专题8.5椭圆的方程与几何性质讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题8.5椭圆的方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆的定义及方程】 知识讲解 椭圆的定义 1. 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用$2c$表示。 2. 数学表达式：（），其中为椭圆上任意一点。 椭圆的标准方程 1. 焦点在轴上的椭圆标准方程为（），其中为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长，且。 2. 焦点在轴上的椭圆标准方程为（），同样有。 例题精选 【例题1】（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例题3】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 相似练习 【相似题1】（2013·大纲版·高考真题）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【相似题4】（2006·四川·高考真题）如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则 . 【题型2：求椭圆的轨迹方程】 知识讲解 1. 定义法 适用情况：当题目中明确给出动点到两定点的距离之和为定值，且该定值大于两定点间的距离时，可直接根据椭圆的定义来确定椭圆的方程。 步骤： 1. 设两定点为，动点为，根据条件确定（）的值。 2. 求出和的值。 3. 由计算的值。 4. 根据焦点位置，写出椭圆的标准方程。 2. 待定系数法 适用情况：已知椭圆的焦点位置以及椭圆的一些几何性质（如椭圆经过的点、长轴或短轴的长度等），可设出椭圆的标准方程，然后通过代入已知条件来确定方程中的系数$a,b$。 步骤： 1. 根据焦点位置设出椭圆的标准方程。若焦点在轴上，设方程为（）；若焦点在轴上，设方程为（）；若焦点位置不确定，则需分情况讨论，或者设方程为（）。 2. 将已知点的坐标或其他几何条件代入所设方程，得到关于$a,b$（或$m,n$）的方程组。 3. 解方程组，求出$a,b$（或$m,n$）的值。 4. 将$a,b$（或$m,n$）的值代入所设方程，得到椭圆的轨迹方程。 3. 相关点法（代入法） 适用情况：当动点的运动是由另一个动点的运动引起的，且点在已知的椭圆上时，可采用相关点法。 步骤： 1. 设出动点和相关点，并找出它们之间的坐标关系，即。 2. 因为点在已知椭圆上，将代入已知椭圆方程。 3. 把代入上述方程，化简后得到动点的轨迹方程。 例题精选 【例题1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【例题2】多选题（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【例题3】（2025·河北·模拟预测）在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南京·一模）已知点是圆上的动点，，线段的中垂线与直线交于点，点的轨迹为曲线． (1) 求曲线的方程； 【相似题2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，，动点满足，作轴于点，为直线上一点，且满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； 【相似题3】（2025·福建厦门·一模）已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； 【相似题4】（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1) 求点的轨迹方程； 【题型3：椭圆定义下的和差最值】 知识讲解 利用椭圆定义求两线段之和的最值 原理：椭圆的定义为平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹，即（为椭圆上一点，$2a$为长轴长）。 题型及解法 点在椭圆内： 1. 当椭圆内有一定点，椭圆上有一动点，求的最值时，首先利用椭圆定义将进行转化。因为，所以，则。 2. 然后根据三角形三边关系，当三点共线时取等号。所以，。 点在椭圆外： 1. 若点在椭圆外，求的最小值。连接，与椭圆交点即为使取得最小值的点。 2. 此时。这是因为根据椭圆定义，，当在上时，最小，为，即最小为。 利用椭圆定义求两线段之差的最值 原理：同样基于椭圆定义以及三角形三边关系来求解。 题型及解法 求的最值： 1. 当点在椭圆外时，连接并延长与椭圆分别交于两点。 2. 根据三角形三边关系，当与或重合时取等号。所以。 若考虑的最值： 1. 当为射线与椭圆的交点时，取得最大值。 2. 当为射线与椭圆的交点时，取得最小值。 解题步骤总结 1. 明确椭圆的基本信息：根据题目条件确定椭圆的焦点坐标、长轴长$2a$等。 2. 分析动点与定点的位置关系：判断定点是在椭圆内还是椭圆外。 3. 进行线段的转化：利用椭圆定义，将所求的和差问题中的线段进行转化。 4. 结合三角形三边关系求解：根据三角形三边关系，确定最值取得的条件，进而求出最值。 例题精选 【例题1】（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【例题3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【相似题2】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为 . 【相似题3】（2022·重庆·模拟预测）已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【题型4：椭圆中的焦点三角形问题】 知识讲解 1. 