大题突破04 二项式定理及其应用4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破04 二项式定理及其应用 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，二项式定理作为代数部分的重要内容，具有独特的地位和作用。它主要用于解决与二项式展开相关的问题，通过二项式定理，可以将形如的式子展开成多项式的形式，揭示了展开式中各项的系数规律。求指定项或指定项系数，是基于对二项式展开式通项公式的深入理解和运用，能够精准确定展开式中特定项及其系数；系数和问题，涉及到通过对变量赋值，挖掘二项式展开式中各项系数之间的关系，这种关系的探究不仅体现了数学的对称性和规律性，还为解决一些复杂的数学问题提供了有力的工具；展开式的最值问题，旨在找出展开式中二项式系数或项的系数的最大值，这需要综合考虑二项式系数的性质以及各项系数的变化规律；二项式定理的应用更为广泛，它与组合数的性质紧密相连，在证明整除问题、进行近似计算以及解决一些与数列相关的问题中都发挥着关键作用。这些考点综合考查了学生对二项式定理的理解深度、公式运用的熟练程度以及数学思维的灵活性和创新性，是高考中检验学生数学能力的重要考点。 【处理角度】 1. 紧扣二项式定理的核心公式：以二项式展开式的通项公式为基础，深入理解公式中各项的含义和作用。通项公式是连接二项式与展开式各项的桥梁，通过对通项公式中参数的分析和调整，可以准确找到指定项或指定项系数，解决与之相关的各种问题。 2. 巧妙运用赋值法：在处理系数和问题时，根据具体需求，合理地给二项式中的变量赋予特定的值。通过不同的赋值，可以得到展开式中各项系数的和、奇数项系数和与偶数项系数和等重要信息，从而巧妙地解决系数和相关的问题。 3. 分析二项式系数的性质：充分了解二项式系数的对称性、增减性等性质。利用这些性质，能够快速判断展开式中二项式系数最大的项所在位置，进而解决展开式的最值问题。同时，在证明一些与二项式系数相关的等式或不等式时，这些性质也能发挥重要作用。 4. 建立与组合数的联系：认识到二项式定理与组合数之间的紧密联系，二项式展开式的系数本质上就是组合数。借助组合数的性质和计算方法，可以更好地理解二项式展开式的规律，解决诸如证明组合恒等式、计算复杂的组合数问题等，拓宽解题思路。 5. 结合数学思想方法：运用分类讨论思想，在处理含有参数的二项式问题时，根据参数的不同取值范围进行分类讨论，分别求解；运用等价转化思想，将复杂的二项式问题转化为熟悉的形式，例如将整除问题转化为二项式展开式的形式进行分析；运用类比思想，借鉴二项式系数的性质和解题方法，解决类似的三项式或多项式展开的相关问题。 【解法策略】 1. 求指定项或指定项系数：首先明确二项式展开式的通项公式，根据题目要求确定指定项的特征，如指数满足的条件等。通过对通项公式中参数的计算，找到满足指定项条件的参数值，进而确定该项的系数。在计算过程中，要准确运用组合数的计算方法，注意各项的指数运算和符号变化。 2. 系数和问题：对于求二项式展开式中所有项的系数和，通常采用赋值法，令二项式中的变量取特殊值，如令变量为 1，可得到所有项系数的和；令变量为 -1，结合令变量为 1 时的结果，可求出奇数项系数和与偶数项系数和的关系。在处理较为复杂的系数和问题时，可能需要多次赋值，并结合二项式展开式的特点进行分析和计算。 3. 展开式的最值问题：若求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当二项式的幂指数是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当幂指数是奇数时，中间两项的二项式系数最大。对于求展开式中系数最大的项，需要设出该项的位置，根据系数的大小关系列出不等式组，通过解不等式组确定该项的位置，从而得到系数最大的项。 4. 二项式定理的应用：在证明整除问题时，将被除式转化为二项式的形式，利用二项式展开式的各项是否能被整除来证明结论。进行近似计算时，根据二项式展开式的特点，选取合适的项数进行近似，忽略较小的项以达到简化计算的目的。在解决与组合数相关的问题时，通过构造二项式，利用二项式展开式的系数与组合数的关系，结合组合数的性质进行证明或计算。 考点1 求指定项或指定项系数 1．（23-24高二下·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式的通项公式，结合题意进行求解即可； （2）根据二项式的通项公式，结合有理项的性质进行求解即可. 【详解】（1）根据题意，第二项为，第三项为， 所以，解得. （2）展开式中，其中. 当时，展开式为有理项： ； ； ； ； ， 即展开式中所有的有理项为. 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 【答案】(1)15 (2)有3项，分别是第1、第7和第13项 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求出第7项为，令即可求解； （2）由（1）知，根据通项公式可得，则为6的倍数，即可求解. 【详解】（1）因为展开式的第7项是 由于第7项是常数项，故，解得； （2）由（1）知， 展开式的通项为， 若为有理项，则为整数， 为6的倍数， ，，共三个数， 展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. 3．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 【答案】(1)6 (2)160 (3)6252 【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n； （2）利用通项公式求解； （3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可. 【详解】（1）根据题意，， 所以； （2）由（1）二项式展开式的通项公式为 ， 由得，所以展开式中的常数项为； （3）由（1）， 展开式中含项为： 所以展开式中含项的系数为6252. 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解， （3）利用分配律，结合通项特征即可求解. 【详解】（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为， 得，即． （2）由题意得第4项为， 所以第4项的系数为． （3）， 在的展开式中，含的项为， 常数项为， 所以的展开式的常数项为 5．（23-24高二下·北京延庆·期中）在的展开式中. (1)求第项的二项式系数； (2)求的系数； (3)求第项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 根据展开式的通项公式求二项式系数； （2）由展开式的通项公式求系数； （3）根据展开式的通项公式求项. 【详解】（1）第项的二项式系数为. （2）展开式中的第项为 , 由已知，令，则，则   , 则的系数为 . （3）因为 , 求第项，即时， , 所以第项为. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知的二项式系数之和是64，求展开式中含的项的系数. 【答案】60 【分析】根据二项式系数之和为求出的值，再根据二项式结构特征即可求出含的项，进而得系数. 【详解】因为二项式系数之和为，所以， 故含的项为， 所以展开式中含的项的系数为60. 