大题突破02 导数在不等式中的应用6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破02 导数在不等式中的应用 6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，导数是研究函数性质和解决不等式问题的强大工具。导数在不等式中的应用，将函数的变化率与不等式的求解、证明等问题紧密联系起来。不等式恒成立、能成立问题，涉及到函数的最值与取值范围，体现了函数性质在不等式中的具体应用。不等式证明问题，通过导数研究函数的单调性、极值和最值，为不等式的证明提供了有力的方法。双变量不等式、极值点偏移问题以及新定义中的不等式问题，更是综合考查了学生对导数知识的理解和运用能力，以及对数学思想方法的掌握程度。这些题型在高考中频繁出现，具有一定的难度和区分度，对于学生数学思维的培养和提升具有重要意义。 【处理角度】 1.函数与导数的关联：把不等式问题转化为函数问题，利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质。通过分析函数在不同区间的变化趋势，来判断不等式的成立情况。例如，对于不等式恒成立问题，可转化为函数的最小值大于某个值或最大值小于某个值；对于不等式证明问题，构造合适的函数，通过研究函数的单调性证明其函数值满足相应的不等式关系。 2.分类讨论思想：当函数中含有参数时，往往需要对参数进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分析函数的导数情况，进而确定函数的性质。不同的参数取值可能导致函数的单调性、极值点等发生变化，分类讨论可以更全面、准确地解决问题，避免遗漏各种可能情况。 3.构造函数法：根据不等式的结构特点，巧妙构造函数。构造的函数要便于利用导数进行研究，通过对构造函数的导数分析，得出函数的性质，从而解决原不等式问题。比如在证明不等式时，构造一个新函数，将不等式的证明转化为研究该函数的单调性和最值。 4.等价转化思想：将复杂的不等式问题转化为等价的、更易于处理的形式。例如，将双变量不等式问题通过代换、变形等方法转化为单变量问题；将极值点偏移问题转化为函数的单调性和对称性问题。通过等价转化，能够将陌生的问题转化为熟悉的问题，降低解题难度。 5.数形结合思想：借助函数的图象，直观地理解不等式问题。函数的图象可以展示函数的单调性、极值、零点等信息，通过观察图象与直线、曲线之间的位置关系，帮助我们分析不等式的解的情况、证明不等式等。在处理不等式恒成立、能成立问题时，结合函数图象可以更直观地确定参数的取值范围。 【解法策略】 1.不等式恒成立问题：通常将不等式变形，使一边为含参数的式子，另一边为一个函数。然后利用导数求出该函数的最值，根据恒成立条件确定参数的取值范围。若不等式是大于等于型，那么含参数的式子要不大于函数的最小值；若是小于等于型，则含参数的式子要不小于函数的最大值。对于复杂的函数，可能需要通过多次求导来确定其单调性和最值。 2.不等式能成立问题：把不等式转化为函数的值域问题。通过求导确定函数的单调性和值域，找到函数能取到的值的范围，从而确定参数的取值范围。若不等式在某个区间上有解，那么参数的取值范围要使得不等式对应的函数在该区间上能取到满足不等式的值。 3.不等式的证明：构造合适的函数是关键。根据不等式的特点，选择合适的函数进行构造。求所构造函数的导数，判断其单调性。如果函数单调递增，且在某个区间上函数值大于要证明的不等式右边的值，或者函数单调递减，且在某个区间上函数值小于要证明的不等式右边的值，那么就可以证明原不等式成立。对于一些复杂的不等式，可能需要多次构造函数，或者结合放缩法等其他方法进行证明。 4.双变量不等式问题：通过对已知条件的分析，利用变量之间的关系进行代换，将双变量转化为单变量。例如，根据两个变量的比值或差值关系，引入一个新的变量。然后构造关于这个新变量的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明双变量不等式。在处理过程中，要注意变量的取值范围以及函数定义域的确定。 5.极值点偏移问题：先根据函数的极值点和单调性，确定两个零点或极值点的大致范围。然后构造一个关于极值点对称的函数，通过求导判断这个函数的单调性。利用函数的单调性证明两个变量之间的不等式关系，通常是将其中一个变量与另一个变量关于极值点对称的点进行比较，再结合函数的单调性得出结论。 6.新定义中的不等式问题：仔细理解新定义的概念和规则，将新定义中的不等式问题转化为已学的数学知识。根据新定义的条件，构造相应的函数或利用已有的函数性质进行分析。在处理过程中，要严格按照新定义的要求进行推理和计算，不能脱离新定义的框架。 考点1 不等式恒成立问题 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 2．（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高二下·山东·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若恒成立，求的取值范围. 6．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 8．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有恒成立，求的最大整数值； (3)对于任意的，证明：． 考点2 不等式能成立问题 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 10．（23-24高二下·河南·阶段练习）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 12．（23-24高二下·浙江·期中）（1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 13．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有个零点，求的范围 (3)若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 15．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 16．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 考点3 不等式的证明 17．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若函数在处有极小值，求的值； (2)当时，求证. 18．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 19．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数，. (1)求证：有且仅有三零点. (2)设为最小的零点，证明：当，. 20．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 21．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，证明：． 22．（24-25高三上·四川·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 23．（2023·四川成都·一模）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 24．