周长公式 椭圆焦点三角形的周长为定值，。其中是椭圆的长半轴长，是椭圆的半焦距。这是由椭圆的定义以及推导得出的，即。 2. 面积公式 一般情况：若，则焦点三角形的面积。推导过程如下： 根据余弦定理，又因为，且，所以，进而可得。再根据三角形面积公式，将代入可得。 特殊情况：当为椭圆短轴端点时，最大，此时焦点三角形面积。这是因为当为短轴端点时，，，，代入可得。 3. 离心率公式 椭圆的离心率。推导依据正弦定理，在中，（为外接圆半径），则，，。又因为，，所以。 4. 的性质 当点从椭圆短轴端点向长轴端点移动时，逐渐减小。当为短轴端点时，取到最大值。证明可通过余弦定理，结合均值不等式（当且仅当，即为短轴端点时取等号），可知当为短轴端点时，最小，因为在上单调递减，所以此时最大。 5. 焦点三角形的内切圆 设椭圆焦点三角形的内切圆半径为，则其面积。结合前面面积公式，可得。 例题精选 【例题1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 【例题2】（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【例题3】多选题（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 相似练习 【相似题1】（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【相似题2】（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【相似题3】（2023·陕西汉中·模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 . 【题型5：与椭圆有关的范围与最值】 知识讲解 1. 常见的最值与范围问题类型 距离最值：包括椭圆上一点到定点的距离最值、到定直线的距离最值等。 面积最值：如椭圆内接三角形、四边形等图形的面积最值。 角度最值：椭圆上一点与两焦点连线所成角的最值等。 参数范围：椭圆方程中参数（如离心率、长半轴、短半轴等）的取值范围，或者与椭圆相关的其他变量的取值范围。 2. 相关知识基础 椭圆的标准方程 焦点在轴上：，其中为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，焦点坐标为。 焦点在轴上：，焦点坐标为。 椭圆的性质 范围：对于，有，。 对称性：椭圆关于轴、轴和原点对称。 离心率：，反映了椭圆的扁平程度。 解题思路 1. 函数法 步骤 1. 建立函数关系：根据题目条件，设出椭圆上点的坐标（通常可以利用椭圆的参数方程，为参数），然后将所求的最值或范围问题表示为关于某个变量（如、等）的函数。 2. 确定函数定义域：结合椭圆的范围以及题目中的其他限制条件，确定函数的定义域。 3. 求函数最值或范围：利用函数的性质（如单调性、奇偶性、有界性等），或者求导等方法来求解函数的最值或范围。 示例：求椭圆上一点到点的距离的最值。 设，则。 令，，则，其对称轴为。 根据二次函数性质，当时，取得最小值；当时，取得最大值。所以，。 2. 几何法 步骤 1. 分析几何特征：利用椭圆的定义、对称性、图形的几何性质等，将所求的最值或范围问题转化为几何图形中的线段长度、角度大小等问题。 2. 确定最值位置：根据几何图形的特点，找出取得最值的特殊位置，如椭圆的顶点、焦点等。 3. 计算最值或范围：通过几何关系计算出最值或范围。 示例：已知椭圆，为焦点，为椭圆上一点，求的最大值。 根据椭圆定义。 由均值不等式，当且仅当，即为椭圆短轴端点时取等号。所以的最大值为$25$。 3. 不等式法 步骤 1. 构建不等式：根据题目条件和椭圆的性质，建立关于所求变量的不等式。 2. 求解不等式：通过解不等式得到变量的取值范围或最值。 示例：已知椭圆的离心率，求的取值范围。 因为，且，所以。 由，可得。 解不等式得，即；解不等式得，即。所以的取值范围是。 4. 判别式法 步骤 1. 联立方程：当涉及直线与椭圆的位置关系时，联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量，得到一个一元二次方程。 2. 利用判别式：根据直线与椭圆的位置关系（如相交、相切等），利用判别式的取值范围来求解变量的最值或范围。 示例：已知直线与椭圆恒有公共点，求的取值范围。 联立，消去得。 因为直线与椭圆恒有公共点，所以对任意恒成立。 化简得，因为且（当时，方程表示圆），所以且。 例题精选 【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【题型6：椭圆的离心率与范围】 知识讲解 椭圆离心率基本概念 椭圆离心率，为长半轴长，为半焦距，，。越近椭圆越圆，越近越扁。 离心率求值问题 1. 已知、直求：若题中直接给、值，直接代入计算。如，，则。 2. 通过、、关系求解：没直接给、值，但有、、关系时，利用求与关系，再代公式。如，可得，。 3. 用椭圆定义和几何性质求解：结合椭圆定义（上点到两焦点距离和为$2a$）与焦点三角形等性质，找与关系。如在椭圆上，，，由定义和勾股定理可求出。 离心率范围问题 1. 利用椭圆范围建不等式：椭圆上点坐标有范围（如中，），根据已知得、相关不等式求范围。如椭圆上存在使，通过坐标运算和椭圆方程建立不等式，可得。 2. 利用几何图形性质建不等式：依据椭圆几何图形特点（如焦点三角形角度、线段长度关系）建、不等式。如椭圆上存在点使，利用为短轴端点时最大这一性质建不等式，得。 3. 结合直线与椭圆位置关系建不等式：直线与椭圆有特定位置关系（相交、相切等）时，联立方程，通过判别式等建、不等式。如直线与椭圆相交，联立方程并结合弦中点条件，求出 。 解题思路总结 1. 求值：先看能否直得、值，能则直代公式；不能就分析、、关系转化后代入；涉及定义和性质就依此建等式求解。 2. 