专题03 数列的综合训练-2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练（北师大版2019）

专题03 2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练 （北师大2019版）—数列的综合训练 一、单选题 1．若数列满足，则（    ） A．8 B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（   ） A．10 B．11 C．12 D．12或13 3．有穷数列，，，，中的每一项都是，0，1这三个数中的某一个数，若且，则有穷数列，，，，中值为0的项数是（    ） A．1000 B．1015 C．1030 D．1045 4．张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A．72 B．108 C．120 D．144 6．若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 8．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、多选题 9．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 10．已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（    ） A．数列是递减数列； B．数列是递减数列； C．数列的最大项是； D．数列的最小的正数是. 11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，则 B．若，则 C．若是等差数列，，若，则 D．若，，则 三、填空题 12．已知数列满足为的前项和，则 . 13．如图所示的三角形解释二项展开式的二项式系数规律，现把三角形中的数从上到下，由左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，，…，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 ．    14．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 四、解答题 15．已知数列的前n项和为. (1)求的值； (2)求的通项公式； (3)设，是数列的前n项和，求. 16．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． 17．已知数列的前项和为，满足，且，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 19．已知数列的前项和为，，. (1)计算：，，，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法来证明（1）中猜想； (3)记，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题03 2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练（北师大2019版）—数列的综合训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B D C BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 因为， 所以， 所以是周期为4的数列，故.故选：D 2．C ，，当时，，两式相减得， 而，解得，因此数列是等比数列，， 数列是递增正项数列，， 因此，所以当取最小值时，.故选：C 3．B 因为， 展开可得：， 因为， 所以， 因为数列，，，，中的每一项都是，0，1这三个数中的某一个数， 所以有穷数列，，，，中值为和1的共有1000项， 值为0的项数等于.故选：B. 4．A 设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则.故选：A 5．D 在等差数列中，，解得， 所以．故选：D. 6．B 数列是等比数列，则， 则.故选：B 7．D 因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则.故选：D. 8．C 设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以.故选：C. 9．BCD 依题意，数列中，，，， 于是得， 满足上式， 数列中，，，， 于是得， 满足上式， 因此， 对于A，，则，A不正确； 对于B，∵，则，又，则，B正确； 对于C，， 当n为偶数时： 设，则 ， 当n为奇数时： 设，则 ， 综上，，C正确； 对于D，，，取， 则， ∴，，总存在，，使得成立，D正确， 故选：BCD. 10．ACD 等差数列的前项和能取到最大值， 数列是递减数列，且，故A正确； ， ，数列先增后减，故B错误； 由，，得，， 数列的最大项是，故C正确； 由，，得数列的最小的正数是，故D正确． 故选：ACD． 11．BCD对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即， 解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D， 因为， 所以， 所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 12．104 ，令，得， 又，所以当时，，当时，. 当时，； 当时， 综上所述， 所以. 故答案为：104. 13． 由已知可得每行的序数与该行的项数相等，所以第行最后一项在数列中的项数为， 令，解得， 且第行最后一项在数列中的项数为， 即位于杨辉三角数阵的第行中的第位， 即， 同理，令，解得， 且第行最后一项在数列中的项数为， 即位于杨辉三角数阵的第行中的第位， 又由二项式系数可知杨辉三角数阵中各行和为， 所以， 故答案为：，. 14．①②③ 因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 15．（1）因为数列的前n项和为， 所以； （2）当时，， 又适合上式，所以； （3）由（2）知：， 所以， . 16．（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，， 所以． 17．（1）因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 又满足关系，故． 数列，当时，， 当时，， 时，满足，所以，． （2）由题可知， ①， ②， ①②得． 则③， ④ ③④得 ，所以． 18．（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 其前项和为； 令，则， 其前项和为， 所以． 19．（1）因为，， 所以，，， 由此猜想. （2）当时，显然成立， 假设当时猜想成立，即， 所以，所以当猜想也成立， 所以对一切的自然数，成立. （3）由（1）可知， 所以， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$