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0. (1)求实数的取值范围； (2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 25．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 考点4 双变量不等式问题 26．（23-24高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根， （i）求实数的取值范围; （ii）求证:． 27．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 28．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 29．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 30．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 31．（23-24高二下·江苏·开学考试）已知函数. (1)若直线与函数的图象相切，求实数的值； (2)若函数有两个极值点和，且，证明：.（为自然对数的底数） 32．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)令，若存在，且时，，证明：． 考点5 极值点偏移问题 33．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 34．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 35．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 36．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 37．（21-22高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 考点6 新定义中的不等式问题 38．（23-24高二下·山东济宁·期中）帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，.（注：为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值； (2)比较与的大小； (3)证明：. 39．（23-24高二下·安徽合肥·期中）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)证明：当时，. 40．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 41．（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 42．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 43．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， (1)求实数的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中， 一、解答题 1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 2．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求实数的值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在点处的切线经过原点. (1)求t的值； (2)若存在，使得，求证：； (3)证明： 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 7．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 8．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数，. (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：； (3)求证：对任意，都有. 9．（24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数． (1)若，求的单调区间和最小值； (2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 10．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 11．（24-25高三上·河南三门峡·期中）若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质. (1)函数具有性质，求. (2)设函数， （ⅰ）判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由； （ⅱ）证明：. 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知 (1)设，求的极值． (2)若在上恒成立，求的取值范围． (3)若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破02 导数在不等式中的应用 6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，导数是研究函数性质和解决不等式问题的强大工具。导数在不等式中的应用，将函数的变化率与不等式的求解、证明等问题紧密联系起来。不等式恒成立、能成立问题，涉及到函数的最值与取值范围，体现了函数性质在不等式中的具体应用。不等式证明问题，通过导数研究函数的单调性、极值和最值，为不等式的证明提供了有力的方法。双变量不等式、极值点偏移问题以及新定义中的不等式问题，更是综合考查了学生对导数知识的理解和运用能力，以及对数学思想方法的掌握程度。这些题型在高考中频繁出现，具有一定的难度和区分度，对于学生数学思维的培养和提升具有重要意义。 【处理角度】 1.函数与导数的关联：把不等式问题转化为函数问题，利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质。通过分析函数在不同区间的变化趋势，来判断不等式的成立情况。例如，对于不等式恒成立问题，可转化为函数的最小值大于某个值或最大值小于某个值；对于不等式证明问题，构造合适的函数，通过研究函数的单调性证明其函数值满足相应的不等式关系。 2.分类讨论思想：当函数中含有参数时，往往需要对参数进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分析函数的导数情况，进而确定函数的性质。不同的参数取值可能导致函数的单调性、极值点等发生变化，分类讨论可以更全面、准确地解决问题，避免遗漏各种可能情况。 3.构造函数法：根据不等式的结构特点，巧妙构造函数。构造的函数要便于利用导数进行研究，通过对构造函数的导数分析，得出函数的性质，从而解决原不等式问题。比如在证明不等式时，构造一个新函数，将不等式的证明转化为研究该函数的单调性和最值。 4.等价转化思想：将复杂的不等式问题转化为等价的、更易于处理的形式。例如，将双变量不等式问题通过代换、变形等方法转化为单变量问题；将极值点偏移问题转化为函数的单调性和对称性问题。通过等价转化，能够将陌生的问题转化为熟悉的问题，降低解题难度。 5.数形结合思想：借助函数的图象，直观地理解不等式问题。