求范围：分析条件确定可用的椭圆范围、几何性质或直线与椭圆位置关系等信息，据此建、不等式 例题精选 【例题1】（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·湖南常德·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·河北保定·模拟预测）已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为 ． 【相似题2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【相似题3】 （2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北秦皇岛·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 10．（2025·宁夏银川·一模）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 11．（2025·山西·一模）已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 12．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（    ） A．若（其中），则椭圆的离心率 B．若，则的最大值为 C．若，，则 D．若，直线、的斜率之积为，则 三、填空题 13．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 14．（2025·福建漳州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为 . 15．（2025·福建厦门·三模）已知椭圆的焦点为，，P为上的一点，若的周长为18，则的离心率为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题8.5椭圆的方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆的定义及方程】 知识讲解 椭圆的定义 1. 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用$2c$表示。 2. 数学表达式：（），其中为椭圆上任意一点。 椭圆的标准方程 1. 焦点在轴上的椭圆标准方程为（），其中为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长，且。 2. 焦点在轴上的椭圆标准方程为（），同样有。 例题精选 【例题1】（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 【例题2】（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 【例题3】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 相似练习 【相似题1】（2013·大纲版·高考真题）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】如图所示：，， 由椭圆定义得.① 在中，.② 由①②得，则， 所以椭圆C的方程为. 故选：C.    【点睛】本题考查椭圆方程的求解. 【相似题2】（2025·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【详解】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D 【相似题3】（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 【相似题4】（2006·四川·高考真题）如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则 . 【答案】 【分析】由已知得，再取椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性得 ，，，再根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由已知得，如图， 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知 ，，，又， ∴ . 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆的定义，是中低档题. 【题型2：求椭圆的轨迹方程】 知识讲解 1. 定义法 适用情况：当题目中明确给出动点到两定点的距离之和为定值，且该定值大于两定点间的距离时，可直接根据椭圆的定义来确定椭圆的方程。 步骤： 1. 设两定点为，动点为，根据条件确定（）的值。 2. 求出和的值。 3. 由计算的值。 4. 根据焦点位置，写出椭圆的标准方程。 2. 待定系数法 适用情况：已知椭圆的焦点位置以及椭圆的一些几何性质（如椭圆经过的点、长轴或短轴的长度等），可设出椭圆的标准方程，然后通过代入已知条件来确定方程中的系数$a,b$。 步骤： 1. 根据焦点位置设出椭圆的标准方程。若焦点在轴上，设方程为（）；若焦点在轴上，设方程为（）；若焦点位置不确定，则需分情况讨论，或者设方程为（）。 2. 将已知点的坐标或其他几何条件代入所设方程，得到关于$a,b$（或$m,n$）的方程组。 3. 解方程组，求出$a,b$（或$m,n$）的值。 4. 将$a,b$（或$m,n$）的值代入所设方程，得到椭圆的轨迹方程。 3. 相关点法（代入法） 适用情况：当动点的运动是由另一个动点的运动引起的，且点在已知的椭圆上时，可采用相关点法。 步骤： 1. 设出动点和相关点，并找出它们之间的坐标关系，即。 2. 因为点在已知椭圆上，将代入已知椭圆方程。 3. 把代入上述方程，化简后得到动点的轨迹方程。 