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． (1)求n和a的值； (2)求展开式中项的系数 (3)求的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) (3)448 【分析】（1）根据二项式系数和公式，以及赋值法求解系数和，即可列方程求解， （2）根据通项特征即可求解， （3）根据分配律，结合通项特征求解. 【详解】（1）由条件可得，解得 （2） 展开式的通项为：， 当，即时，项的系数为 （3） ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 考点2 系数和问题 8．（23-24高二下·天津和平·期中）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中x的一次项的系数； (3)设展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为N，求． 【答案】(1)11； (2)－1320； (3)1023 【分析】（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可求得n； （2）写出二项展开式通项公式，确定一次项的项数后可得系数； （3）在二项式中令可得系数和,再结合二项式系数和性质计算即可． 【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，∴，则． （2）展开式通项公式是，令，， ∴x的系数为； （3）在中令得，即为所有系数和． 展开式的所有偶数项的二项式系数和为, . 9．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指定项的二项式系数求参； （2）应用系数和及二项式系数和求差； （3）赋值法做差即可求出偶数项的系数和. 【详解】（1）因为，所以，解得： （2）二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为 （3）设，则 所以 10．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【详解】（1）令，得，故. （2）令，得， 故. （3）令，得， 结合， 故. 11．（23-24高二下·河北唐山·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2)16 (3)0 【分析】（1）直接利用二项式的展开式和组合数以及配对问题的应用求出结果； （2）利用赋值法的应用即可求解； （3）利用函数的导数和赋值法计算即可求解. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 当与2配对时，，故的系数为； 当与配对时，，故的系数为， 故的系数为； （2）令，得①， 令，得②， 则①+②，得， 所以； （3）， 等式两边同时求导，得 ， 令，得. 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【详解】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 13．（23-24高二下·山东济宁·期中）若，请求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)65536 (3)3072 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）在中令即可求解， （3）求导后赋值即可求解. 【详解】（1）令得； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 （3）令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据通项求解即可； （2）令求出，令，求出，进而得到结果. （3）对等式两边求导，令，求解即可. 【详解】（1）由题意得：. （2）令，则， 再令，则， 又， 所以 （3）两边同时求导得： ， 令，则 15．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． （2）， 令，解得； 令，整理得， 故． （3）的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 16．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. (1)求的值； (2)若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数. 【详解】（1）二项式的展开式中第7项为 ， 由题意得，解得. （2）令，得，所以或， 解得，或（舍去）. 该二项式展开式通项为 ， 令，解得， 故展开式中的系数为. 17．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据第7项为常数项结合通项公式求得，再根据各项系数之和等于其二项式系数之和列式求解； （2）求出二项式的通项公式，令，求得，即可求出所有的有理项. 【详解】（1）在二项式的展开式中，第7项为， 由题意可知，，所以. 因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以令得，解得. （2）二项式的展开式的通项为，， 令，解得， 所以其展开式中所有的有理项为，. 考点3 展开式的最值问题 18．（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解； （2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解. 【详解】（1）由题意得, ∴，即,解得或（舍）. ∴，，1，2，…6， 所以，3，6时为有理项 即展开式中的有理项为：，，. （2）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 设第项的展开式系数最大，则 ,解得。 所以展开式中系数最大项为：，. 19．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解得，再由通项公式求解； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，解得. ， 令，解得， 所以展开式中的系数为； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以，即展开式中二项式系数最大的项是. 20．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 21．（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)2 (2)13440 (3) 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【详解】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； （2）由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； （3）设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 22．