大题突破03 排列组合6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破03 排列组合6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学知识体系里，排列组合是重要的组成部分，它主要研究的是计数问题，即如何不重复、不遗漏地计算完成一件事情的方法数。这部分知识不仅与现实生活中的诸多场景紧密相关，如人员安排、任务分配、密码设置等，在数学学科内部也有着广泛的应用，是概率、组合数学等领域的基础内容。排列数组合数的计算是解决排列组合问题的基础，通过对其的考查，能检验学生对排列组合基本概念的理解和运算能力；计数原理是解决各类计数问题的核心依据，它贯穿于整个排列组合知识中；元素位置有限制的排列问题、分组分配问题、涂色问题以及代数与几何的计数问题，都是排列组合知识在不同情境下的具体应用，这些问题的解决不仅需要学生熟练掌握排列组合的基本原理和方法，还能锻炼学生的逻辑思维、分类讨论以及分析和解决问题的能力，在高考中具有较高的区分度，是考查学生数学素养的重要题型。 【处理角度】 1.明确问题本质：面对各类排列组合问题，首先要准确判断问题的类型，确定是属于排列问题（与顺序有关）还是组合问题（与顺序无关），或者是两者的综合。只有明确问题本质，才能选择合适的方法进行求解。 2.运用基本原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础。在分析问题时，要根据问题的特点，合理地进行分类或分步。分类时要确保各类情况相互独立且不遗漏，分步时要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联。 3.关注特殊元素和位置：对于元素位置有限制的排列问题，要优先考虑特殊元素或特殊位置。特殊元素或位置往往是解题的关键，通过先对其进行安排，可以简化后续的计算过程。 4.利用模型和方法：针对不同类型的排列组合问题，有一些特定的模型和方法，如捆绑法、插空法、隔板法等。要熟悉这些模型和方法的适用条件，能够根据问题的特征选择合适的模型和方法进行求解，提高解题效率。 5.结合图形和实例：在解决涂色问题和代数与几何的计数问题时，借助图形或实际例子可以更直观地理解问题，帮助我们分析问题中的各种关系，从而找到解题的思路。通过将抽象的问题具象化，能降低解题的难度。 【解法策略】 1.排列数组合数的计算：理解排列数和组合数的定义及公式的含义，根据题目所给的条件，准确代入公式进行计算。在计算过程中，注意对公式的化简和运算规则的运用，避免计算错误。对于涉及方程或不等式的问题，要根据排列数和组合数的性质进行求解，同时要注意未知数的取值范围。 2.计数原理的应用：如果完成一件事有多种不同的方式，且每种方式相互独立，那么使用分类加法计数原理，将每种方式的方法数相加得到总的方法数。当完成一件事需要分多个步骤，且每个步骤相互依存时，运用分步乘法计数原理，把每个步骤的方法数相乘来计算总的方法数。在实际应用中，要仔细分析问题，确定是分类还是分步，或者是两者结合使用。 3.元素位置有限制的排列问题：先确定特殊元素或特殊位置，优先安排它们。然后再对其他元素进行排列。如果有多个特殊元素或位置，要按照一定的顺序依次进行安排。在安排过程中，根据具体情况选择合适的排列方法，如全排列、部分排列等。 4.分组分配问题：对于分组问题，要区分是均匀分组还是非均匀分组。均匀分组时，由于存在重复的情况，需要除以相应的排列数来消除重复。非均匀分组则直接按照组合数的计算方法进行分组。分组完成后进行分配时，根据分配的对象和要求，使用排列数进行计算。如果是相同元素的分组分配问题，可以考虑使用隔板法等特殊方法。 5.涂色问题：根据图形的特点和要求，确定涂色的顺序。一般按照从相邻区域多的区域开始涂色的原则进行。在涂色过程中，考虑相邻区域颜色的限制，利用分步乘法计数原理计算每种颜色的选择方法数。对于一些复杂的图形，可以通过分类讨论的方式，分别计算不同情况下的涂色方法数，最后根据分类加法计数原理得到总的方法数。 6.代数与几何的计数问题：对于代数中的计数问题，如数字组合、集合元素的选取等，要根据题目条件确定是排列问题还是组合问题，然后运用相应的方法进行求解。在几何计数问题中，结合几何图形的性质和特点，分析点、线、面等元素的组合方式。例如，计算三角形的个数时，可根据不同的边长组合或顶点组合来进行分类计算；计算异面直线的对数时，通过合理分类，利用排列组合知识计算。 考点1 排列数组合数的计算 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 2．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 3．（23-24高二下·河南洛阳·期中）（1）计算:; （2）. 4．（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 5．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 6．（23-24高二下·广东茂名·期中）（1）计算：； （2）解方程： 7．（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 考点2 计数原理的应用 8．（22-23高二下·新疆阿克苏·阶段练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 9．（20-21高二下·福建厦门·期中）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 10．（20-21高二下·江苏无锡·期中）从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c，构成一个三位数X＝100a+10b+c． （1）X有多少个？其中偶数多少个？（均用数字作答） （2）将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？ 11．（23-24高二下·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 12．（23-24高二下·北京通州·期中）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ (2)从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同的选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 考点3 元素位置有限制的排列问题 13．（24-25高二上·江西吉安·期末）现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 14．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 15．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 16．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）有0，1，2，3，4，5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数? 17．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 18．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 19．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 20．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 考点4 分组分配问题 21．（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 22．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）五个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.回答下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）: (1)可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种? (2)四个盒都不空的放法有多少种? (3)恰有一个空盒的放法有多少种? 23．（22-23高二上·浙江宁波·期中）（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 24．（2024高三·全国·专题练习）现有20个不同颜色的玻璃球，按照以下要求分配，共有多少种分配方法？ (1)均匀地分为2组；均匀地分为4组. (2)分为3组，其中两个组各6个球，另外两个组各4个球. (3)从这20个玻璃球中选取19个玻璃球，放进3个不同的纸盒中，每个纸盒中至少放6颗球. 25．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 26．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 27．（23-24高二下·广东清远·期中）2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． (1)求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； (2)为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 28．