第八章 立体几何初步章末检测卷-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 2．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（    ） A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【详解】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF， 由题意得：2丈=20尺，圆周长BE=3尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为尺， 故选：C 3．在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是的中点，取的中点，连接， 则， 则或补角即为异面直线与所成的角． 可设， 由于、、两两垂直，且均相等， 则，，， 即有，，， 则有． 故选：A．    4．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 5．如图，在三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中不正确的有（    ） A．三棱锥体积的最小值为 B．三棱锥体积的最大值为 C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角 D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角 【答案】B 【详解】如图（1）所示，作平面，连接， 因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为， 所以，即 所以，即， 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系， 设，，， 则，整理得， 可得圆心，半径， 设点圆与轴的交点分别为，可得， 因为，所以 又由且， 所以， 则，，所以A正确，B错误； 因为，可设， 设与平面所成角为，且， 可得，且， 又由 ， 令，根据斜率的几何意义，可得表示圆与定点连线的斜率， 又由与圆相切时， 可得，解得或，即， 当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部， 如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是求得点的轨迹方程，结合，结合斜率公式和直线与圆相切求出直线与平面所成的角取到最小值时点的位置. 6．在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】D 【详解】解：异面直线与所成的角可转化为直线与所成角， 如图所示： 当为的中点时，，此时与所成的角为，所以A错误； 如图所示； 当与或重合时，直线与所成的角最小，为，所以B错误； 当与重合时，二面角的平面角最小，，所以， 所以C错误； 对于D，如图所示： 过作，交于，交于点， 因为，所以分别是的中点， 又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面， 因为，且， 所以四边形是等腰梯形，作交于点， 所以， 所以梯形的面积为，所以D正确. 故选：D 7．《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 8．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 10．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 【答案】AC 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 11．如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．存在满足 C．存在满足 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ABD 【详解】对于A：如图： 取中点，中点，连接， 则，又， 所以，所以共面， 又，所以，相交， 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面， 又平面，相交， 所以平面平面. 因为平面，所以点轨迹为线段，且.故A正确. 对于B：设点C关于平面对称的点为， ， 当且仅当点为线段与平面的交点时取等号，所以B正确. 对于C：如图： 因为，且，， 所以不存在满足，故C错误； 对于D：如图： 连接，取其中点，连接. 因为是棱的中点，则.所以为外接圆圆心. 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上. 设三棱锥外接球的半径为， 连接，设，则， 连接，所以， 所以，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    【答案】 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为． 由扇形圆心角为，半径为， 得圆锥底面圆周长为，解得． 因为扇形半径为，所以，所以． 易知球心在圆锥的高所在的直线上． 设球的半径为，则， 即，解得， 所以球的体积为． 故答案为：． 14．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 【答案】 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【答案】(1)点为的中点，理由见解析； (2) 【详解】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 17．如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. （2）解法一：因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 所以，，. 因此，平面与平面所成角的正切值为； 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 18．已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图（1）中，因，折起后，， 因，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影， 故即直线与平面所成角. 在图（1）中，， 在图（2）中，，则， 在中，，故， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19．如图，四棱锥中，底面，，平面，. (1)证明：； (2)已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则， 由平面，平面平面，得，而， 则，而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）过点在平面内作于，由平面，得， 而平面，则平面，， 又平面，则， 在中，，则，解得， 为中点，即，在平面内过作于，连接， 平面，则平面，又平面， 于是，是二面角的平面角， 由，得，，而， 则，， 所以二面角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 2．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（    ） A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺 3．在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（   ） A． B． C． D． 4．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，在三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中不正确的有（    ） A．三棱锥体积的最小值为 B．三棱锥体积的最大值为 C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角 D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角 6．在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 7．《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 11．如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．存在满足 C．存在满足 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 . 14．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 17．如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 18．已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，四棱锥中，底面，，平面，. (1)证明：； (2)已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$