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】(1)-513 (2) 【分析】（1）直接由赋值法即可求解； （2）将问题转换为判断展开式的系数谁最大，由不等式法即可求解. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 23．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合二项式系数可求得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）根据展开式的通项公式列出不等式求解即可得. 【详解】（1）由题意可得，即， 又，可解得， 对有，， 则， 即展开式中含有的项为； （2）令，即， 即，解得，又，故， 则，即展开式中系数最大项为. 24．（23-24高二下·山东临沂·期中）在的展开式中． (1)求展开式中各项系数之和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)2187 (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）先利用二项式展开式通项公式确定有理项，再利用插孔法计算概率即可； （3）设第项系数最大，建立不等式组计算即可. 【详解】（1）令，可得展开式中各项系数之和为． （2）因为，，1，2，…，7， 所以当，3，5，7时为有理项， 由插空法可得有理项不相邻的概率为． （3）设第项系数最大， 则， 即， 解得， 故此时， 故所求系数最大的项是第6项，为． 考点4 二项式定理的应用 25．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知展开式的二项式系数和为64. (1)若，求的值； (2)证明：为正整数. 【答案】(1)64 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设条件求得，再赋值，计算即得； （2）利用二项式化简计算即可证得结论. 【详解】（1）因展开式的二项式系数和为，解得，， 在中，取，得； （2） 为整数. 26．（22-23高二下·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用二项式展开式证明即可； （2）构造二项式展开式进行求解即可. 【详解】（1）证明：因为 所以能被整除； （2） 27．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【答案】(1)，， ，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中的系数相等可证一般性结论； （2）通过的展开式中的系数相等可证结论； （3）结合前两个结论，作差可证结论. 【详解】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是构造二项式，利用二项展开式中某项的系数相等得出题中需证的结论. 28．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 29．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）用二项式定理证明可以被100整除. 【答案】（1）84；（2）证明见解析 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式是常数项得出，即可求解； （2）转化为，再根据二项式展开式计算求解. 【详解】（1）展开式的通项为：，， 令得， 所以展开式中的常数项为； （2）∵ ， ∴能被100整除． 30．（24-25高二下·湖北·期中）已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. (1)求的值. (2)记，求被除的余数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出，可得出关于的方程，由题意得出，可解出的值； （2）由题意得出，结合二项展开式可求出除的余数. 【详解】（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和， 由题意有，即，整理得， 因为，解得. （2）因为， 所以， ， 所以能被整除 因此，被除的余数为. 31．（24-25高二上·福建龙岩·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用递推关系直接求解即可； （2）根据的意义，先得到，利用缩放得到，即可求得，利用构造法可得，即可证明数列是等比数列； （3）先利用（2）的结论计算，再利用二项式定理将上述结果展开，即可求解. 【详解】（1）将代入， 得. （2）由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，. 当时，，即， 所以，即. 由. 结合，均为正整数，可得，其中， 而，故，其中. 所以，由，得， 所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可得，， ， 因为为10的倍数， 所以，故的个位数为4. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于先适当放缩确定，结合，均为正整数， 确定. 32．（15-16高三下·江苏·阶段练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示. (1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由； (2)已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列. 【答案】(1)存在，第62行 (2)证明见解析 【分析】（1）杨辉三角形的第行由二项式系数组成，再根据第行中有三个相邻的数之比为，由 求解； （2）设有n，r()，使得成等差数列，得到，再利用组合数公式求解. 【详解】（1）解：存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数组成. 若第n行中有三个相邻的数之比为， 则， 即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62. 即第62行有三个相邻的数的比为. （2）证明：若有n，r()，使得成等差数列， 则， 即， ， 所以， ， 整理得，. 两式相减得， 所以成等差数列， 由二项式系数的性质可知， 这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立 33．（21-22高二下·山东济宁·期中）下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一． 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数． (1)求杨辉三角中第10行的各数之和； (2)求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和． 【答案】(1)1024 (2)560 【分析】（1）根据杨辉三角数字的规律计算即可 （2）根据杨辉三角数字的规律计算即可 【详解】（1）杨辉三角中第10行的各数之和为 ． （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ． 