排列组合的综合应用专项训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

排列与组合的综合应用1 [题型1：特殊元素和特殊位置优先法] 1.教师有2位和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为 2.某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为 ． 【题型二　相邻问题捆绑法】 3.体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是： ．（用数字作答） 4.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．72种 B．81种 C．144种 D．192种 5.盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售.它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买.小明购买了7个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有3个相同的“竹林春熙”以及“海晏河清”、“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个.小明想将这7个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻.若相同摆件视为相同元素，则一共有 种摆放方法. 【题型三　相离问题插空法】 6.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为 . 7.男生有4名和女生6名排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有 种排法． 8.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有（   ）种. A．8 B．10 C．12 D．14 【题型四 定序问题倍缩法】 9.男生3名，女生4名，按照不同的要求排列，求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排，甲必须在乙的右边； (2)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变. 10.一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？ 【题型五 分组分配问题】 11.现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 12.有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（    ） A．12 B．14 C．22 D．24 13.为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（    ） A．共有64种不同的安排方法 B．若地无人去，，两地各有2人去，则共有6种不同的安排方法 C．每地均有人去，则共有36种不同的安排方法 D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法 【题型六 相同元素隔板法】 14.某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是 . 15.某学校的高一年级总共有8个班级，现学校要求高一年级组织一个篮球队，篮球队队员共12人， 每个班级中至少有一个人参加，问篮球队队员的名额分配有几种方法？ 【题型七 环（圆）排问题直排法】 16.5个学生围桌而坐，共有多少种排法？ 17.现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为 （用数字作答）． 第 5 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 排列与组合的综合应用2 1.有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选人排成一排； (2)排成前后两排，前排人，后排人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. (7)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置； (8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻． (9)男生顺序已定，女生顺序不定； (10)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； 2.用0、1、2、3、4五个数字． (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ (5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？ 3.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 4.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 复习2：排列与组合的综合应用----答案 [题型1：特殊元素和特殊位置优先法] 1.【答案】【详解】先考虑将两位老师排在中间，有种排法，再考虑排甲同学，有种排法，最后考虑余下三位同学的排法，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法.故答案为：. 2.【答案】/0.8 【详解】随机选派三名同学分别参加三项比赛，共有种结果，其中甲不能参加演讲比赛可分两类，一类是甲没有被选中有种结果，一类是甲被选中有，所以甲不能参加演讲比赛的结果数为，所以甲不能参加演讲比赛的概率为.故答案为：. 【题型二　相邻问题捆绑法】 3.【答案】240 【详解】两女生看成一个元素与其它四名男生全排列，共有种排法． 故答案为：240 4.【答案】D 【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为， 由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D. 5.【答案】 【详解】由题意，记3个相同的“竹林春熙”为，“海晏河清”为，“冰雪派对”为，“青云出岫”为，“如意东方”为，先摆放，，，一共有种摆放方式，再将3个插空放入，有种摆放方式，又由分步计数原理，可得共有种摆放方式.故答案为：. 【题型三　相离问题插空法】 6.【答案】480 【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有 种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有 种情况，则有个符合题意的六位数.故答案为：. 7.【答案】86400 【详解】第一步，6个女生排成一排共有种排法；第二步，把4个男生放在6个女生中间的 5个空位中，有种排法． 根据分步计数原理可得，满足要求的排法有= 86400 种．故答案为：86400 8.【答案】B 【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．故选:B. 【题型四 定序问题倍缩法】 9.【答案】(1)2520 (2)840 【详解】（1）7名学生站成一排共有种方法，甲、乙2人的排列有种，故全体站成一排，甲必须在乙的右边有种.（2）甲、乙、丙3人的排列有种，故全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变有种. 10.【答案】504 【详解】第一步，原来6 个路灯的中间空位和两端共有7 个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，有种方法；第二步，7个路灯的中间空位和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有种方法；第三步，8个路灯的中间空位和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有种方法．由分步乘法计数原理可得，共有= 504 种不同的安装方法． 【题型五 分组分配问题】 11.【答案】D 【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种； 若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种； 若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种， 故总共有12+8+2=22种. 故选：D 12.【答案】B 【详解】按工厂接收的女生人数分类，第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，故有种分配方法；第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，有种分配方法．综上，不同的分配方法有种．故选： 13.【答案】BCD 【详解】对于A，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故选项 A错误；对于B，若地无人去，需要将4人安排到两个地方，先分组有种，在分配到两地，共有种，故选项B正确；对于C，根据题意，需要将4人先分为3组，则有种分配方案，再将3组人员分配到三个地方则共有种安排方法，故选项C正确；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，有种安排方法，故选项D正确；故选：BCD． 【题型六 相同元素隔板法】 14.【答案】10 【详解】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法. 故答案为：. 15.【答案】330 【详解】把问题转化为将12个完全相同的球排成一列，在中间的11个空隙插入7个相同的“隔板”，每个空隙只能插入1个“隔板”，这样就可以将12个球分成8份．在11个空隙中插入7个相同的“隔板”有种方法；所以篮球队队员的名额分配有种方法． 【题型七 环（圆）排问题直排法】 16.【答案】24 【详解】由围桌坐成圆形，没有首位之分， 所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线， 只要让其余4人进行全排列，即有种排法． 17.【答案】24 【详解】因为站成一排时甲在乙左边与甲在乙右边的站法数相同，而m位同学站成一排有种站法，所以，解得，所以5位同学围成一个圆的站法种数为． 故答案为：24 复习3：排列与组合的综合应用---答案 1.【详解】（1）从人中选人排列，有（种）. （2）分两步完成，先选人站前排，有种方法，余下人站后排，有种方法，共有（种）. （3）将女生看成一个整体与名男生一起全排列，有种方法， 再将女生全排列，有种方法，共有(种). （4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有（种）. （5）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有（种）. （6）名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法；其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法， 故共有（种） （7）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）． （8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）． （9）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）． （10）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）． 2.【答案】(1)2500 (2)96 (3)20 (4)36 (5)88 【详解】（1）各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理， 有个． （2）考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法， 其余四个位置，4个数字全排列，故共有个． （3）构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数， 则由和，以及组成三位数， 由和组成的三位数有个， 由以及组成三位数有个，故共有个； （4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法， 然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内还有3个数 在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有个． （5）本小问的本质就是不大于42130的数有多少． 按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有三个数， 当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有个数， 当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有个， 所以42130是第个数． 3.【答案】（1）120；（2）246；（3）196；（4）191. 【详解】（1）分两步完成，首先选3名男运动员，有种选法， 再选2名女运动员，有种选法，共有种选法. （2）“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”， 从10人中任选5人，有种选法，全是男运动员有种选法， 所以“至少有1名女运动员”的选法有种选法. （3）“只有男队长”的选法有种，“只有女队长”的选法有种，“男女队长都入选”的选法有种， 所以队长中至少有1人参加的选法共有种； （4）当有女队长时，其他人选法任意，共有种， 不选女队长，必选男队长，共有种，其中不含女运动员的选法有种，此时共有种， 所以既要有队长，又要有女运动员的选法共有种. 【点睛】本题主要考查分步，分类计数原理以及组合的分配问题，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题. 4.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30 【详解】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法. （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有. （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有. （4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，关键分清是否有序，是否有重复的情况出现，对分析问题的能力要求较高，属于中档题． $$