函数的图象可以展示函数的单调性、极值、零点等信息，通过观察图象与直线、曲线之间的位置关系，帮助我们分析不等式的解的情况、证明不等式等。在处理不等式恒成立、能成立问题时，结合函数图象可以更直观地确定参数的取值范围。 【解法策略】 1.不等式恒成立问题：通常将不等式变形，使一边为含参数的式子，另一边为一个函数。然后利用导数求出该函数的最值，根据恒成立条件确定参数的取值范围。若不等式是大于等于型，那么含参数的式子要不大于函数的最小值；若是小于等于型，则含参数的式子要不小于函数的最大值。对于复杂的函数，可能需要通过多次求导来确定其单调性和最值。 2.不等式能成立问题：把不等式转化为函数的值域问题。通过求导确定函数的单调性和值域，找到函数能取到的值的范围，从而确定参数的取值范围。若不等式在某个区间上有解，那么参数的取值范围要使得不等式对应的函数在该区间上能取到满足不等式的值。 3.不等式的证明：构造合适的函数是关键。根据不等式的特点，选择合适的函数进行构造。求所构造函数的导数，判断其单调性。如果函数单调递增，且在某个区间上函数值大于要证明的不等式右边的值，或者函数单调递减，且在某个区间上函数值小于要证明的不等式右边的值，那么就可以证明原不等式成立。对于一些复杂的不等式，可能需要多次构造函数，或者结合放缩法等其他方法进行证明。 4.双变量不等式问题：通过对已知条件的分析，利用变量之间的关系进行代换，将双变量转化为单变量。例如，根据两个变量的比值或差值关系，引入一个新的变量。然后构造关于这个新变量的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明双变量不等式。在处理过程中，要注意变量的取值范围以及函数定义域的确定。 5.极值点偏移问题：先根据函数的极值点和单调性，确定两个零点或极值点的大致范围。然后构造一个关于极值点对称的函数，通过求导判断这个函数的单调性。利用函数的单调性证明两个变量之间的不等式关系，通常是将其中一个变量与另一个变量关于极值点对称的点进行比较，再结合函数的单调性得出结论。 6.新定义中的不等式问题：仔细理解新定义的概念和规则，将新定义中的不等式问题转化为已学的数学知识。根据新定义的条件，构造相应的函数或利用已有的函数性质进行分析。在处理过程中，要严格按照新定义的要求进行推理和计算，不能脱离新定义的框架。 考点1 不等式恒成立问题 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间； （2）依题意恒成立，然后分离参数，利用二次函数的性质求最值，可得到实数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为，则 ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意，以为切点的切线的斜率满足， 所以对恒成立. 又当时，，所以的最小值为. 2．（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解函数在某点的切线方程； （2）分类讨论以及结合导数和函数的增减性，分别从，，三方面分类讨论； 【详解】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率， 又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）因为在区间上恒成立，即， 对，即恒成立， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减，符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减，，符合题意， 若即时，，对称轴， 又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立， 综上，实数的取值范围为. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后检验即可； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，其中， 因为函数在处取得极值，则，解得， 经检验，合乎题意. 因此，. （2）由（1）可知，，其中， 则， 由，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为. （3）， 当时，由，可得， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得， 即，即， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，，由，可得， 则，所以，， 且当时，，即， 当时，，即， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，则， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 4．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数法求含参函数的单调性，进而得出即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立，设，由，得，再分和三种情况讨论，利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以在上单调递增，不可能存在两个零点，不符合题意； 当时，令，则，解得， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 因为存在两个零点， 所以，解得， 此时，又，当时，， 所以有两个零点，符合题意， 所以的取值范围为. （2）当时，恒成立，即恒成立， 设， 由题意知当时，恒成立，则， 即，解得， 若，则当且时，，所以，不符合题意， 若，则恒成立，符合题意， 下面证明：当时，对任意恒成立（*）， 要证，即证， 因为，所以， 只需证明即可， ， 令，则 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，，在单调递减； 当时，，，在单调递增， 所以，即命题（*）得证， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点睛：第一问直接利用导数法求含参函数的单调性，得出即可；第二问：根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立， 设，由，得，再分和三种情况讨论即可求解. 5．（23-24高二下·山东·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）求导，由点斜式方程即可求解， （2）方法一：对求导，可得单调性，进而得最小值求解， 方法二：分别利用导数求证和，即可由不等式的性质求解， （3）分离参数将问题转化为，令，即可利用导数求解单调性得最值求解，或者由分离讨论得时，，进而构造，，由导数确定单调性求解. 【详解】（1）由得， 故，， 所以切线方程为，即． （2）方法1：，定义域为，， 由于函数均为单调递增函数，所以在上单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取最小值． 因此； 方法2：，定义域为， 令，， 当时，，在上单调递增，， 所以当时，． 令，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减． 所以，所以． 因此． （3）方法1：因为 恒成立，所以 令 ，则 ， 因为 在 上单调递减，且 ， 所以当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减． 