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 考点5 涂色问题 29．（20-21高二下·江苏徐州·期中）如图，从左到右共有5个空格. （1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数； （2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案； （3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？ 30．（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．    31．（16-17高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 32．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 33．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 34．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 考点6 代数与几何的计数问题 35．（22-23高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 36．（23-24高二上·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 37．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 38．（18-19高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知正方体. (1)各棱、各面对角线（如）、各体对角线（如）所在的直线中，共有多少对异面直线？ (2)若三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为多少？ （注：所有结果均用数值表示） 一、解答题 1．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）现有4名男生和3名女生. (1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； (3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 3．（23-24高二下·河北·期中）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，2024年4月9日，由河北省群众文化学会主办的“‘双争’有我”盛世丹青大家绘在河北省群艺馆开展.若此次展览中打算安排国画､油画､水彩画､插画､漫画五件艺术作品的展出顺序. (1)共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (3)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）3月29日，“本草健康”展览在国家自然博物馆开展．“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元．已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元． (1)若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”，试问共有多少种不同的参观方案？ (2)若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，试问共有多少种不同的参观方案？ 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） (1)4人均来之不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女有多少种安排； (3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 7．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）“五一”劳动节前夕，某公司召开了劳模表彰大会，来自A，B，C三个车间的6位劳模坐在公司特意放置的前排6个座位上.其中A车间1人，B车间2人，C车间3人. (1)若每个车间的劳模派一代表介绍经验，有多少种不同的选法； (2)若同车间的人坐在一起，有多少种不同的坐法； (3)若C车间的人不坐在一起，有多少种不同的坐法； (4)劳模们上台领奖后仍回到前排6个座位就坐，发现只有2人坐在原位上，问有多少种不同的坐法. 8．（23-24高二下·山东东营·开学考试）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生； (3)至少有1名主任参加； (4)既有主任，又有外科医生． 9．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 10．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 11．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 12．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5.    (1)若要求所有的偶数均与数字5相邻（横排相邻或者竖排相邻），共有多少种不同的填写方案？ (2)若要求每一横排的数字从左到右依次增大，共有多少种不同的填写方案？ (3)若要求第二横排､第二竖排的3个数字之和均为15，且数字1不在第一横排，共有多少种不同的填写方案？ 13．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）（1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 14．（23-24高二下·四川广元·期中）某高校举办运动会，数理学院有10名志愿者，其中男生6名，女生4名，男、女志愿者中恰好各有1人可以兼任裁判，从这10名志愿者中选择4名参加志愿服务工作． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选中志愿者中至少有一名裁判，则有多少种不同的选法? 15．（23-24高二下·江苏盐城·期中）（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） （2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天． (1)若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； (2)金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； (3)金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案． 17．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 18．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 19．（23-24高二下·新疆·期中）3月23日，“新疆第一春，花开吐鲁番”2024吐鲁番高昌杏花节在亚尔镇上湖村开幕．来自全国各地的游客走进杏花园，近距离感受新疆“第一春”的魅力．本届杏花节系列活动集赏花、民俗风情、文化旅游为一体，共设立了9个赏花点，特别是“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点，成为游客游玩的打卡点．甲游客计划从9个赏花点中选出5个赏花点依次前往打卡，且“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点是甲的必选打卡点． (1)试问甲共有多少种不同的游玩方案? (2)若甲游玩的前3个打卡点中含有“花仙子”和山海经动漫人物这两个赏花点，试问共有多少种不同的游玩方案? 20．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 21．（23-24高二下·山西·期中）定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用（）种颜色给某（）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作. (1)当，时，试求的值； (2)当，时，试求的值； (3)结合前两问的解题思路，对任意的正整数（）（），请写出的运算公式，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破03 排列组合6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学知识体系里，排列组合是重要的组成部分，它主要研究的是计数问题，即如何不重复、不遗漏地计算完成一件事情的方法数。