一、解答题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)7或14 (2)当时，的系数为35；当时，的系数为1001 【分析】（1）由题意，建立组合数方程，利用组合数的阶乘表示式化简计算即得； （2）根据二项展开式的通项知，的系数为，则由（1）求得的的值，分两种情况分别求即得. 【详解】（1）由题意得： 即化简得： 即，解得或，经检验，都符合题意. 故或. （2）因二项式的展开式通项为：其中的系数为 由（1）得：或14 ， 则当时，的系数为 ； 当时，的系数为. 综上，当时，的系数为35；当时，的系数为1001. 2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求的值； (2)求展开式中的系数. 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据二项式系数和公式即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解 【详解】（1）由题意可得，. 解得； （2）， 二项展开式的通项为. 由，得. 展开式中的系数为. 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）若选①利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选②利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选③利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，易知，则，此时的常数项为； 若选③，令，则， 则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项，易知该项为， 再求展开式中含的项，易知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 4．（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）（1）求； （2）求的二项展开式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据组合数以及排列数，可得答案； （2）根据二项式定理，可得答案. 【详解】（1）. （2）. 5．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知二项式，且满足． (1)求值，并求二项式系数最大的项； (2)求二项展开式中含项的系数； (3)请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据组合数公式得到方程，即可求出，再写出展开式的通项，即可求出二项式系数最大项； （2）令，解得，再利用通项计算可得； （3）令，即可求出各项系数和. 【详解】（1）因为，即，整理得， 解得或（舍去），故． 所以展开式的通项为（且）， 则，故二项式系数的最大项为第项，为． （2）令，解得， 所以， 所以二项展开式中含项的系数为； （3）对于，令可得， 所以展开式中所有项的系数的和为. 6．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 【答案】(1)216 (2) 【分析】（1）由题知，先求出展开式中含，，的项，然后可得； （2）分别令，，两式相加可得结果. 【详解】（1）， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为 ， ∴中含项的系数为216， （2）， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第四项与第五项的二项式系数比值为. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据二项式系数可得，即可根据通项特征求解， （2）由二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】（1）选择①：依题意，得，即， 即，即，解得或（舍去）. 所以的展开式中， 当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 选择②：依题意，得，即，解得. 所以的展开式中， 当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. （2）由（1）得的展开式中， 令，得， 所以的展开式中含的项为. 8．（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 【答案】（1）-20；（2）-20 【分析】（1）由通项公式即可求解； （2）先确定的取值，再由通项公式即可求解. 【详解】（1） 令，得， 所以的系数为-20. （2）因为二项式系数最大的项是第4项，所以，或，或 通项公式： 当时，令，得，不存在常数项． 当时，令，得，常数项为． 当时，令，得，不存在常数项． 所以展开式中的常数项为-20 9．（20-21高二下·山东泰安·期中）从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答． ①第项的二项式系数比第项的二项式系数大；②二项式的常数项为. 问题：在二项式展开式中， . （1）求奇数项的二项式系数的和； （2）求该二项展开式中的系数. 【答案】条件选择见解析：（1）；（2）. 【分析】选择条件①，由题意可得出关于的二次方程，结合且可求得的值； 选择条件②，写出展开式的通项，令的指数为零，根据二项式的常数项为求出的值. （1）由奇数项的二项式系数的和为可得解； （2）写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可求得该二项展开式中的系数. 【详解】选择条件①，由题意可得，整理可得， 因为且，解得； 选择条件②，由二项式定理得展开式的通项为， 根据题意，得，，因此，为奇数， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意.，r大于3时不满足题意 所以. （1）奇数项的二项式系数的和； （2）展开式的通项为， 根据题意，得，可得，因此，的系数是. 10．（20-21高二下·河北唐山·期中）在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64，这两个条件中任选—个，补充在问题中，并进行解答. 问题：在的展开式中，___________，求n的值及展开式中的常数项. 【答案】答案见解析 【分析】写出展开式通项公式， 选条件①，得前三项系数，由它们成等差数列得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项； 选条件②，由二项式指数性质得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项． 【详解】解：因为二项式展开式的通项为 选条件①，前三项的系数成等差数列， 展开式前三项的系数分别为，，， 由题设知 解得或（舍去） 当时， 所以时，为常数项 选条件②，二项式系数之和为64，所以， 当时，， 所以时，为常数项. 11．