例题精选 【例题1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【例题2】多选题（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项B错误；    当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；    当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.    故选：ACD. 【点睛】本题的解题关键是对点的位置分类讨论，根据点是线段的中垂线与直线的交点，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质可得以及与的定量关系，再根据圆锥曲线的定义逐项判断即可求解. 【例题3】（2025·河北·模拟预测）在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； 【详解】（1）设，因为，直线的斜率之积为. 所以，化简得， 即的方程为. 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南京·一模）已知点是圆上的动点，，线段的中垂线与直线交于点，点的轨迹为曲线． (1) 求曲线的方程； 【详解】（1）因为点是圆上的动点， 所以，，由题意知，， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，即，， 所以，所以曲线的方程为． 【相似题2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，，动点满足，作轴于点，为直线上一点，且满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； 【详解】（1）设，，则， 因为，所以， 故，则 由，得，化简得， 将代入得， 故的方程为； 【相似题3】（2025·福建厦门·一模）已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； 【详解】（1）设圆M的半径为，由题意可知，， 且，且， 因，故圆心M的轨迹为椭圆， 易知椭圆C的长轴长为，焦距为，则，，， 故C的方程为：． 【相似题4】（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1) 求点的轨迹方程； 【详解】（1）令，结合题设有，则， 所以，即点的轨迹方程为. 【题型3：椭圆定义下的和差最值】 知识讲解 利用椭圆定义求两线段之和的最值 原理：椭圆的定义为平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹，即（为椭圆上一点，$2a$为长轴长）。 题型及解法 点在椭圆内： 1. 当椭圆内有一定点，椭圆上有一动点，求的最值时，首先利用椭圆定义将进行转化。因为，所以，则。 2. 然后根据三角形三边关系，当三点共线时取等号。所以，。 点在椭圆外： 1. 若点在椭圆外，求的最小值。连接，与椭圆交点即为使取得最小值的点。 2. 此时。这是因为根据椭圆定义，，当在上时，最小，为，即最小为。 利用椭圆定义求两线段之差的最值 原理：同样基于椭圆定义以及三角形三边关系来求解。 题型及解法 求的最值： 1. 当点在椭圆外时，连接并延长与椭圆分别交于两点。 2. 根据三角形三边关系，当与或重合时取等号。所以。 若考虑的最值： 1. 当为射线与椭圆的交点时，取得最大值。 2. 当为射线与椭圆的交点时，取得最小值。 解题步骤总结 1. 明确椭圆的基本信息：根据题目条件确定椭圆的焦点坐标、长轴长$2a$等。 2. 分析动点与定点的位置关系：判断定点是在椭圆内还是椭圆外。 3. 进行线段的转化：利用椭圆定义，将所求的和差问题中的线段进行转化。 4. 结合三角形三边关系求解：根据三角形三边关系，确定最值取得的条件，进而求出最值。 例题精选 【例题1】（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 【例题2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 【例题3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 相似练习 【相似题1】（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值. 【详解】椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 【相似题2】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为 . 【答案】12 【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解. 【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为， 连接， 所以周长为 故的周长的最大值为12， 故答案为：12. 【相似题3】（2022·重庆·模拟预测）已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【答案】 1 【分析】利用椭圆定义将转化为，结合图形可解. 【详解】如图，由题可知，圆C的圆心坐标为（，2），半径为1，设椭圆E的左焦点为. 椭圆中，，，则，当F1、P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为. 故答案为：，1 【题型4：椭圆中的焦点三角形问题】 知识讲解 1. 周长公式 椭圆焦点三角形的周长为定值，。其中是椭圆的长半轴长，是椭圆的半焦距。这是由椭圆的定义以及推导得出的，即。 2. 面积公式 一般情况：若，则焦点三角形的面积。