所以 ． 因此 ． 方法2：定义域为，， 当时，，单调递减，，，此时不成立； 当时，均在上单调递增，所以在上单调递增，，；，， 所以存在，使得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增． 所以 因为函数在上单调递减， 所以由得， 因为，所以令， 则，所以在上单调递减， 所以，即． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 6．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，由题意得时，，根据单调性得即可求解； （2）运用分离参数法可得，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ． 因为在上单调递增，所以当时，． 因为是增函数，所以，解得． 故a的取值范围为． （2），即． 令，定义域为， ． 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 因为恒成立，所以． 故a的取值范围为． 7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求； （2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解； （3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 8．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有恒成立，求的最大整数值； (3)对于任意的，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间； (2)的最大整数值为2； (3)证明见解析. 【分析】（1）先求，接着令并求，根据的正负情况可得导函数的值的情况，从而可求得函数的单调区间. （2）先将题设等价转换为对任意，恒成立，进而将问题等价转化成求函数在区间上的最小值，利用导数工具求出该最小值即可得解. （3）由（1）在上单调递增可得，进而可得，从而结合累加法即可求证. 【详解】（1）当时，， 所以函数定义域为，， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又即， 所以即在上恒成立，当且仅当时，， 所以在上单调递增，即的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）因为对任意，都有恒成立， 所以对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以， 所以， 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得即， 所以当时，即，当时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，令， 则在上恒成立，所以函数在上单调递增， 又， 所以的最大整数值为3，即的最大整数值为2. （3）证明：由（1）知在上单调递增， 则函数，所以， 故， 所以， 累加得， 所以. 考点2 不等式能成立问题 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）根据题意将问题转化为在上有解，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为 所以， 所以， 故实数的取值范围是. 10．（23-24高二下·河南·阶段练习）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即可； （2）分离参数后，转化为在上有解，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 （2）不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数求出的值，由处取得极大值，求出，的值，即可确定的解析式； （2）判断在上的单调性，求出函数的最值，依题意，解得即可． 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 12．（23-24高二下·浙江·期中）（1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值，最小值1；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）求导，再分和求解； （3）解法一：把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；解法二：令，求导，对进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得的范围，结合有唯一整数解，进一步求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得的变化情况如下表所示. 1 + 0 - 单调递增 单调递减 1 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，而， 所以，所以为的最小值 （2）且， 当时，在单调递减； 当单调递减，单调递增 （3）解法一：因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值， ， 所以时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以的取值范围为； 解法二：令，由题意可知有唯一整数解， ，当时，，所以在单调递增， 而，所以，与题意矛盾； 当时，由可得或（舍去）， 当时，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以时，取最大值为， 由题意可知，解得， 因为，所以当，即时， 由有唯一整数解知，解得， 若，由在单调递增知，矛盾， 所以，由在单调递减可知， 所以符合题意； 当时，， 由在单调递减，知，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：（3）中的解法二：令，求导，分时，易得在单调递增，结合得出矛盾，当时，得到的单调性，再分而得解. 13．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有个零点，求的范围 (3)若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）令，即，令，，依题意直线与的图象有两个交点，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数图象，数形结合求出参数的取值范围； （3）参变分离可得存在，使得成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又． 当时，则恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得． 在上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，即，因为， 所以， 因为函数有个零点，所以在有两根， 令，， 也即直线与的图象有两个交点， 又， 当时，故在上单调递增； 当时，故在上单调递减. 又当时，，，， 则的图象如下所示： 数形结合可得，故的取值范围为； （3）在处取得极值， 由（1）得，， ，即，解得， 则，令，；令， 所以函数在单调递减，在单调递增，在处取极小值. ． 