（21-22高二下·江苏无锡·期中）给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)和 (2)，， 【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为： . 若选①，则由题得， ∴，即， 解得或(舍去)，∴. 若选②，则由题得，∴， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为， ，. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为： . 当即时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为: ，，. 12．（22-23高二下·湖北·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）. 上表图2中第n行的第m个数用表示，即“展开式中的系数为. (1)类比二项式系数性质表示（无需证明）； (2)类比二项式系数求和方法求出三项式展开式中x的奇次项系数之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二项式系数性质类比到三项式即可; （2）类比二项式系数求和方法，使用赋值法即可. 【详解】（1） （2）由题意，设， 当时① 当时，② ①-②得：， 即展开式中的奇次项系数之和为. 13．（2023高二下·北京房山·期中）根据下列条件进行计算： (1)若，求n的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合公式即可求解；（2）根据二项式的展开式对应相等即可求解. 【详解】（1）， 所以， 即， 所以， 所以或(舍去) 所以. （2）因为， . 所以. 所以，， 所以 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）采用“赋值法”求解. （2）分别求和展开式中的系数即可. 【详解】（1）因为， 令得：； 令得：. 两式相减得：. （2）因为， 所以展开式中，的系数为： 又展开式中，，由， 所以的系数为：. 所以 【点睛】方法点睛：对于新的概念的理解是解决问题的关键. 15．（23-24高二下·江苏镇江·期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破04 二项式定理及其应用 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，二项式定理作为代数部分的重要内容，具有独特的地位和作用。它主要用于解决与二项式展开相关的问题，通过二项式定理，可以将形如的式子展开成多项式的形式，揭示了展开式中各项的系数规律。求指定项或指定项系数，是基于对二项式展开式通项公式的深入理解和运用，能够精准确定展开式中特定项及其系数；系数和问题，涉及到通过对变量赋值，挖掘二项式展开式中各项系数之间的关系，这种关系的探究不仅体现了数学的对称性和规律性，还为解决一些复杂的数学问题提供了有力的工具；展开式的最值问题，旨在找出展开式中二项式系数或项的系数的最大值，这需要综合考虑二项式系数的性质以及各项系数的变化规律；二项式定理的应用更为广泛，它与组合数的性质紧密相连，在证明整除问题、进行近似计算以及解决一些与数列相关的问题中都发挥着关键作用。这些考点综合考查了学生对二项式定理的理解深度、公式运用的熟练程度以及数学思维的灵活性和创新性，是高考中检验学生数学能力的重要考点。 【处理角度】 1. 紧扣二项式定理的核心公式：以二项式展开式的通项公式为基础，深入理解公式中各项的含义和作用。通项公式是连接二项式与展开式各项的桥梁，通过对通项公式中参数的分析和调整，可以准确找到指定项或指定项系数，解决与之相关的各种问题。 2. 巧妙运用赋值法：在处理系数和问题时，根据具体需求，合理地给二项式中的变量赋予特定的值。通过不同的赋值，可以得到展开式中各项系数的和、奇数项系数和与偶数项系数和等重要信息，从而巧妙地解决系数和相关的问题。 3. 分析二项式系数的性质：充分了解二项式系数的对称性、增减性等性质。利用这些性质，能够快速判断展开式中二项式系数最大的项所在位置，进而解决展开式的最值问题。同时，在证明一些与二项式系数相关的等式或不等式时，这些性质也能发挥重要作用。 4. 建立与组合数的联系：认识到二项式定理与组合数之间的紧密联系，二项式展开式的系数本质上就是组合数。借助组合数的性质和计算方法，可以更好地理解二项式展开式的规律，解决诸如证明组合恒等式、计算复杂的组合数问题等，拓宽解题思路。 5. 结合数学思想方法：运用分类讨论思想，在处理含有参数的二项式问题时，根据参数的不同取值范围进行分类讨论，分别求解；运用等价转化思想，将复杂的二项式问题转化为熟悉的形式，例如将整除问题转化为二项式展开式的形式进行分析；运用类比思想，借鉴二项式系数的性质和解题方法，解决类似的三项式或多项式展开的相关问题。 【解法策略】 1. 求指定项或指定项系数：首先明确二项式展开式的通项公式，根据题目要求确定指定项的特征，如指数满足的条件等。通过对通项公式中参数的计算，找到满足指定项条件的参数值，进而确定该项的系数。在计算过程中，要准确运用组合数的计算方法，注意各项的指数运算和符号变化。 2. 系数和问题：对于求二项式展开式中所有项的系数和，通常采用赋值法，令二项式中的变量取特殊值，如令变量为 1，可得到所有项系数的和；令变量为 -1，结合令变量为 1 时的结果，可求出奇数项系数和与偶数项系数和的关系。在处理较为复杂的系数和问题时，可能需要多次赋值，并结合二项式展开式的特点进行分析和计算。 3. 展开式的最值问题：若求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当二项式的幂指数是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当幂指数是奇数时，中间两项的二项式系数最大。对于求展开式中系数最大的项，需要设出该项的位置，根据系数的大小关系列出不等式组，通过解不等式组确定该项的位置，从而得到系数最大的项。 4. 二项式定理的应用：在证明整除问题时，将被除式转化为二项式的形式，利用二项式展开式的各项是否能被整除来证明结论。进行近似计算时，根据二项式展开式的特点，选取合适的项数进行近似，忽略较小的项以达到简化计算的目的。在解决与组合数相关的问题时，通过构造二项式，利用二项式展开式的系数与组合数的关系，结合组合数的性质进行证明或计算。 考点1 求指定项或指定项系数 1．（23-24高二下·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 3．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 5．（23-24高二下·北京延庆·期中）在的展开式中. (1)求第项的二项式系数； (2)求的系数； (3)求第项. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知的二项式系数之和是64，求展开式中含的项的系数. 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． (1)求n和a的值； (2)求展开式中项的系数 (3)求的展开式中的常数项． 考点2 系数和问题 8．（23-24高二下·天津和平·期中）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中x的一次项的系数； (3)设展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为N，求． 