推导过程如下： 根据余弦定理，又因为，且，所以，进而可得。再根据三角形面积公式，将代入可得。 特殊情况：当为椭圆短轴端点时，最大，此时焦点三角形面积。这是因为当为短轴端点时，，，，代入可得。 3. 离心率公式 椭圆的离心率。推导依据正弦定理，在中，（为外接圆半径），则，，。又因为，，所以。 4. 的性质 当点从椭圆短轴端点向长轴端点移动时，逐渐减小。当为短轴端点时，取到最大值。证明可通过余弦定理，结合均值不等式（当且仅当，即为短轴端点时取等号），可知当为短轴端点时，最小，因为在上单调递减，所以此时最大。 5. 焦点三角形的内切圆 设椭圆焦点三角形的内切圆半径为，则其面积。结合前面面积公式，可得。 例题精选 【例题1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 【答案】D 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可得，借助勾股定理逆定理判断A；由割补法求出三角形面积判断B；求出直线的斜率并计算的离心率判断CD. 【详解】由，不妨设，则， 又，则有，由椭圆定义得， 因此，即点为椭圆的上顶点或下顶点，如图，    显然，则，A正确； 于是为等腰直角三角形，且，则的面积为： ，B正确； ，直线的斜率，有，D错误， 椭圆离心率，C正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率的三种方法： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； （2）齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 【例题2】（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可. 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 【例题3】多选题（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 相似练习 【相似题1】（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得， 【相似题2】（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【相似题3】（2023·陕西汉中·模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 . 【答案】2 【分析】方法一：由题意，结合焦点三角性面积结论，利用等面积法求解； 方法二：由题意，利用勾股定理结合椭圆的第一定义列式求解即可. 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又， 平方得：，所以. 故答案为：2 【题型5：与椭圆有关的范围与最值】 知识讲解 1. 常见的最值与范围问题类型 距离最值：包括椭圆上一点到定点的距离最值、到定直线的距离最值等。 面积最值：如椭圆内接三角形、四边形等图形的面积最值。 角度最值：椭圆上一点与两焦点连线所成角的最值等。 参数范围：椭圆方程中参数（如离心率、长半轴、短半轴等）的取值范围，或者与椭圆相关的其他变量的取值范围。 2. 相关知识基础 椭圆的标准方程 焦点在轴上：，其中为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，焦点坐标为。 焦点在轴上：，焦点坐标为。 椭圆的性质 范围：对于，有，。 对称性：椭圆关于轴、轴和原点对称。 离心率：，反映了椭圆的扁平程度。 解题思路 1. 函数法 步骤 1. 建立函数关系：根据题目条件，设出椭圆上点的坐标（通常可以利用椭圆的参数方程，为参数），然后将所求的最值或范围问题表示为关于某个变量（如、等）的函数。 2. 确定函数定义域：结合椭圆的范围以及题目中的其他限制条件，确定函数的定义域。 3. 求函数最值或范围：利用函数的性质（如单调性、奇偶性、有界性等），或者求导等方法来求解函数的最值或范围。 示例：求椭圆上一点到点的距离的最值。 设，则。 令，，则，其对称轴为。 根据二次函数性质，当时，取得最小值；当时，取得最大值。所以，。 2. 几何法 步骤 1. 分析几何特征：利用椭圆的定义、对称性、图形的几何性质等，将所求的最值或范围问题转化为几何图形中的线段长度、角度大小等问题。 2. 确定最值位置：根据几何图形的特点，找出取得最值的特殊位置，如椭圆的顶点、焦点等。 3. 计算最值或范围：通过几何关系计算出最值或范围。 示例：已知椭圆，为焦点，为椭圆上一点，求的最大值。 根据椭圆定义。 由均值不等式，当且仅当，即为椭圆短轴端点时取等号。所以的最大值为$25$。 3. 不等式法 步骤 1. 构建不等式：根据题目条件和椭圆的性质，建立关于所求变量的不等式。 2. 求解不等式：通过解不等式得到变量的取值范围或最值。 示例：已知椭圆的离心率，求的取值范围。 因为，且，所以。 由，可得。 解不等式得，即；解不等式得，即。所以的取值范围是。 4. 判别式法 步骤 1. 联立方程：当涉及直线与椭圆的位置关系时，联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量，得到一个一元二次方程。 2. 利用判别式：根据直线与椭圆的位置关系（如相交、相切等），利用判别式的取值范围来求解变量的最值或范围。 示例：已知直线与椭圆恒有公共点，求的取值范围。 联立，消去得。 因为直线与椭圆恒有公共点，所以对任意恒成立。 化简得，因为且（当时，方程表示圆），所以且。 例题精选 【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围. 【详解】解法一： 由题意知，，设. 则. 因为，所以，所以， 所以． 解法二： 由题意知，． 设，取线段AF的中点N，则，连接MN. 则. 因为，所以，所以， 所以． 故选：D． 