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则，， 令，， 则，所以当时，当时． 所以在上单调递增，在上单调递减． ， 故，故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 14．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. （3）原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 15．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，证明见解析 (3) 【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明； （3）将不等式转化为在上有解，令，转化为在上有解，然后求导计算，即可得到结果. 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则， 所以， 故当时，. 即 （3）关于的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解， 又，由（1）可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意. 所以的取值范围为 16．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 考点3 不等式的证明 17．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若函数在处有极小值，求的值； (2)当时，求证. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据在处有极小值得求出，再检验即可； （2）根据，将问题转化为证明当时即可，利用导数求出的最小值可得答案. 【详解】（1）∵，∴， ∵在处有极小值，∴.即， ∴. 检验：当时，， ∵，即， 当时，，， ∴，∴，∴单调递减. 当时，， ∴，∴单调递增. 综上，当时，在处有极小值； （2）当时，时，， 则有， 故只需证明当时，， 当时，在区间上单调递增， 又，， 故在区间上有唯一实根，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 从而当时，取得最小值， 由，得，， 故， 综上，当时，. 18．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，然后代入点斜式化简即可求解. （2）作差，把所证不等式变为恒成立，利用导数研究的单调性，求出最值即可证明. 【详解】（1）由题意得：切点，， 则，设切线方程：，化简得：. （2）要证：，即证：， 令，则， 又，则在单调递减， 所以，即，则得证． 19．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数，. (1)求证：有且仅有三零点. (2)设为最小的零点，证明：当，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，令，利用导数求出的单调区间，结合零点存在性定理可得，，在递增，递减，递增，再结合零点存在性定理可证得结论； （2）根据题意转化为证，再转化为证，然后构造函数，利用导数判断其单调性可证得结论. 【详解】（1），， 设，， 则在递减，在递增， ，，， 所以，使， ，使， 所以的正负性确定， 所以在递增，递减，递增， 令，则， 所以在上递减，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以， 所以在递减，所以， 所以， 同理当可证得在递减，所以， 所以， 因为，，，， 所以有且仅有三个零点. （2）依题意得：，， 需证：，，只需证：. 只需证：， （满足）， ， 令，， 所双在单调递增， 所以得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数证明不等式，考查函数零点存在性定理的应用，第（2）问解题的关键是通过多次变形转化，然后构造函数，通过判断函数的单调性可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 20．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值. (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数的最小值大于0. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，解得. 当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. （2）要证明当时，， 即证明当时，. 令函数. 则. 当时，. 设函数. 则，故在上单调递增. 又 所以存在唯一的使得. 且. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 设函数 则 即在单调递增. 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用隐零点问题求函数的最小值. 21．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法计算，即可求得； （2）由题可得，令，可将问题转化为证明，再由导数即可证明； （3）由（2）中的结论，结合数列的求和公式可证，再由放缩法以及裂项相消法可证，即可得证. 【详解】（1）设，即， 因为，所以， 解得，所以， 因为，则，所以， 所以. （2）证明：令，因为，所以， 要证， 只要证，即可． 因为，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以单调递增， 则， 所以得证． （3）由（2）可知，， 所以 ，即， 另一方面， 所 ，则， 所以 22．（24-25高三上·四川·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可； （2）两个方法，方法一，先将放大到，然后利用导数证明即可；方法二，直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明即可. 【详解】（1）解， 令 得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 【方法二】证明：令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， ， 又当时，在区间上单调递减， ， 当时，得证. 23．（2023·四川成都·一模）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 24．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0. (1)求实数的取值范围； (2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解    （i i）证明见详解 【分析】（1）求出，可得在上单调递增，所以，再分和两种情况讨论，得到的单调性，进而求出的最小值，判断是否符合题意； （2）（i）要证函数在上具有性质，即证当时，，令，，求得可得在上的单调递增，所以，得证； （ii）将题中要证明的不等式进行转化证明：当，时，.