热点06 空间中直线、平面的平行问题（九大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点06 空间中直线、平面的平行问题 考点一、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 考点二、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 热点一 平行命题的判断 例1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-1．a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1-2．（多选）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1-3．给出下列四个命题： ①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的直线不是平行就是异面； ③如果直线，，则； ④如果平面平面，若，，则． 其中为真命题为 ． 热点二 利用中位线、或对应线段成比例证明线面平行 例3．在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 例4．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.求证:平面MCD; 变式2-1．如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    变式2-2．如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2中，证明：平面.    变式2-3．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．求证：平面. 热点三 构造平行四边形证明线面平行 例5．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．求证平面； 例6．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点．求证：平面； 变式3-1．如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：平面； 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，.证明：平面PAD；    变式3-3．如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 热点四 利用线面平行的性质证明线面平行 例7．如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 例8．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 变式4-1．四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 . 变式4-2．如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 变式4-3．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 热点五 利用面面平行证明线面平行 例9．如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点． 求证：∥平面. 例10．有两个平行四边形ABCD与ABEF，M为AC上一点，N为BF上一点，且，求证：平面CBE． 变式5-1．已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 变式5-3．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.    热点六 面面平行的证明 例11．如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 例12．已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 变式6-1．下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A．   B．     C．   D．   变式6-2.（9-10高一下·海南·期末）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，真命题的序号是（    ） ①平面； ②平面； ③平面平面； ④平面平面. A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 变式6-3．在正方体中，O是的中点，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若P是的中点，求证：平面平面. 热点七 线面、面面平行的探索性问题 例13．如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    例14．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 变式7-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形.在棱PD上是否存在点E，使得平面?若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由. 变式7-2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由. 变式7-3．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 热点八 平行的应用——截面问题 例15．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 例16．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    变式8-1．在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 变式8-2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 变式8-3．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面  截该四棱柱所得的截面补充完整； 热点九 平行的应用——轨迹问题 例17．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（    ） A． B．5 C． D． 例18．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 变式9-1．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    变式9-2．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .    变式9-3．如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ． 一、单选题 1．（2024·25高二下·湖南长沙·期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 2．（2024·25高一上·上海嘉定·期中）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，对于命题： ①若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交； ②若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交． 则下列结论中正确的是（   ）． A．①为真命题②为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为假命题 D．①为假命题②为真命题 3．（2024·25高二上·四川达州·期中）在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 5．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 6．（2023 24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 8．（2022·23高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（    ） A． B．5 C． D．8 二、多选题 9．（2023·24高一下·广东深圳·期中）已知空间中有直线有平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，，则 10．（2022·23高一下·云南曲靖·期中）如图，在正方体､中，分别是的中点，则下列命题正确的是（    ）    A． B．与是异面直线 C．平面平面 D．平面 11．（2024·25高二上·四川达州·期中）在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．平面截正方体所得截面是五边形 D．平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题 12．