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值. 【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则， 所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程为，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，则，利用两点间距离公式，求出的最大值即可求解. 【详解】    设圆的圆心为，半径为，则，半径，， 因为，所以只需最大， 设点是椭圆上任意一点，则，即， 所以， 当时，有最大值，所以， 所以的最小值为，即的最小值为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可． 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． 【相似题2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 【题型6：椭圆的离心率与范围】 知识讲解 椭圆离心率基本概念 椭圆离心率，为长半轴长，为半焦距，，。越近椭圆越圆，越近越扁。 离心率求值问题 1. 已知、直求：若题中直接给、值，直接代入计算。如，，则。 2. 通过、、关系求解：没直接给、值，但有、、关系时，利用求与关系，再代公式。如，可得，。 3. 用椭圆定义和几何性质求解：结合椭圆定义（上点到两焦点距离和为$2a$）与焦点三角形等性质，找与关系。如在椭圆上，，，由定义和勾股定理可求出。 离心率范围问题 1. 利用椭圆范围建不等式：椭圆上点坐标有范围（如中，），根据已知得、相关不等式求范围。如椭圆上存在使，通过坐标运算和椭圆方程建立不等式，可得。 2. 利用几何图形性质建不等式：依据椭圆几何图形特点（如焦点三角形角度、线段长度关系）建、不等式。如椭圆上存在点使，利用为短轴端点时最大这一性质建不等式，得。 3. 结合直线与椭圆位置关系建不等式：直线与椭圆有特定位置关系（相交、相切等）时，联立方程，通过判别式等建、不等式。如直线与椭圆相交，联立方程并结合弦中点条件，求出 。 解题思路总结 1. 求值：先看能否直得、值，能则直代公式；不能就分析、、关系转化后代入；涉及定义和性质就依此建等式求解。 2. 求范围：分析条件确定可用的椭圆范围、几何性质或直线与椭圆位置关系等信息，据此建、不等式 例题精选 【例题1】（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最后利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解. 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 【例题2】（2025·湖南常德·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，由，得，， 由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 【例题3】（2025·河北保定·模拟预测）已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，可得，点共线，设，可得，由的周长为，可得，在中，利用勾股定理有，化简整理，即可求出离心率. 【详解】由可知， ，由得，点共线. 又，设， 连接，则， 由椭圆的定义可知的周长为， 则，解得， 所以，再根据椭圆的定义可知，， 则在中，，即， 解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，设，得到，由的周长为，可得，再在中，利用勾股定理即可. 相似练习 【相似题1】（2025·黑龙江·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解． 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 【相似题2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合椭圆方程，整理可得离心率． 【详解】根据题意可得， 设，则， 所以，， 因为直线，的斜率之积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以，即， 所以， 所以， 所以，即 所以离心率， 故答案为：． 【相似题3】 （2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，与联立求，与联立求，利用中点公式求，根据关系，，三点共线列方程可得，结合离心率定义求结论. 【详解】由题意可设，，， 设直线的方程为， 令，可得，令，可得． 设的中点为，可得， 因为，，三点共线， 所以，又，， 所以， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北秦皇岛·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 10．（2025·宁夏银川·一模）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 11．（2025·山西·一模）已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 12．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（    ） A．若（其中），则椭圆的离心率 B．若，则的最大值为 C．若，，则 D．若，直线、的斜率之积为，则 三、填空题 13．（2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 14．