9．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 10．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 11．（23-24高二下·河北唐山·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 13．（23-24高二下·山东济宁·期中）若，请求值： (1)； (2)； (3). 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 15．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 16．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. (1)求的值； (2)若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 17．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 考点3 展开式的最值问题 18．（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 19．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 20．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 21．（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 22．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 23．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 24．（23-24高二下·山东临沂·期中）在的展开式中． (1)求展开式中各项系数之和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； (3)求展开式中系数最大的项． 考点4 二项式定理的应用 25．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知展开式的二项式系数和为64. (1)若，求的值； (2)证明：为正整数. 26．（22-23高二下·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 27．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 28．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 29．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）用二项式定理证明可以被100整除. 30．（24-25高二下·湖北·期中）已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. (1)求的值. (2)记，求被除的余数. 31．（24-25高二上·福建龙岩·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 32．（15-16高三下·江苏·阶段练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示. (1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由； (2)已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列. 33．（21-22高二下·山东济宁·期中）下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一． 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数． (1)求杨辉三角中第10行的各数之和； (2)求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和． 一、解答题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求的值； (2)求展开式中的系数. 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 4．（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）（1）求； （2）求的二项展开式. 5．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知二项式，且满足． (1)求值，并求二项式系数最大的项； (2)求二项展开式中含项的系数； (3)请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答） 6．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 7．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第四项与第五项的二项式系数比值为. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中含的项. 8．（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 9．（20-21高二下·山东泰安·期中）从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答． ①第项的二项式系数比第项的二项式系数大；②二项式的常数项为. 问题：在二项式展开式中， . （1）求奇数项的二项式系数的和； （2）求该二项展开式中的系数. 10．（20-21高二下·河北唐山·期中）在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64，这两个条件中任选—个，补充在问题中，并进行解答. 问题：在的展开式中，___________，求n的值及展开式中的常数项. 11．（21-22高二下·江苏无锡·期中）给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 12．（22-23高二下·湖北·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）. 上表图2中第n行的第m个数用表示，即“展开式中的系数为. (1)类比二项式系数性质表示（无需证明）； (2)类比二项式系数求和方法求出三项式展开式中x的奇次项系数之和. 13．（2023高二下·北京房山·期中）根据下列条件进行计算： (1)若，求n的值； (2)已知，求的值． 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 15．（23-24高二下·江苏镇江·期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$