（2024·25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 13．（2023·24高三上·上海浦东新·期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    14．（2023·24高一下·天津南开·期末）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 四、解答题 15．（2023·24高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点.    (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 16．（2023·24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 17．（2023·24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．（2023·24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 19．（2022·23高一下·浙江杭州·期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长，宽，高分别为.    (1)在方案(2)中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 空间中直线、平面的平行问题 考点一、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 考点二、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 热点一 平行命题的判断 例1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 例2．已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则平面内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出； 根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出. 故选：A. 变式1-1．a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面， ①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确； ②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确； ③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确； ④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确； ⑤，，则或，所以⑤不正确； ⑥，，则或，所以⑥不正确； 故选：C. 变式1-2．（多选）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误； 对于B，若，，，，不一定为相交直线， 只有当为相交直线时，才可得到，故B错误； 对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误； 对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确， 故选：ABC 变式1-3．给出下列四个命题： ①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的直线不是平行就是异面； ③如果直线，，则； ④如果平面平面，若，，则． 其中为真命题为 ． 【答案】②④ 【详解】对于①，因为，所以直线确定一个平面，设为，则，，则与不平行，故①不正确； 对于②，因为，所以直线与平面无公共点，所以直线与平面内的直线无公共点，所以与平面内的直线不是平行就是异面，故②正确； 对于③，如果直线，，则与可能平行、可能相交或可能异面，故③不正确； 对于④，过作平面，使得，作平面，使得， 因为，所以，因为，所以， 所以，又，，所以， 又因为，，所以，所以，故④正确.    故答案为：②④ 热点二 利用中位线、或对应线段成比例证明线面平行 例3．在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 【答案】D 【详解】因为分别为的中点， 所以且， 因为分别为上的点，且， 所以且， 所以且， 所以四边形为梯形， 又平面，平面， 所以平面. 故选：D. 例4．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.求证:平面MCD; 【答案】证明见解析 【详解】取PA的中点S，连接SM，SC，如图所示： 又因为为PB的中点， 所以，又， 所以， 故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD， 因此平面MCD； 变式2-1．如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    【答案】与平面平行，理由见解析 【详解】与平面平行，理由如下， 连接，再连接，如图，    因为在长方体中，四边形是长方形， 所以是的中点，又E是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 变式2-2．如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2中，证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】连接，交于点，连接， ， ， 又，则， 又是线段上靠近端的三等分点， ， ， ， 不在平面内，平面， 平面.    变式2-3．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由及， 可知，又，所以， 所以在中，有， 又平面，而平面， 所以平面. 热点三 构造平行四边形证明线面平行 例5．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．求证平面； 【答案】证明见解析 【详解】取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 例6．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； 变式3-1．如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：取的中点，连接，，如下图所示： 根据题意，且，则， 由三棱柱得性质知，所以，即， 则四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，.证明：平面PAD；    【答案】证明见解析 【详解】在上取中点G，连接，如图：    ∵G和E分别为和的中点，∴，且， 又∵底面是直角梯形，，， ∴且．即四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； 变式3-3．如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】取的中点为，接，如下图所示： 则， 而，故， 故四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面， 所以平面. 热点四 利用线面平行的性质证明线面平行 例7．如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 例8．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 变式4-1．四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 . 【答案】/ 【详解】设，连接交于，连接，， 由于平面，平面，平面平面， 则，由于是的中点，所以， 过作，交于， 则，由于，所以， 所以. 故答案为：    变式4-2．如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 变式4-3．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 热点五 利用面面平行证明线面平行 例9．如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点． 求证：∥平面. 【答案】证明见解析 【详解】由题意可得∥， 且平面，平面，可得∥平面； 因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面； 且，且，平面， 可得平面∥平面， 由平面，可得∥平面． 例10．有两个平行四边形ABCD与ABEF，M为AC上一点，N为BF上一点，且，求证：平面CBE． 【答案】证明见解析 【详解】如图，作，QM交BA于Q，连结NQ，由条件知： ． ∴又,则 又平面,平面 所以平面,平面,且, 所以平面平面，而平面MQN， ∴平面BCE． 变式5-1．已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取上一点，使得，取上一点，使得，连接，取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证明平面，再由面面平行的性质定理可得平面，故重合，即可得出答案. 