八年级数学期中模拟卷-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

2024-2025学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版八年级下册（前三章）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 3.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 5.如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（   ） A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对 6.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 7.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8.如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 9. 三角形两边长是4和7，第三边是方程的根，该三角形的周长是（    ） A．16 B．17 C．22 D．16或22 10.如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x应满足 . 12. 如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为 ． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14. 如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 15. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 . 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（6分）计算 (1)； (2) 18.（6分）解方程： (1) (2)． 19.（8分）如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)如果，试猜测四边形的形状（不需要证明）； (3)如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 20.（8分）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 21.（10分）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 (2)已知，，求； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 22.（10分）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 23.（12分）某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． (1)求月份售出型小家电至少多少台？ (2)经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 24.（12分）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，作于点．如图．    (1)求证：； (2)在同一平面内，将图中的两个三角形按如图所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． 当时，如图，求证：四边形为正方形； 当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，如图所示，画出点的位置，并直接写出线段，，的数量关系． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版八年级下册（前三章）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：， A、与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2.下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，故此选项符合题意； D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与除法，求一个数的算术平方根，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判断． 【详解】解：A．，原计算错误，故选项A不符合题意； B．，原计算错误，故选项B不符合题意； C．，原计算错误，故选项C不符合题意； D．，计算正确，故选项D符合题意； 故选：D． 4.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 5.如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（   ） A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 6.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 7.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 8.如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得． 故选：B． 9. 三角形两边长是4和7，第三边是方程的根，该三角形的周长是（    ） A．16 B．17 C．22 D．16或22 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长．先利用因式分解法求出方程的解，即可得出三角形三边长，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】解：， ， 或， 则，， ①当三角形的三边是4，7，11，此时，不符合三角形三边关系定理， ②当三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是， 故选：A． 10.如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x应满足 . 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义，分母有意义，根据被开方数为非负数以及分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且 12. 如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，先由矩形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵P、Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，，且， 则， ∴ ． 故答案为：6． 14. 如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 【答案】/64度 【分析】根据三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 15. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 . 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且. 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，图形类规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（6分）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ·····（1分） ·····（2分） ；·····（3分） （2）解： ·····（5分） ．·····（6分） 18.（6分）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，····（1分） ∴或，····（2分） 解得：，；····（3分） （2）解：， ∴，····（4分） ∴，····（5分） ∴，．····（6分） 19.（8分）如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)如果，试猜测四边形的形状（不需要证明）； (3)如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 (3)四边形是矩形，理由见详解 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）利用平行四边形的判定，菱形的判定定理和直角三角形斜边上的中线性质得出即可； （3）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ， 在和中， ， ，····（1分） ， ， ，···（2分） 即是的中点；···（3分） （2）解：四边形是菱形，···（5分） 理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴是直角三角形， ∵是的中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形是矩形；···（6分） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴，即，···（7分） ∴平行四边形是矩形．···（8分） 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解题关键． 20.（8分）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：，···（2分） ， ，···（3分） 当时，的最小值是5；···（4分） （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ···（5分） ， ，···（6分） 当时，的最小值为5．···（7分） 又， 无论取何实数，二次根式都有意义．···（8分） 21.（10分）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 (2)已知，，求； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值， （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知分别化简x，y，然后求和即可； （3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据，，解得，即可求出x值，检验即可； （4）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数； 故选：C；·····（2分） （2）解：由题意得 ， ； ∴·····（4分） （3）解：令，则两边同乘以， 得， 解得，·····（5分） ∵， ， ∴①+②，得 ，·····（6分） 两边同时平方得， 解得， 经检验，是原方程的解．·····（7分） （4）解： ·····（8分） ·····（9分） ·····（10分） 22.（10分）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：方程中， ·····（1分） ，·····（3分） 无论取何值，此方程总有两个实数根．·····（4分） （2）解：，·····（5分） ．·····（7分） ， 解得，·····（8分） 当时，方程有两个不相等的实数根，即，·····（9分） 的值为或3．·····（10分） 23.（12分）某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． (1)求月份售出型小家电至少多少台？ (2)经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 【答案】(1)月份售出型小家电至少台； (2)这两种小家电都应降低元． 【分析】（）设月份售出型小家电台，根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）设这两种小家电都应降低元，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份售出型小家电台， 根据题意，得，·····（3分） 解得：，·····（4分） 答：月份售出型小家电至少台； （2）解：设这两种小家电都应降低元， 根据题意得：，·····（8分） 整理得：， 解得：，，·····（10分） ∵为尽可能让消费者获得实惠， ∴舍去，·····（11分） 答：这两种小家电都应降低元．·····（12分） 24.（12分）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，作于点．如图．    (1)求证：； (2)在同一平面内，将图中的两个三角形按如图所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． 当时，如图，求证：四边形为正方形； 当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，如图所示，画出点的位置，并直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；当时，，证明见解析；当时， ，证明见解析． 【分析】因为，根据等腰三角形三线合一定理可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，在中，、，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，又因为，可证结论成立； 当时，可证，根据、，可证，所以可知四边形为矩形，因为，，可知，所以可证四边形为正方形； 当时，连接，可证，根据全等三角形的性质可证，所以可证；当时，连接，，根据全等三角形的性质可证，所以可证． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ，·····（1分） ，， ，·····（2分） ， ；·····（3分） （2）证明：，， ，， ， ·····（4分） ， ， 四边形为矩形，·····（5分） ，即，， ·····（6分） 四边形是正方形；·····（7分） 解：当时，线段，，的数量关系为；·····（8分） 如图，当时，连接，    由可得：， 在和中 ， ， .·····（10分） 当时，线段，，的数量关系为.·····（12分） 如图，当时， ， 当时，连接，    由可得：，， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，找到线段之间的关系． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$