3.2.3离散型随机变量的数学期望（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

3.2.3离散型随机变量的数学期望 湘教版选择性必修第二册 第3章概率 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 掌握和应用数学期望及性质的应用 理解离散型随机变量的期望 会计算两点分布、二项分布的期望 通过具体实例，理解离散型随机变量的期望 会计算两点分布、二项分布的期望. 掌握和应用数学期望的性质 追问1：你能算出上述300名学生的平均成绩吗？ 新课导入 3 新课讲授 新课讲授 5 追问2：对照X的分布列，请观察下面平均成绩的计算，你有什么发现？ 频率近似概率 新课讲授 由于X的分布是全年级学生成绩的分布，我们把全年级的平均成绩μ定 义为X的均值，记作E(X)，则 新课讲授 X P 则称 为 X 的数学期望或均值． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平． 新课讲授 问题：我们知道样本均值是一个变化的量，当样本容量足够大时可以用样本均值去估计总体均值。那么，随机变量的均值与样本均值有何联系？ 可以发现，随机变量的均值是常数，而样本的均值依赖于样本的选择，是一个随机变量.在大多数情况下，当样本量足够大时，样本均值会接近于总体均值.因此，我们常用样本均值估计总体的均值. 新课讲授 新课讲授 例10.甲击中目标的概率是,如果击中,得1分,否则得0分,用表示甲的得分,计算随机变量的数学期望. 解：根据题意，得X的可能取值为0，1，且 P(X=1)= p，P(X=0)= 1－p． 于是 E(X) = 1×p＋0×(1－p) = p．即甲得分的期望为p． 典例分析 例10.甲击中目标的概率是,如果击中,得1分,否则得0分,用表示甲的得分,计算随机变量的数学期望. 若随机变量X服从两点分布，则随机变量X的数学期望. 若X～B(1，p)，则E(X)=p. 问题.若随机变量X服从二项分布，请计算随机变量X的数学期望. 新课讲授 X 0 1 ... i ... n P ... ... 如何计算上述和 新课讲授 结论：若X～B(n，p)，则E(X)= n p. 新课讲授 例11根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,由于两种保险作用类似,因而没有人同时购买,设各车主购买保险相互独立,用X表示该地100位车主甲,乙两种保险都不够买的车主数,求X的数学期望 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布， 即X~B(100，0.2)． P=0.2 新课讲授 解：根据题意 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布. 设A表示甲、乙两种保险都不购买，则P(A)=1－(0.5＋0.3)=0.2． 由于各车主购买保险相互独立，根据题意可知， 所以X~B(100，0.2)． 所以 E(X) = 100×0.2 = 20． 首先根据题意，判断随机变量符合的分布列 根据分布列找出所需参数 代入期望公式计算 新课讲授 若随机变量X服从两点分布，则随机变量X的数学期望. 若X～B(1，p)，则E(X)=p. 若随机变量X服从二项分布，试计算随机变量X的数学期望. 若X～B(n，p)，则E(X)= n p. 问题：若随机变量X服从超几何分布，你能计算随机变量X的数学期望吗？ 新课讲授 问题：若随机变量X服从超几何分布，即X~H(N，M，n)，请给出X的分布列. X 0 1 2 … l P 问题：请根据上述X的分布列，求得随机变量X的期望. 新课讲授 根据组合数公式 可得 新课讲授 若随机变量X服从超几何分布，即X~H(N，M，n)， 若X~H(N，M，n)，则 ． 新课讲授 例12 一袋中装有 50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数 ξ 的数学期望． 解： 袋中球的总数为 50＋45＋5=100， 根据题意可知， 随机抽取的 20个球中红球的个数 ξ 服从超几何分布， 即X~H(100，5，20) ． N=100，M=5，n=20 首先根据题意，判断随机变量符合的分布列 根据分布列找出所需参数 代入期望公式计算 新课讲授 例13 已知离散型随机变量X有概率分布 P(X = xi) = pi ，i = 1，2，∙ ∙ ∙，n， 若Y = aX＋b，其中 a，b为常数，求E(Y)． 解： 由于X是离散型随机变量，那么Y也是离散型随机变量． 因为P(Y = axi＋b) = P(X = xi) = pi ，i = 1，2，∙ ∙ ∙，n， 所以 Y 的分布列为 P p1 p2 … pi … pn Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b 首先求得随机变量Y的分布列 新课讲授 于是 E(Y) = (ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋∙ ∙ ∙＋(axn＋b)pn = a (x1p1＋x2p2＋∙ ∙ ∙＋xnpn)＋b(p1＋p2＋∙ ∙ ∙＋pn) = a E(X) ＋b 由上可得，对于离散型随机变量X， 若Y = aX＋b， a，b为常数，则 E(Y ) = aE(X)＋b． 代入期望公式，计算即可 期望的性质 新课讲授 若随机变量X服从两点分布，则随机变量X的数学期望. 若X～B(1，p)，则E(X)=p. 若随机变量X服从二项分布，则随机变量X的数学期望. 若X～B(n，p)，则E(X)= n p. 若随机变量X服从超几何分布，则随机变量X的数学期望吗？ 若X~H(N，M，n)，则 ． 总结反思 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 问题1 在一次考试中，统计某中学高二年级300名学生的某学科成绩后得到下表： 成绩xi(分) x1 x2 x3 … x29 x30 人数ni n1 n2 n3 … n29 n30 其中n=n1+n2+n3+…+n30=300. 现从这300人中任选一人，设X=这名学生的分数，请你写出X有概率分布 X=这名学生的分数，则X有概率分布： 随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 解 由题意知X=0，1. 且X~B(1，p)，因此， 随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 于是 随机变量X的数学期望E(X)=0×(1-p)+1×p=p. $$