（2025·福建漳州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为 . 15．（2025·福建厦门·三模）已知椭圆的焦点为，，P为上的一点，若的周长为18，则的离心率为 . 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B B B D ABD AC 题号 11 12 答案 ABD AC 1．C 【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【详解】设，则由已知得， 化简得. 故选：C． 2．A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 3．B 【分析】根据给定条件，列出方程求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为c，而，又， 则，整理得，因此， 所以的离心率为. 故选：B 4．A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 5．B 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：B. 6．B 【分析】先根据直线求出椭圆的长轴及短轴顶点，进而得出，再应用，得出离心率即可. 【详解】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 7．B 【分析】由题意得，根据椭圆的定义得，求得，继而在中，由余弦定理求得，再由得，代入求得的关系，即可得离心率. 【详解】由为上一点，得， 又，∴, 设则 在中，， 在中，由余弦定理得 由得，, 即，化简得，所以. 故选：B. 8．D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 9．ABD 【分析】设，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出的表达式即可判断C；易得为椭圆的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D. 【详解】对于A：设， 则，整理得， 所以的轨迹方程为（），故A正确； 对于B： ， 故， 故当时，，故B正确； 对于C：当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 所以 ， 当且仅当取等号， 综上所述，的最小值为3，故C错误； 对于D：在中，，则， 故为正三角形，则垂直平分，则， 由题意为椭圆的上，下焦点， 则的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 10．AC 【分析】根据点与圆的位置关系不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可. 【详解】由题，，圆的半径为3，连接， 则， 当点在圆内时，如图， 所以， 所以此时点的轨迹为以为焦点的椭圆； 当点在圆上时，如图，为圆的弦， 所以点的轨迹为点； 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线. 综上，点的轨迹可能为椭圆和双曲线. 故选：AC. 11．ABD 【分析】根据椭圆标准方程可得选项A正确；结合椭圆的定义转化求最值可得选项B正确，选项C错误；利用点差法可得选项D正确. 【详解】    A.由题意得，，，故椭圆的离心率，A正确. B.由A得，，∴. 由椭圆定义得，， ∴，B正确. C.，C错误. D.由可知点在椭圆内部，设过点的直线与椭圆相交于点，， ∴，两式相减，得， ∵弦被点平分，∴，， ∴，即直线的斜率为，D正确. 故选：ABD. 12．AC 【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可解出椭圆的离心率，可判断A选项；利用基本不等式结合椭圆定义可判断B选项；利用椭圆定义可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】如下图所示：    因为，所以，，则. 对于A，因为，所以，， 又， 所以，，等式两边同时除以可得，即， 解得（负值舍去），故A正确； 对于B，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，但点不可能在轴上，等号无法取得，故B错误； 对于C，因为，，所以，， 则，故C正确； 对于D，设直线、的斜率分别为、，则， 设、，则， 因为，所以，， 两式相减得，所以，， 而，则，故D不正确. 故选：AC. 13． 【分析】根据所给的角确定B所在直线，设出B点坐标，再由三角形相似得出B点坐标代入椭圆方程，化简即可得解. 【详解】因为，所以直线的斜率为或， 不妨取，则如图， 设，过作轴于点， 由∽，，， 可得，即，故， 代入椭圆方程可得：， 即，解得， 所以. 故答案为： 14． 【分析】求得直线的方程，联立方程组求得的坐标，进而求得的坐标，利用，可得，求解可得椭圆的方程. 【详解】依题意得，所以直线的方程为， 代入中，解得， 因为，所以，所以， 所以直线BN的方程为， 代入中，解得， 因为M，，N三点共线， 所以，即， 化简得， 又，所以，， 所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 15．/0.8 【分析】根据焦点所在位置不同，分长半轴为3和两种情况讨论，舍掉长半轴为3的情况，再利用椭圆中求出半焦距，再利用离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆长半轴大于半焦距，若椭圆的长半轴， 则的周长，不符合题意， 所以椭圆的长半轴为，所以， 解得，即，所以，， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$