构造函数，利用导函数得到函数的单调性，从而证明结论. 【详解】（1），，， ，， 令，，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增，， ①若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意. ②若，即，此时，， 又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知， 存在，使得，且当时，， 在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. （2）（i）由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，当时，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （ii）要证：. 显然，当时时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令. 所以，令， 则，令， 则，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有 所以当，时，. 所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 25．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）将，代入函数，求导求最小值即可； （2）分离参变量，构造函数，研究函数的单调性及最值，最终确定的取值范围，进而得到整数的最大值. 【详解】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 【点睛】方法点睛：分离参变量，构造函数，用进行代换，进而简化函数求得参数取值范围. 考点4 双变量不等式问题 26．（23-24高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根， （i）求实数的取值范围; （ii）求证:． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先对进行求导，再对值分类讨论，即可判断其单调性； （2）（i）先将方程进行化简得，利用换元，将原方程转换成关于得方程有两个不等的实根；再令，利用导数判断函数的单调性及极值，并作出的大致图像，即可求解出的取值范围； （ii）要证，即证，由，得到，推导后得到，即证；令，只需证 ，构造函数，，利用导数即可证得结果. 【详解】（1）因为， 所以，其中 ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得． 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）（ⅰ）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则． 作出函数和的图象如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是． （ⅱ）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证 ， 由（i）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得 所以只需证，即只需证． 令，只需证 ， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用比值换元法并结合导数证明不等关系. 27．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【详解】（1）当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 【点睛】思路点睛：本题第二问，转化为“隐零点”问题，求函数的最大值. 28．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意； （2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得； ②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得. 【详解】（1）易知，又是函数的一个极值点， ，即. 此时，令， 在上单调递增，且， 当，当， 在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，即符合题意； 因此实数的值为. （2）①因为，且有两个极值点， 所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根， 将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点， 则，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且当时，，故作出的图象如下： 由图象可得满足题意，即. 即实数的取值范围为； ②由①知是的两个根， 故，则， 不妨设，又，所以可得， 可得，即，所以； 故由可得， 即，所以； 也即，化简得， 由于，所以等价于对任意的恒成立， 令，故对任意的恒成立， 则， 设，则， （i）当时，单调递增， 故单调递减，故，不满足，舍去； （ii）当时，单调递减， 故单调递增，故，故恒成立，符合题意； （iii）当时，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又，故时，，此时单调递减，故， 因此当时，，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围. 29．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间； （2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解． 【详解】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 30．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可； （2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 31．（23-24高二下·江苏·开学考试）已知函数. (1)若直线与函数的图象相切，求实数的值； (2)若函数有两个极值点和，且，证明：.（为自然对数的底数） 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）将极值点问题转化为导函数零点问题，通过整体换元，将所证不等式转化为一元不等式，再构造函数研究单调性求证不等式即可. 【详解】（1），定义域为. 设切点，. 且， 解得，，故实数的值为2； （2），定义域为. ， 因为有两个极值点和，所以至少有两个不相等的正根. 令，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当时，取最大值，最大值为. 当；当， 则至多两个零点，要使有两个零点， 必有，. 由，两式作差得①， 令，由得， 则，代入①式得， ，则， 故所证不等式转化为，， 只需证，即证：. 令，， ， ，，在上单调递增， ，其中， 故，，即不等式得证. 【点睛】方法点睛：双变量不等式的证明，处理关键是代数变形.经常通过代换(含对数式时常用)或（含指数式时常用)将所证的双变量不等式化为单变量的函数不等式，再构造函数，利用函数单调性证明. 