这部分知识不仅与现实生活中的诸多场景紧密相关，如人员安排、任务分配、密码设置等，在数学学科内部也有着广泛的应用，是概率、组合数学等领域的基础内容。排列数组合数的计算是解决排列组合问题的基础，通过对其的考查，能检验学生对排列组合基本概念的理解和运算能力；计数原理是解决各类计数问题的核心依据，它贯穿于整个排列组合知识中；元素位置有限制的排列问题、分组分配问题、涂色问题以及代数与几何的计数问题，都是排列组合知识在不同情境下的具体应用，这些问题的解决不仅需要学生熟练掌握排列组合的基本原理和方法，还能锻炼学生的逻辑思维、分类讨论以及分析和解决问题的能力，在高考中具有较高的区分度，是考查学生数学素养的重要题型。 【处理角度】 1.明确问题本质：面对各类排列组合问题，首先要准确判断问题的类型，确定是属于排列问题（与顺序有关）还是组合问题（与顺序无关），或者是两者的综合。只有明确问题本质，才能选择合适的方法进行求解。 2.运用基本原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础。在分析问题时，要根据问题的特点，合理地进行分类或分步。分类时要确保各类情况相互独立且不遗漏，分步时要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联。 3.关注特殊元素和位置：对于元素位置有限制的排列问题，要优先考虑特殊元素或特殊位置。特殊元素或位置往往是解题的关键，通过先对其进行安排，可以简化后续的计算过程。 4.利用模型和方法：针对不同类型的排列组合问题，有一些特定的模型和方法，如捆绑法、插空法、隔板法等。要熟悉这些模型和方法的适用条件，能够根据问题的特征选择合适的模型和方法进行求解，提高解题效率。 5.结合图形和实例：在解决涂色问题和代数与几何的计数问题时，借助图形或实际例子可以更直观地理解问题，帮助我们分析问题中的各种关系，从而找到解题的思路。通过将抽象的问题具象化，能降低解题的难度。 【解法策略】 1.排列数组合数的计算：理解排列数和组合数的定义及公式的含义，根据题目所给的条件，准确代入公式进行计算。在计算过程中，注意对公式的化简和运算规则的运用，避免计算错误。对于涉及方程或不等式的问题，要根据排列数和组合数的性质进行求解，同时要注意未知数的取值范围。 2.计数原理的应用：如果完成一件事有多种不同的方式，且每种方式相互独立，那么使用分类加法计数原理，将每种方式的方法数相加得到总的方法数。当完成一件事需要分多个步骤，且每个步骤相互依存时，运用分步乘法计数原理，把每个步骤的方法数相乘来计算总的方法数。在实际应用中，要仔细分析问题，确定是分类还是分步，或者是两者结合使用。 3.元素位置有限制的排列问题：先确定特殊元素或特殊位置，优先安排它们。然后再对其他元素进行排列。如果有多个特殊元素或位置，要按照一定的顺序依次进行安排。在安排过程中，根据具体情况选择合适的排列方法，如全排列、部分排列等。 4.分组分配问题：对于分组问题，要区分是均匀分组还是非均匀分组。均匀分组时，由于存在重复的情况，需要除以相应的排列数来消除重复。非均匀分组则直接按照组合数的计算方法进行分组。分组完成后进行分配时，根据分配的对象和要求，使用排列数进行计算。如果是相同元素的分组分配问题，可以考虑使用隔板法等特殊方法。 5.涂色问题：根据图形的特点和要求，确定涂色的顺序。一般按照从相邻区域多的区域开始涂色的原则进行。在涂色过程中，考虑相邻区域颜色的限制，利用分步乘法计数原理计算每种颜色的选择方法数。对于一些复杂的图形，可以通过分类讨论的方式，分别计算不同情况下的涂色方法数，最后根据分类加法计数原理得到总的方法数。 6.代数与几何的计数问题：对于代数中的计数问题，如数字组合、集合元素的选取等，要根据题目条件确定是排列问题还是组合问题，然后运用相应的方法进行求解。在几何计数问题中，结合几何图形的性质和特点，分析点、线、面等元素的组合方式。例如，计算三角形的个数时，可根据不同的边长组合或顶点组合来进行分类计算；计算异面直线的对数时，通过合理分类，利用排列组合知识计算。 考点1 排列数组合数的计算 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 2．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】（1）根据排列数公式计算可得答案； （2）根据组合数公式计算可得答案； （3）根据排列数公式计算可得答案；. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得； （2）因为， 所以 ； （3）因为，所以. 因为，所以， 即，解得， 所以，又，所以或. 3．（23-24高二下·河南洛阳·期中）（1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 4．（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质计算化简即可. （2）利用给定式子建立方程，求解即可. 【详解】（1）原式 （2）由展开得，因， 故可化简得：， 解得或（舍），故. 5．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 6．（23-24高二下·广东茂名·期中）（1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）56；（2） 【分析】（1）利用组合数、排列数公式计算即得； （2）利用组合数的性质化简，再利用组合数公式计算即得. 【详解】（1）． （2），则， 得或（舍） 所以方程的解为. 7．（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【答案】(1)64 (2)15 (3)或 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）首先确定的值，再由排列、组合数公式计算可得. 【详解】（1） ； （2）； （3）依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时，. 考点2 计数原理的应用 8．（22-23高二下·新疆阿克苏·阶段练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)24 (2)10 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求不同的取法； （2）利用分类加法计数原理求不同的取法； 【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是. （2）分为3类：第1类取两本计算机书有6种取法； 第2类取两本文艺书有3种取法； 第3类取两本体育书有1种取法； 不同取法的种数共有. 9．（20-21高二下·福建厦门·期中）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种； (2)种. 【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法； （2）应用分类加法求不同的取法. 【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是. （2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法 第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是. 10．（20-21高二下·江苏无锡·期中）从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c，构成一个三位数X＝100a+10b+c． （1）X有多少个？其中偶数多少个？（均用数字作答） （2）将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？ 【答案】（1）125，50，（2）355 【分析】（1）a，b，c各有5种取法，按分步乘法原理求解即可X的个数，先对c取值有2种，a，b各5种，按分步乘法原理求解即可得偶数的个数， （2）求出百位为1的个数，百位为2的个数，百位为3的个数，可求得第75个X 【详解】（1）由题意可得a，b，c各有5种取法，所以分步乘法原理可得3个数a，b，c，构成一个三位数X有个， 其中偶数有c取值有2种，a，b各5种，按分步乘法原理可得个， （2）当百位为1时的三位数有， 当百位为2时的三位数有， 当百位为3时的三位数有， 所以将所有的X从小到大排列，第75个X是百位数字为3的组成的最大的三位数为355 11．（23-24高二下·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种； (2)种. 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或， 由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种. 12．（23-24高二下·北京通州·期中）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ (2)从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同的选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)480 (2)20，16 【分析】（1）根据插空法即可求解； （2）根据组合定义即可求解（i）；用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有情况减去 “6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解（ii）． 