【详解】因为直四棱柱中， 又，且平面，平面， 平面，平面 而，平面, 平面平面， 又平面平面 变式5-3．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示：    取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形， 所以且， 因为为的中点，所以且， 因为、分别为、的中点， 所以且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为、分别为、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 因为平面，故平面． 热点六 面面平行的证明 例11．如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【详解】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 例12．已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 【答案】证明见解析 【详解】因为N，M，O分别为，，的中点，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面， 同理平面， 又平面,平面,且， 所以平面平面． 变式6-1．下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】B 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接，    因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 变式6-2.（9-10高一下·海南·期末）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，真命题的序号是（    ） ①平面； ②平面； ③平面平面； ④平面平面. A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图1所示； 对于①，平面平面，平面， ∴平面，①正确； 对于②，平面平面，平面， ∴平面，②正确； 对于③，如图2所示，易知，则四边形为平行四边形， 则，平面，平面，∴平面； 同理可得四边形为平行四边形，则， 因为，平面，则平面，且， 平面，∴平面平面，③正确； 对于④，如图3所示，由③知，因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面， ∴平面平面，∴④正确． 综上，正确的命题序号是①②③④． 故选：A． 变式6-3．在正方体中，O是的中点，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若P是的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，    因为分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面. 热点七 线面、面面平行的探索性问题 例13．如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    【答案】存在，理由见解析 【详解】线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为，过作，垂足为， 由为中点，又， 所以为靠近点的四等分点. 取靠近点的四等分点，连接， 则，又， 所以，而平面平面，所以平面． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且.    例14．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 变式7-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形.在棱PD上是否存在点E，使得平面?若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，点E为棱PD的中点 【详解】存在，点E为棱PD的中点. 连接BD，交AC于点F，连接EF，如图所示. 因为底面ABCD为平行四边形， 所以点F为BD的中点 在中，因为点E，F分别为PD，BD的中点， 所以，且. 又因为平面ACE，平面ACE， 所以平面. 变式7-2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】当是棱的中点时，平面，证明见解析 【详解】当是棱的中点时，平面，证明如下： 取的中点，连接，记与交于点O，连接． 易得平面平面平面． 由是的中点，知是的中点， 由四边形是正方形，知O为的中点，所以， 平面平面平面． 又，平面，∴平面平面， 平面平面. 变式7-3．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    热点八 平行的应用——截面问题 例15．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C．    例16．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为.    故答案为：. 变式8-1．在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 【答案】 【详解】 如图，取的中点,连接,易得，则, 过点在平面内作,交于点，则； 再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得, 过点在平面内作,交于点，则， 连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行， 同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行， 故五边形即点的正方体的截面. 因则,， 由可得，则有：, 即得：,则,; 又由可得,则有：, 即得：，则 则. 故五边形截面的周长为： 故答案为：. 变式8-2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）为的中点， 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. 变式8-3．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面  截该四棱柱所得的截面补充完整； 【答案】E为的中点，答案见解析 【详解】E为的中点．作图如下：如图，取的中点E，连接DE，， 平面即为该四棱柱所得的截面（可通过证明 来判断 ）. 热点九 平行的应用——轨迹问题 例17．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为，，AB的中点可得，平面，平面， 所以平面，同理得平面，，平面，则平面平面， 所以动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）． 在正三棱柱中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则， 平面平面，平面平面，则CQ⊥平面，平面， 所以． 因为，所以， 因为侧棱长是6，所以． 所以，则△MQC的面积， 故动点P的轨迹面积为． 故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查空间点的轨迹问题，空间点的轨迹几种常见情形： （1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹； （2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹； （3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹； （4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹； 例18．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【详解】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 变式9-1．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    【答案】/ 【详解】    连接交于，取的中点，过作， 分别交于，连接， 易得， 因为平面，平面，所以平面， 平面，因为，且都在面内，所以平面平面， 所以的轨迹为线段， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故三棱柱的表面积为. 故答案为：. 变式9-2．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .    【答案】 【详解】由，，为边的中点 设是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且， 即为平行四边形，故且，      故的轨迹与的轨迹相同. 因为面，且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 设的中点为O，则，， 又面，面，所以面， 故的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：判断点的轨迹，从圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质出发求解. 