精品解析：四川省苍溪中学校2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题

高2023级高二下学期第一次学段考试 数学试题 （时间：120分钟；满分：150分：） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D. 考点：直线与圆的交点弦长 3. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 4. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒 B. 命题“”是真命题 C. 设函数的导函数为，且，则 D. 已知函数在R上可导，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】求解导函数后利用瞬时速度的概念计算判断A；构建，利用导数法证明，即可判断B；先求出导函数，然后建立方程求解判断C；根据导数的定义计算判断D. 【详解】对于A，由得，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，错误； 对于B，构建，因为， 则， 可知函数在内单调递增，则，即， 所以命题“，”是真命题，故B正确； 对于C，由，得，故， 所以，C错误； 对于D，由导数定义知， 所以，D错误. 故选：B 7. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为， ，则有，到渐近线的距离， ，，∴，， 则，，， 由，有，即， 解得，则有，所以离心率. 故选：B. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给的递推关系可求出,即可判断A选项，再利用可以将递推关系化简可求出的通项公式，再利用做差法可求出的通项公式，可判断B,C，再由的通项公式的取值范围可判断D选项 【详解】对于A，令得，，解得，故A正确； 对于B和C，当时，，所以，化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，又因为是正项数列，所以． 当时，，所以，当时，，也满足条件，所以，故B错误，C正确； 对于D，因为，故D正确， 故选：ACD 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，求得，令，求得，得出，可判定C正确；D选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以A正确； B选项，由A知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B错误； C选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心，所以C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用导数的几何意义及直线平行的条件建立方程求解即可. 【详解】由得，所以切线斜率为， 又直线的斜率为2，则，解得. 故答案为：1 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，可知，函数在内单调递增，则在上恒成立．参变分离得出，求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，可得，可得， 构造函数，则， 所以函数在内单调递增，即在上恒成立． 因为，即在上恒成立． 分离参数有， 当时，取最小值，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和． 【答案】（1）单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式结合辅助角公式化简，再由正弦函数的递增区间可得； （2）求导后令导数为零，求出零点，然后由等差数列的通项和求和公式可得. 【小问1详解】 ， 令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，则， 令，可得， 因为在上的零点从小到大排列后构成数列，可知， 所以，公差， 所以， 所以的前20项和 16. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值是，最大值是； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值. （2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 的定义域为，，，则， 解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 【小问2详解】 在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数的取值范围为． 17. 已知在数列中，且，记. （1）证明：数列是等差数列； （2）记求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义并结合对数的运算证明，即可证明数列是等差数列； （2）求出数列的通项，利用裂项相消求出数列的前n项和. 【小问1详解】 ，， 又，， ， 又, 数列是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知 ， 则 ， . 18. 如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，由直线与平面所成角的正弦值为， 得 整理得，解得， 由于点在线段上，所以， 即. 19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得； （2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得. 【小问1详解】 由题知，，即，， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得， ，解得，则， 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点， 所以可设直线AB的方程为，并设， 由得. 则，，. 因为，则，即， 即 ， 解得，. 由， 所以AB的中点为， 即点，所以； ②由①可知AB的中点为， 则，且直线OM的斜率为， 所以直线OM的方程为. 设点A到直线的距离为， 因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为， 又因为 ， 由知，， 所以， 解得， 由，令， 则，由在单调递增， 得，即当时，. 即点到直线OM的距离的最小值为. 【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高二下学期第一次学段考试 数学试题 （时间：120分钟；满分：150分：） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 2. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒 B. 命题“”是真命题 C. 设函数的导函数为，且，则 D. 已知函数在R上可导，若，则 7. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______． 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和． 16. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 17. 已知在数列中，且，记. （1）证明：数列是等差数列； （2）记求数列的前n项和. 18. 如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $