称轴的两侧， 或 ， ，由题意得，抛物线的对称轴是直线 ， 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称 轴越近函数值越小，又， ，即 ，.综上所述， . 【思维构建】已知抛物线开口向上，且 ，则点B到对称轴的距离大 于点A到对称轴的距离. 10 综合训练 1.[2023十堰]已知点在直线上，点 ， 在抛物线上，若， ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 11 【解析】令，整理得 ，解得 ，， 直线与抛物线的交点的横坐标为 ， 4，， 抛物线开口向上，对称轴为直 线，顶点为，把代入，解得 ， 若，，则， ， . 12 2.[2023岳阳]若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值 点”.若关于的二次函数， 为常数， 总有两个不同的倍值点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 13 【解析】思维构建 “倍值点”都在直线 上，二次函数有两个“倍值点”，则二次函数 的图象与直线 有两个交点. 易得点在直线上， 关于 的二次函数 ，为常数， 总有两个不同的倍值 点， 二次函数，为常数， 的图 象与直线有两个交点，令 ，则 ， .令 14 ，， ，即 ，解得 . 3.[2023南充]抛物线与轴的一个交点为 ，若 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 √ 16 【解析】速解技巧 特殊值法： 观察A，B，C，D四个选项，发现A，C含，B，D中不含， 令 ，则， 此时函数图象与轴无交点，故排除A，C. 中含有，D中不含， 令 ，则 ，该函数图象与轴有一交点 ，故排除D， 则B选项正确. 17 4.[2024成都]在平面直角坐标系中，，， 是 二次函数图象上三点.若，，则 ___ （填“ ”或“ ”）；若对于， ， ，存在，则 的取值范围是____________. 18 【解析】， 二次函数 图象的对称轴为直线，开口向下， ， ，，即比 离对称轴的水平距离 近，；， ， ，， 对于 ， ，，存在 ， ，，且离对称轴最远， 离对称轴最近， ，，且 ， ， ， ，且，解得 . 19 5.[2022北京]在平面直角坐标系中，点， 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为直线 . （1）多解法 当，时，求抛物线与轴交点的坐标及 的值； 20 解：解法一：当时，点， 的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为 ， ， ， 抛物线与轴交点的坐标为 ； 21 多解法 解法二：将点，代入抛物线 ， ， ，整理，得 ， 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 抛物线与轴交点的坐标为 ； 22 （2）点在抛物线上.若，求的取值范围及 的 取值范围. 23 【答案】， ， 解得， ， ，即 ； 由题意可知，点与点关于 对称， ， 当时， ； 当时， , 的取值范围为 . 综上所述，的取值范围为；的取值范围为 . 24 第6题图 6.已知抛物线的对称轴为直线 ， 与轴交于点 . （1）求抛物线的函数表达式； 解：由题意得解得 抛物线的函数表达式为 ； 25 （2）若把抛物线沿轴平移个单位长度，在自变量的值满足 的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求 的值. 第6题图 26 第6题图 【答案】 , 当时， ， 当时，在自变量的值满足 的情况下 的最小值不为 ； 令，得 ， 解得或 ， 当抛物线向左平移 个单位长度时， 27 ，且当时，随 的增大而增 大， ， 当抛物线向右平移 个单位长度时， ， 综上所述，或 . 第6题图 7.[2024云南昆明模拟]在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象经过坐标原点和点，其中 . （1）当时，求关于的函数表达式，并求出当为何值时， 有最大 值，最大值是多少？ 29 解：当时， ， 把，分别代入 得， 关于的函数表达式为 . ， 当时， 有最大值，最大值为2； 30 （2）当时，在范围内， 是否存在最大值10？若存在，求 出相应的和 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】在范围内， 存在最大值10， 二次函数的图象经过原点和点 ， . 抛物线的对称轴为直线 . 31 ①当，即 时， 当时， 取得最大值. ，解得 . 当的值为5，的值为4时， 取得最大值10； 32 ②当，即 时， 当时， 取得最大值. ,解得（小于0，舍去）或 （大于4，舍去）， 综上所述，当的值为5，的值为4时， 取得最大值10. 33 8.[2023淮安]已知二次函数为常数 . （1）该函数图象与轴交于，两点，若点的坐标为 ， ①的值是____，点 的坐标是__________； ； 【解法提示】二次函数过点 ， 二次函数表达式为 .令 ，.解得或, . 34 ②当时，借助图象，求自变量 的取值范围； 解：由题意，令，或 . 又， 二次函数图象开口向上， 当 时，满足题意的自变量有两部分， 或 ； 35 （2）对于一切实数，若函数值总成立，求 的取值范围 （用含 的式子表示）； 【答案】由题意， 对于一切实数，若函数值 总成立，即 恒成立，即 . 开口向上， ， ; 36 （3）当时其中，为实数，，自变量 的取值范围是 ，求与的值及 的取值范围. 【答案】由题意，二次函数图象上横坐标为与 的两点关于对称 轴对称， 对称轴， ， 二次函数为 ， 当或时，，即此时 . 时，自变量的取值范围是 ， . 37 9.[2023云南节选]在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数， 则称这样的点为整点.设函数 （实数为常数）的图象为图象.是否存在整数，使图象与 轴的公共点 中有整点？若存在，求所有整数 的值；若不存在，请说明理由. 38 解：存在整数，使图象与 轴的公共点中有整点， 当时，函数表达式为 ， 令，得 不符合题意； 当时，在中，令 ，得 ， 解得或 ， 39 ， 是整数， 当是6的因数时， 是整数， 或或或 或 或或或 ， 解得或或或或或或或 ， 是整数， 或或或 . 10.[2024安徽]已知抛物线为常数 的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1. 【解析】题干话外音 题干：抛物线的顶点横坐标比抛物线 的顶点横 坐标大1. 提取信息： . 题干：点在抛物线上，点 在抛物 线 上. 41 提取信息：， . 题干： . 提取信息：要求的值只需求出 的值即可. 题干： . 提取信息：可消去式子中的参数，使式子中只含 . （1）求 的值； 解： 抛物线的顶点横坐标为 ， 的顶点横坐标为1， ， ； 43 （2）点在抛物线上，点 在抛物线 上. 【答案】 点在抛物线 上， ， 在抛物线 上， ， ， . 44 ①若，且，，求 的值； 【答案】， ， ， ，，，， ； ②若，求 的最大值. 【答案】将代入 ， ， ， 当，即时，取最大值 . 45 11.[2024浙江]已知二次函数，为常数 的图象经过点 ，对称轴为直线 . （1）求二次函数的表达式； 解：由题意， 二次函数为 ， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 二次函数的表达式为 . 又 抛物线经过点， ， ， 二次函数的表达式为 ； 46 （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后， 恰好落在的图象上，求 的值； 【答案】由题意， 点向上平移2个单位长度，向左平移 个单位 长度 ， 平移后的点为 . 又在 的图象上， ， 或（舍去）， ； 47 （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差 为，求 的取值范围. 48 【答案】由题意，当 时， 最大值与最小值的差为 ， 解得 ，不符合题意，舍去. 当 时， 最大值与最小值的差为 ，符合题意. 当时，最大值与最小值的差为 ， 解得或 ，不符合题意，舍去. 综上所述，的取值范围为 . 49 $$