【详解】（1）男生先排有种，女生插空有种， 所以共有种不同排法． （2）（i）6名中选出3人共有种方法； （ii）6名中选出3名男生有种方法， 所以至少有1位女生入选，共有种不同的选择方法． 考点3 元素位置有限制的排列问题 13．（24-25高二上·江西吉安·期末）现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 【答案】(1)96； (2)60. 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； 【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数； 14．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 【答案】(1)720种； (2)20种 【分析】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，再与其他元素进行全排列即可； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列，剩余的3名按高低进行排列即可； 【详解】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，与另外4名学生构成5个元素进行自由排列，共有种排法； 捆绑的3个学生内部可自由排列，有种方法； 共有种； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列在左边， 剩余的3名按高低进行排列在右边，共有种. 15．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】(1)300 (2)240 (3)2160 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 16．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）有0，1，2，3，4，5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数? 【答案】(1)156 (2)21 (3)270 【分析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：0、2、4分别在个位的情况，结合分类加法计数原理即可求解； （2）符合要求的四位数可分为两类：十位和个位分别为2和5与十位和个位分别为5和0的情况，结合分类加法计数原理即可求解； （3）有三类：第一类是千位是2,3,4,5中任意1个；第二类是千位是1且百位是4,5中任意1个；第三类是千位是1且百位是3，结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时，有种方法； 第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5,中选1个（有个）， 十位和百位从余下的数字中选（有个），共有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，共有个； 由分类加法计数原理，知四位偶数共有个. （2）符合要求的四位数可分为两类： 第一类：十位和个位分别为2和5时，需要从余下的非0数字中选1个放在千位， 剩下的3个数字选1个放在百位，共有个； 第二类：十位和个位分别为5和0时，共有个； 由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个. （3）符合要求的四位数可分为三类： 第一类：千位是2,3,4,5中任意1个，余下的三位任意排，有个； 第二类：千位是1，且百位是4,5中任意1个，余下的两位任意排，有个； 第三类：千位是1，且百位是3，十位是4,5中任意1个，个位任意排，有个； 由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个. 17．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 18．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 19．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】(1)288； (2)144； (3)144. 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 20．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 考点4 分组分配问题 21．（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)15种 (2)30种 (3)90种 (4)540种 【分析】（1）部分平均分组，结合分步乘法原理求解即可； （2）由（1）对乙丙全排列即可求解； （3）法一：由（1）分成3组，再全排列即可；法二：同法一； （4）先将6本书从平均分，不平均分，分成3组，再全排列即可求解； 【详解】（1）根据分步乘法计数原理可得，分成三份有种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为，若第一步取，第二步取， 第三步取，该分法记为，则中还包括（）这1种分法， 而这种分法与是同一种分法，故共有种分法． （2）这是“部分平均定向分配”问题．先分组，再分配，与顺序有关． 首先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 然后分给三个人（甲定向）共有种分法． （3）方法一：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题， 共有种分法，然后分给三个人（不定向），共有种分法． 方法二：有种分法． （4）可以分为三类：①将6分为“2，2，2”，有种分法； ②将6分为“1，2，3”，有种分法； ③将6分为“1，1，4”，有种分法． 所以共有种分法． 22．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）五个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.回答下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）: (1)可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种? (2)四个盒都不空的放法有多少种? (3)恰有一个空盒的放法有多少种? 【答案】(1)1024 (2)240 (3)600 【分析】利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理结合排列组合公式即可计算， 【详解】（1）由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：种． （2）因为有5个球，4个盒子，所以四个盒都不空，必然有且只有一个盒子放2个球， 所以放法共有种. （3）因为恰有一个空盒，所以取出一个盒子有种取法， 5个球放入三个盒子可分和两类方法， 所以共有种. 23．（22-23高二上·浙江宁波·期中）（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【答案】（1）10；（2）65；（3）1560. 【分析】（1）应用隔板法，在6个小球队列的5个空隙中插入3块隔板，即可得结果； （2）将6个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果； （3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果. 【详解】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求， 所以不同的放法种数为． 24．（2024高三·全国·专题练习）现有20个不同颜色的玻璃球，按照以下要求分配，共有多少种分配方法？ (1)均匀地分为2组；均匀地分为4组. (2)分为3组，其中两个组各6个球，另外两个组各4个球. (3)从这20个玻璃球中选取19个玻璃球，放进3个不同的纸盒中，每个纸盒中至少放6颗球. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据题意，利用排列数与组合数的概念与计算公式，即可求解. 【详解】（1）在抽取过程中，人为考虑了排列问题，例如，先抽取10个玻璃球，剩10个玻璃球， 和先抽取剩的10个玻璃球是同一种情况，切勿计算两次. 平均分组不用管组与组之间的顺序，先从20个不同颜色的玻璃球中抽取10个玻璃球作为一组， 剩下的10个玻璃球作为一组，然后再除以重复的倍数，重复的倍数与分组的数量相关， 具体次数是组数的一个全排列，即. 同理，均匀地分为4组的分配方法有种. （2）先从20个不同颜色的玻璃球中抽取6个玻璃球，然后从14个不同颜色的玻璃球中抽取6个玻璃球， 再从8个不同颜色的玻璃球中抽取4个玻璃球，剩下的4个不同颜色的玻璃球为一组， 这时前面两个分组的数量相同，后面两个分组的数量也相同，所以存在排列问题， 只需除以两次2的全排列，即. （3）首先把不同的对象分成相应的组，然后把分成的组进行排列，将19个球分为6、6、7组进行分配， 即. 25．