变式9-3．如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【详解】取的中点的中点，连结．正方体 的棱长为2．为中点，所以， 所以且． 因为为分别为的中点， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以． 因为面面， 所以面． 同理可证：面． 又面面， 所以面面． 所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形． 因为正方体的棱长为2，所以， 所以三角形的周长为． 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·25高二下·湖南长沙·期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【答案】A 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 2．（2024·25高一上·上海嘉定·期中）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，对于命题： ①若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交； ②若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交． 则下列结论中正确的是（   ）． A．①为真命题②为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为假命题 D．①为假命题②为真命题 【答案】B 【详解】对于命题①假若既不与相交，也不与相交，由于，都在内，故，平行， 同理，平行，根据平行公理得到，平行，与已知，为异面直线矛盾， 所以必与或相交，命题①正确 如图所示， ，，是异面直线，上下两个平面，是分别通过，中的一条而与另一条平行的平面， 直线与这两个平面都相交，交点，都不在直线，上. 在直线上任取一点不同于，的点， 由于，异面，所以，则直线与点确定一个平面， 由面面平行性质定理可得该平面与平面的交线与直线平行， 而直线，为异面直线， 所以这平面与直线相交，设交点为， 连接的直线与直线必然相交（否则，这条线必在平面内)， 由于点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与，，都相交，命题②错误， 故选：B. 3．（2024·25高二上·四川达州·期中）在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图正三棱柱，面为，面为，， 则，运用线面平行性质知道，A正确，B错误， 由图可知相交，没有垂直和平行. 故选：A.    4．（2024·25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 5．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 6．（2023 24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    7．（2023·24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 8．（2022·23高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（    ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【详解】 由题意可以作出与垂直的平面， 利用面面平行可作出过点P且平行于平面的平面GJKLNM， 则平面GJKLNM与垂直， 作出点M，N的投影O，Q， 平面AOQCKJ的面积S即为所求， 已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1， 所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点 ， 故选：C. 二、多选题 9．（2023·24高一下·广东深圳·期中）已知空间中有直线有平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，，则 【答案】CD 【详解】对于A：若，，则或与异面或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C：，. ， ， ， ，故C正确； 对于D：若，，则，故D正确. 故选：CD 10．（2022·23高一下·云南曲靖·期中）如图，在正方体､中，分别是的中点，则下列命题正确的是（    ）    A． B．与是异面直线 C．平面平面 D．平面 【答案】ABC 【详解】如图，连接，    对于，分别为中点， ，又，故A正确； 对于B，平面平面平面， 直线与为异面直线，故B正确； 对于C，由知：，又平面平面， 平面，同理可证：平面， 平面， 平面平面，故C正确； 对于D，，且平面， 与相交，又平面与平面相交，故D错误. 故选：ABC. 11．（2024·25高二上·四川达州·期中）在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．平面截正方体所得截面是五边形 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点， 取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确. 对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确. 对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面， 如图，棱长是2的正方体，可求得,， ，， 作则. 则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 13．（2023·24高三上·上海浦东新·期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    【答案】 【详解】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 14．（2023·24高一下·天津南开·期末）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 【答案】/0.6 【详解】由四棱锥的底面ABCD为平行四边形，得，而平面， 平面，则平面，令平面平面，则， 又E为PA的中点，则与交点于，且是的中点，连接， 设四棱锥的体积为，则下面部分几何体的体积为， 显然，， 则，于是上面部分几何体的体积为， 所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为. 故答案为： 四、解答题 15．（2023·24高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点.    (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴. 又在平行四边形中，， ∴，∴，，，四点共面. （2）取中点，连，，    ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且， 又∵平行四边形中，∴且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 16．（2023·24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； （2）连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 17．（2023·24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取的中点，连接为的中点，且， 为的中点，且 且， 四边形为平行四边形， ． 又平面平面平面． （2）， ． 平面点到面的距离等于点到面的距离， ， 又平面. 18．（2023·24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为分别是线段的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）依题意知，平面平面， 因为直线平面，平面， 所以，因为F是线段中点， 所以是线段的中点. 19．（2022·23高一下·浙江杭州·期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长，宽，高分别为.    (1)在方案(2)中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)方案(2)，最短绳长为 【详解】（1）    连接，在长方体中，， 则， 所以， ， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 又平面平面平面； 又平面，平面平面； 又平面平面平面， 又平面平面； （2）方案1中，绳长为； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由到的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为长度， 因为，所以， 所以彩绳的最短长度为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$