精品解析：四川省泸州市合江中学2024-2025学年高二下学期3月份月考数学试卷

合江中学高2023级高二下期三月月考 数学试卷 （2025､3､13） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等比数列中，，则（ ） A 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答. 【详解】设等比数列的公比，则，而，， 于是得，即，解得，所以. 故选：A 2. 曲线与曲线（且）的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项. 【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆． 曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为， 短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆． 故选：C. 3. 数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数以及幂函数的性质即可结合数列的特征求解. 【详解】由已知得解得． 故选:A． 4. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ） A. 35 B. 42 C. 49 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染, 则每轮新增感染人数为， 经过n轮传染，总共感染人数为：， ∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得， 由，故得，又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天， 故选：B 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 5. 半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列的公差的取值范围. 【详解】设圆心到过点的直线的距离为，则， 设过点的直线截圆的弦长为，则， 即过点的直线截圆所得弦长的最大值为，最小值为， 设等差数列的公差为，则且，解得. 故选：A. 6. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合，求出，求出离心率. 【详解】由题意得：，设，，故， ，故， 解得：， 由，得到，即， 离心率. 故选：D 7. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， 所以， 故选：D 8. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果. 【详解】由题意可得：， 设，则有， ∵，则，可得， 又∵抛物线上，则， 联立，解得或（舍去）， 设直线，联立方程，消去y得， 则，即， 故. 故选：C． 二､（多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，有，则数列是等差数列 B. 若对，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. 【详解】对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确； 对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误； 对C，当时，，当时，，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对D，当时，， 时，， 时符合该式， 当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 当时，则是等于零的常数列，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时， B. 当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 C. 当点为中点时，二面角的余弦值为 D. 过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得位置关系判断选项A；求得点到平面的距离变化情况判断选项B；求得二面角的余弦值判断选项C；求得截面多边形的周长判断选项D. 【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以， 又，所以，故A正确； 对于，由于，平面，平面 则 平面，又， 所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B正确； 对于，易得平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，由平面可得， 则为二面角的平面角， ，故C正确； 对于，连接. 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面 则 平面，又平面， ，平面，平面， 则平面平面，则截面为， 所以截面周长为，故错误. 故选：ABC． 11. 已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，P是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 存在点P，使得直线的斜率的绝对值之和 C. 使得为等腰三角形的点P有且仅有四个 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由双曲线的定义，可判断A正确；由，结合双曲线的方程，得到可判断B错误；结合双曲线的几何性质，可判断C错误；结合，得到，可判断D正确． 【详解】设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故，当且仅当时等号成立，又分析得等号不可能成立，故B错误； 对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形； 当时，也为等腰三角形， 故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个． 同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个， 因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误； 对于D，由，得， 从而，故D正确． 故选：AD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置. 12. 已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值. 【详解】数列是递增的整数数列， 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数， 假设递增的幅度为， 则， 数列为递增数列， ， ， 即为最大值． 故答案为：7 13. 已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算. 【详解】由可得，数列是首项和公比均为等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者. 14. 已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简递推关系，证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求，化简方程可得，结合连接列不等式求的取值范围. 【详解】由， 得， 即， 即， 即， 所以， 即， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以. 由，得， 所以，即， 又因为， 所以使得包含于的取值范围. 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，， 所以，即； 当时，的取值均大于， 所以，即. 故答案为：. 四､解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.） 15. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式； （2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的前项和. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 满足，故数列通项公式． 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即． 因为，所以． 联立，解之得或（舍）． 所以． 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设公差为，由成等比数列，求得，然后可得通项公式； （2）由等差数列前项和公式求得，用分组求和法求得，其中一组用裂项相消法求和，一组用等比数列的前项和公式求和． 【详解】解：（1）设公差为，由成等比数列， 所以，所以，所以，所以． 所以； （2）由（1）得， 所以 所以 所以． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，前项和公式，考查等比数列的性质、前项和公式，分组求和法，裂项相消法，考查了学生的运算求解能力．属于中档题． 17. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用求得数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求得. 【详解】（1）因为，当时，，，故解得， ， ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以(常数)， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 （2）由题得， 所以. 【点睛】本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法. 18. 如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：由于，，平面， 则平面，又平面，所以． 又，，，， 所以， 则是等边三角形，则， 因为平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，因为平面，故； 【小问2详解】 解：由于平面，如图建立空间直角坐标系， 于是， 则，， 设平面的法向量， 则，，令，则， 平面的法向量， 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上两点(异于顶点)，且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值； （3）设直线与椭圆交于两点(直线不过顶点)，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程. （2）设出直线的方程，求得两点的横坐标，利用三角形的面积列方程，化简求得. （3）将直线分成斜率存在和不存在两种情况，结合列方程，化简后判断出直线过定点. 【详解】（1）由题得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设， 设直线，直线， ，所以， 同理得， 点到直线的距离，， 所以， 平方得， 所以. （3）设，， (i)直线的斜率存在时，设直线， ，得， 所以， 由题得， 所以， 化简得， 代入韦达定理得， ， ， 所以或， 当时，，定点为，为右顶点(舍). 当时，，定点为，满足题意. (ii)直线的斜率不存在时，设直线， ，所以(不妨设在第一象限)， 又因为， 所以， 化简得，所以， 所以或(舍)， 所以，直线过点， 综上(i)(ii)所得直线过定点. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合江中学高2023级高二下期三月月考 数学试卷 （2025､3､13） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列中，，则（ ） A 2 B. C. 4 D. 2. 曲线与曲线（且）的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 3. 数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ） A. 35 B. 42 C. 49 D. 56 5. 半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，，，则与所成角正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，若，则（ ） A. B. C. D. 二､（多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，有，则数列是等差数列 B. 若对，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 10. 如图，棱长为2正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时， B. 当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 C. 当点为中点时，二面角的余弦值为 D. 过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为 11. 已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，P是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 存在点P，使得直线的斜率的绝对值之和 C. 使得为等腰三角形的点P有且仅有四个 D. 若，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置. 12. 已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为____． 13. 已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________. 14. 已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.） 15. 已知数列前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求． 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 17. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上两点(异于顶点)，且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值； （3）设直线与椭圆交于两点(直线不过顶点)，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$