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 26．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】(1)70种 (2)150种 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【详解】（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． （2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 27．（23-24高二下·广东清远·期中）2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． (1)求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； (2)为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解； （2）利用古典概型的概率公式，结合排列组合以及分组分配的求解即可得解． 【详解】（1）由题意可知，甲队和乙队共有种不同的安排方法， 甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站，共有种， 所以所求概率为； （2）将四名工作人员随机分派到，，三个站点进行抽查，共有种不同的安排方法， 三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员，共有种不同的安排方法， 所以所求概率为． 28．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)68； (2)2520. 【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可. 【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有16+36+16=68种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 考点5 涂色问题 29．（20-21高二下·江苏徐州·期中）如图，从左到右共有5个空格. （1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数； （2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案； （3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？ 【答案】（1）36个；（2）48种；（3）16800种. 【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可； （2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可； （3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解 【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放， 共有个五位奇数. （2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案， 共有种涂色方案. （3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发， 在5个位置全排列有种方法； 7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发， 在5个位置全排列有种方法； 所以共有种方法. 30．（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．    【答案】260 【分析】因A，B，C，D 4块图形中，块与块不共边，B块与D块不共边，故可就块与块将其分成A，C同色与不同色两类情况考虑，在每一类中，考虑根据分步乘法计数原理按顺序涂色,最后利用分类加法计数原理即得. 【详解】本题的解法可按照顺序涂色，因块与块不共边，故可分成A，C同色与不同色两类情况. 第一类，A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法， 由分步乘法计数原理知，共有种涂法； 第二类，A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D也有3种涂色方法（因B块与D块不共边）， 由分步乘法计数原理知，共有种涂法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的涂色方案． 31．（16-17高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）根据题意，假设为，，同色，再分2种情况讨论：①若，，同时染红色与，②若，，同时染的不是红色，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案； （2）根据题意，分3种情况讨论：①、若一共使用了四种颜色，②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，要求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色， 而同色的相邻三角形共有4种，不妨假设为，同色， ①若，同时染红色，则另外两个三角形共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若，同时染的不是红色，则它们的染色有4种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有，因此这种情况共有种染色方法． 综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为种； （2）解：根据题意，因为不用红色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有种染色方法； ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有种染色方法． 综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为种． 32．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【详解】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 33．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 【答案】(1)96 (2)48 (3)180 【分析】（1）先将排好，再排其他数字即可； （2）先涂第一个格子，再涂第二个格子，依次进行，求出每步的方法种数，即可得解； （3）法一：从5家企业中选一家，再从3位校长中选2位，再从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，进而可得出答案. 法二：先将五家企业分为3份，再将这3份分给3位校长即可. 【详解】（1）分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况， 第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况， 则五个格子共有种不同的涂法； （3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈， 第1步：从5家企业中选一家， 第2步：从3位校长中选2位， 第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长， 第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业， 因此有种． 法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份， 如，，， 含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得， 前面分三份会出现，因此有， 然后再分给3位校长， 因此总排法有种． 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 34．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【答案】(1)60 (2)240 【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 考点6 代数与几何的计数问题 35．（22-23高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 【答案】(1)个； (2)5789 【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第125个四位“幸福数”. 【详解】（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”， 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个. （2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个. 因为， 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789. 36．（23-24高二上·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案. （2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案. 【详解】（1）由，得， 所以，所以，所以， 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有. 37．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【答案】(1)120 (2)63 (3)518 【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【详解】（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则， 所以所求线段的条数为. （2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 （3）从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为. 38．（18-19高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知正方体. (1)各棱、各面对角线（如）、各体对角线（如）所在的直线中，共有多少对异面直线？ (2)若三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为多少？ （注：所有结果均用数值表示） 【答案】(1)174 (2)24 【分析】（1）一个正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线；通过正确分类讨论，可求出这28条直线中共面的共有多少对，进而即可得出答案． （2）将6个平面分成3组互相平行的平面，先找到一对平行平面内异面的两对，然后在剩下的四个平面内可分别找到一条与已知的两条异面，即可求解. 【详解】（1）正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线，从这28条直线中任取2条有种方法． 另一方面，这28条直线中任取2条共面的情况分为以下几种： ①从8个顶点中的每一个顶点出发的3条棱3条面对角线及1条体对角线共7条中任取2条共有种方法； ②从3组中的每4条平行的棱中任取2条共有种方法； ③从4条体对角线中任取2条共有种方法； ④3对平行的相对的平面中的面对角线中共有种方法． 综上可知：在一个正方体中，各棱、各面的对角线和体对角线中共有对异面直线． （2）把正方体的6个面分成三组互相平行的平面，即平面和，平面和平面,平面和平面, 在一组互相平行的平面内，(比如平面和平面，)任选两对异面直线，(如： 和共有2对，每一对与其他面对角线互相异面的有4条，(如与互相异面的有 ),所以共有 组，由于有三组互相平行的平面，所以“T型线”的组数为. 一、解答题 1．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 【答案】(1)120 (2)96 (3)48 【分析】（1）将5项活动进行全排列，即可求得答案； （2）先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案； （3）利用捆绑法，即可求得答案. 【详解】（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序， 共有种不同的安排方案； （2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行， 则共有种不同的安排方案； （3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动， 内部全排列，然后和其余活动全排列， 则共有种不同的安排方案. 2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）现有4名男生和3名女生. (1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； (3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)25 (3)1200 【分析】（1）采用插空法进行求解即可； （2）采用去杂法进行求解即可； （3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种. （2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有 共有邀请方法数为种. （3）有两类不同情形： ①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种； ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人， 其方法数为种. 所以共有种不同的安排方法. 3．（23-24高二下·河北·期中）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，2024年4月9日，由河北省群众文化学会主办的“‘双争’有我”盛世丹青大家绘在河北省群艺馆开展.若此次展览中打算安排国画､油画､水彩画､插画､漫画五件艺术作品的展出顺序. (1)共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (3)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将五件艺术品全排列即可； （2）首先从其余四件艺术品（除国画）中选一件排在第一个展出，再剩下的全排列即可； （3）相邻问题利用捆绑法. 【详解】（1）安排国画､油画､水彩画､插画､漫画五件艺术作品的展出顺序， 共有种不同的安排方案； （2）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术品中选一件排在第一个展出， 则共有种不同的安排方案； （3）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术品捆绑在一起， 看做一件作品与其余三件艺术品全排列，然后组内还需全排列， 故有种不同的安排方案. 4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)34； (2)1260. 【分析】（1）由题意，分成3种情况（有1、2、3名女性）讨论，求出对应的选法，进而相加即可； （2）由题意，结合分组分配问题即可求解. 【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论： 只有1名女性，共有种选法， 有2名女性，共有种选法， 有3名女性，共有种选法， 所以共有种选法， 即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法； （2）由题意，先选3名航天员，然后分为的两组，然后分配到实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式. 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）3月29日，“本草健康”展览在国家自然博物馆开展．“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元．已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元． (1)若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”，试问共有多少种不同的参观方案？ (2)若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，试问共有多少种不同的参观方案？ 【答案】(1)36 (2)216 【分析】（1）利用分步计数原理可求总的方法数； （2）利用分步计数原理可求总的方法数. 【详解】（1）第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案， 第二步按排乙的参观顺序有种不同的参观方案， 故共有种不同的参观方案. （2）第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案， 第二步按排乙的参观顺序有种不同的参观方案， 故共有种不同的参观方案. 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） (1)4人均来之不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女有多少种安排； (3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 【答案】(1)240 (2)465 (3)①144；②432 【分析】（1）在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，由分步计数原理计算可得答案； （2）先计算全部的排法，排除其中只有男生和女生的排法，用间接法分析可得答案； （3）①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案；②6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况，由间接法分析可得答案. 【详解】（1）根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法； （2）根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种, 则4人中有男有女有种， （3）根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有种排法. 7．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）“五一”劳动节前夕，某公司召开了劳模表彰大会，来自A，B，C三个车间的6位劳模坐在公司特意放置的前排6个座位上.其中A车间1人，B车间2人，C车间3人. (1)若每个车间的劳模派一代表介绍经验，有多少种不同的选法； (2)若同车间的人坐在一起，有多少种不同的坐法； (3)若C车间的人不坐在一起，有多少种不同的坐法； (4)劳模们上台领奖后仍回到前排6个座位就坐，发现只有2人坐在原位上，问有多少种不同的坐法. 【答案】(1)6 (2)72 (3)144 (4)135 【分析】（1）分成三步，每步从各车间选1人，由分步乘法计数原理易得； （2）利用“相邻问题捆绑法”即可列式求得； （3）利用“不相邻问题插空法” 即可列式求得； （4）分步完成，第一步确定坐在原位的两人；第二步考虑运用间接法，即从4人全排的方法数中，去掉另外4人中有人坐在自己座位上的所有情况，即得方法数，最后由乘法原理即可求得. 【详解】（1）从车间1人选1人有1种方法，从车间2人中选1人有种方法，从车间3人中选1人有选法， 由分步乘法计数原理可得，每个车间的劳模派一代表介绍经验的选法有种选法； （2）依题意，把车间2人看成整体坐在一起，有种方法，把车间3人看成整体坐在一起，有种方法，最后把三个“整体在“三个座位”上全排， 由分步乘法计数原理可得，同车间的人坐在一起的选法有种； （3）用“插空法”，先把车间的3人排好，再把车间的3人在排好的3人留下的4个空位上进行插空，共有选法种； （4）第一步，从6个人中选定2人坐在自己的座位有种方法， 第二步用间接法：余下的4人中不考虑座位情况，有种， 其中若只有1人坐在自己的座位，有种方法， 若只有2人坐在自己的座位，有种方法， 若有3人坐在自己的座位，有且只有1种方法， 故余下的4个人都不坐在自己的座位的方法有种， 由分步乘法计数原理，只有2人坐在原位上的方法有种. 8．（23-24高二下·山东东营·开学考试）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生； (3)至少有1名主任参加； (4)既有主任，又有外科医生． 【答案】(1)120 (2)246 (3)196 (4)191 【分析】（1）根据分步乘法计数原理进行计算即可； （2）分内科医生去人四类情况进行考虑，相加即可； （3）分两类：选1名主任和选2名主任进行考虑，相加即可； （4）分选外科主任和不选外科主任两类情况进行考虑，相加即可. 【详解】（1）先选3名内科医生共有种选法， 再选2名外科医生共有种选法， 故选派方法共有种. （2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况： 内科医生去人，易得选派方法为： . （3）分两类： 一是选1名主任有种方法； 二是选2名主任有种方法， 故至少有1名主任参加的选派方法共种. （4）若选外科主任，则其余可任意选， 共有种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任， 且剩余四人不能全选内科医生，有种选法， 故既有主任，又有外科医生的选派种数为. 9．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 10．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】(1)540种； (2)65种. 【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案． （2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案； 若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案； 若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案； 若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案； 所以总共有种不同的参赛方案． 11．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因是六个人随便站，即相当于六个人在六个空位上全排； （2）因两只妖怪不站两头，运用特优法分步完成，第一步在中间四个位置上排好两个妖怪，第二步在剩余四个位置排其他四个人，利用分步乘法计数原理即得； （3）因师傅和悟空要站一起，八戒要站在两个妖怪中间，沙僧不管，所以应先按照1，2，3分成三组，悟空和师傅在分配好的两个位置上有个全排，八戒在两只妖怪之间，两只妖怪有个全排，最后位置则是沙僧的. 【详解】（1）六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有种． （2）因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好， 故有种排法，剩下四个人四个位置，故有种排法，故共有种排法． （3）先将六人分成三组，且这三组人数分别为1、2、3，并排列，故有种排法， 师傅和悟空站在一起共有种排法，八戒站在两只妖怪中间共有种排法， 故共有种排法． 12．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5.    (1)若要求所有的偶数均与数字5相邻（横排相邻或者竖排相邻），共有多少种不同的填写方案？ (2)若要求每一横排的数字从左到右依次增大，共有多少种不同的填写方案？ (3)若要求第二横排､第二竖排的3个数字之和均为15，且数字1不在第一横排，共有多少种不同的填写方案？ 【答案】(1)576种； (2)320种； (3)720种 【分析】（1）先安排4个偶数，再安排4个奇数，按照分步计数原理，即可求解； （2）先选数字排第二行，再排第一行，第三行，结合组合数公式，即可求解； （3）先排有5的第二横排和第二竖排，再排其他. 【详解】（1）要求4个偶数均与数字5相邻，则4个偶数只能填写在5的上､下､左､右4个网格，再排4个奇数，共有种不同的填写方案. （2）先从中选1个数字放在5的左边，再从中选1个数字放在5的右边，然后从剩下的6个数字中选3个数字放在第一排，最后剩下3个数字放在第三排，共有种不同的填写方案. （3）先完成有5的第二横排和第二竖排，第二横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10，则要从1和9，2和8，3和7，4和6这4个组合中选出两个组合填写. 第一类，当第二横排的其他2个数字为1和9时，共有种不同的填写方案. 第二类，当第二竖排的其他2个数字为1和9时，且数字1不在第一横排，共有种不同的填写方案. 第三类，当第二横排且第二竖排的其他2个数字均不是1和9时，且数字1不在第一横排，共有种不同的填写方案. 故共有种不同的填写方案. 13．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）（1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 【答案】（1）448；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果； （2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得. 【详解】（1）原式 ； （2）由化简得 展开得， 因，故可化简得：， 解得或 (舍)，故方程的正整数解为. 14．（23-24高二下·四川广元·期中）某高校举办运动会，数理学院有10名志愿者，其中男生6名，女生4名，男、女志愿者中恰好各有1人可以兼任裁判，从这10名志愿者中选择4名参加志愿服务工作． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选中志愿者中至少有一名裁判，则有多少种不同的选法? 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）利用组合，从10名运动员中选4名求解； （2）方法1：直接法，分选中1名裁判和选中2名裁判求解；方法2：间接法，先随机选择4人，再减去没有选裁判的求解. 【详解】（1）从10名运动员中选4名参赛共有种选法． （2）方法1：由题，10名运动员中男、女裁判各1名，共2名裁判． 若仅选中1名裁判，则有种选派方法； 若选中2名裁判，则有种选派方法； ∴志愿者中至少有一名裁判有种方法． 方法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女裁判各1名． 选派4人， 若没有裁判，则有种选派方法， 若随机选择，则有种选派方法， ∴志愿者中至少有一名裁判有种方法． 15．（23-24高二下·江苏盐城·期中）（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） （2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用排除法，6人参加或不参加会议的所有情形减去都不参加会议的1种情形即可得； （2）第一步选一人去甲校，第二步在剩下的5人中选2人去乙校，最后还有3人去丙校，按分步乘法原理计数可得． 【详解】（1）每人有参加或不参加会议两种状态，6人有种情形，其中都不参加会议的情形只有1种，因此所求方法数为； （2）按分步乘法原理计数，第一步选一人去甲校，第二步在剩下的5人中选2人去乙校，最后还有3人去丙校，总的方法数为． 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天． (1)若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； (2)金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； (3)金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解； （2）根据题意，结合排列问题捆绑法求解； （3）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解． 【详解】（1）解：若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有种安排方案. （2）解：金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容， 若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩， 共有种安排方案. （3）解：金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地， 共有种安排方案． 17．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【答案】(1)30240； (2)14400； (3)2880； (4)21600. 【分析】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【详解】（1）中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. （2）排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. （3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. （4）求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 18．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)144 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 19．（23-24高二下·新疆·期中）3月23日，“新疆第一春，花开吐鲁番”2024吐鲁番高昌杏花节在亚尔镇上湖村开幕．来自全国各地的游客走进杏花园，近距离感受新疆“第一春”的魅力．本届杏花节系列活动集赏花、民俗风情、文化旅游为一体，共设立了9个赏花点，特别是“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点，成为游客游玩的打卡点．甲游客计划从9个赏花点中选出5个赏花点依次前往打卡，且“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点是甲的必选打卡点． (1)试问甲共有多少种不同的游玩方案? (2)若甲游玩的前3个打卡点中含有“花仙子”和山海经动漫人物这两个赏花点，试问共有多少种不同的游玩方案? 【答案】(1)4200 (2)1260 【分析】（1）应用特殊元素结合组合和全排列计算即可； （2）应用分步计数原理结合排列计算. 【详解】（1）第一步，从除“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点外的7个赏花点中选出3个赏花点，共有种不同的游玩方案． 第二步，选出的5个赏花点排列，共有种不同的游玩方案． 故甲共有种不同的游玩方案． （2）第一步，将“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点排列，共有种不同的游玩方案． 第二步，从除“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点外的7个赏花点中选择3个赏花点排列，共有种不同的游玩方案． 故共有种不同的游玩方案． 20．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【答案】(1)12 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列出方程，即可求解； （2）设共有烈性药r味，1味烈性药味非烈性药称为三药组”，考虑问题的反面，从而列出方程，结合该方程的解的情况，即可证明结论. 【详解】（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它， 22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”， 所以，所以． （2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药， 不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”， 共有个“三药组”， 另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药， 每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药， 它们中每一幅都可形成或个“三药组”， 故22副药方一共可形成个“三药组”， 故有，得， （i）将代入, 即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）两边考虑都除以5，右侧余2， 对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立， 即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立， 所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于理解透题意，特别是第二问的证明，解答时采用反证思想，从反面说明，推出方程无解，从而证明结论. 从而证明结论. 21．（23-24高二下·山西·期中）定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用（）种颜色给某（）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作. (1)当，时，试求的值； (2)当，时，试求的值； (3)结合前两问的解题思路，对任意的正整数（）（），请写出的运算公式，并证明. 【答案】(1)1560 (2)6120 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据排列组合的染色问题，根据分步计算原理，即可求解； （2）根据排列组合的染色问题，根据分步计算原理，即可求解； （3）根据（1），（2）类比递推的运算公式，证分两类，都需证明. 【详解】（1）题目等同于“用六种不同的颜色给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”，    设顶点为，底面4点为，，，. 首先对顶点进行涂色，共有6种选择； 第二步，对点进行涂色，共有5种涂色方法； 第三步，需要对是否同色进行分类： 若同色，则共有种情况； 若不同色，则共有种情况； 因此，种情况. （2）题目等同于“用六种不同的颜色给一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”， 设顶点为，底面五点为，，，，. 首先对顶点进行涂色，共有6种选择； 此时五点共有五种不同颜色可供选择. 故问题转化为如图，，，，五个区域，    有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题. 若按照，，，，的顺序分步涂色，暂不考虑同色的情况， 则共有种情况；其中包含了同色. 当同色时，相当于（1）中四个点的涂色问题，即有1560种； 因此，. （3）题目等同于“用种不同的颜色给一个棱锥的每个顶点染上一种颜色， 并使同一条棱的两个端点异色”， 设顶点为，底面五点为，，，， 首先对顶点进行染色，共有种选择； 设，，，，的染色方法共有种， 下面考虑的递推关系： 若从开始染色，则有种染法， 继而，，，分别均有种染法，最后对染色， 如果仅要求与异色（不要求与异色），则仍有种染法. 于是，总共有种染法. 上述种染法可分为以下两类： 一类是与异色，这是符合要求的，有种染法； 另一类是与同色，这不符合要求， 这时可将与合并成一点，得出种符合题设的染法. 于是（）， 即. 故 得 故. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$