32．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)令，若存在，且时，，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明. 【详解】（1）定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上可得当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，不等式恒成立在上恒成立， 设，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，； （3），， ， 令，则， 在上单调递增，不妨设， ， ， 要证，即，只需证， 令，只需证，只需证， 设，则， ∴在上单调递增，∴， 所以，即成立， ∴，即. 【点睛】思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性. 考点5 极值点偏移问题 33．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 34．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性； （2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明. 【详解】（1）， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为. （2）证明：将两边同时除以得，即， 所以， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令， 则， 由得，所以，， 所以，在上单调递增， 又，所以， 当时，，即，即， 又，所以， 又，，在上单调递减， 所以，即. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 35．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 36．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性和最值，求实数的取值范围，再结合函数的单调性和零点存在性定理，说明零点的情况； （2）构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，并结合，即可证明； （3）设，并求导，可证明，即可证明，设 ，设，并求导，证明. 【详解】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式有如下方法， 方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 37．（21-22高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 考点6 新定义中的不等式问题 38．（23-24高二下·山东济宁·期中）帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，.（注：为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值； (2)比较与的大小； (3)证明：. 【答案】(1)， (2)时，；时， (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，分别求出和，结合新定义建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），设，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）由（2），令，得，取，利用累加法计算即可求解. 【详解】（1）由，，有， 则，，，， 由题意，，所以， 所以，； （2）由（1）知，，令， 则， 所以在内为增函数，又， 时，； 时，； 所以时，；时，. （3）由（2）得时，，即，亦即时，. 令，得代入上式得. 取得： ，，， 上面各式相加得： 【点睛】方法点睛：比较大小常用的方法 （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 39．（23-24高二下·安徽合肥·期中）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2)0.48 (3)证明见解析 【分析】（1）分别求解的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案； （2）写出的泰勒公式，代入可得答案； （3）方法一利用泰勒公式得，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论. 【详解】（1），，，； ，，； 所以. （2）因为， 由该公式可得， 故. （3）法一：由泰勒展开， 易知当，， 所以 ， 令， 则，所以在上单调递增， 故， 即证得. 法二： 令， ， 易知当，，均为增函数， 所以单调递增， 所以， 所以当，单调递增， 所以， 当，， 令，则，则单调递增， 则， 综上，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明. 40．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】(1)不是“导可控函数”，说明见解析 (2)1个，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【详解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 41．（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 【答案】(1)根有3个，且分别位于，，这三个区间内 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）注意到，结合罗尔定理可得答案； （2）构造函数，后利用罗尔定理可证明结论； （3）注意到，后由（2）中结论可证明. 【详解】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使； 在内存在，使： 在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点c，使 即在开区间内至少存在一点c，使得； （3）证明：当时，. 因函数为上连续函数，. 由（2），又，则在上存在， 使； 又，则在上存在 又令，当时，， 则在上单调递增， 又 则 所以： 【点睛】在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等， 并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法. 42．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到，二次求导得到，代入，求出函数在点处的曲率； （2）求导，二次求导，得到，令，求导得到其单调性，求出其最大值，得到曲率的最大值； （3）二次求导，令，得，令，求导，得到其单调性和极值情况，得到有两个解，设为，，，根据变形得到，，从而所证不等式等价于，令，求导得到其单调性，求出，得证. 【详解】（1）， ，， ，， 所以函数在点处的曲率为. （2），，， 由定义知为非负数，由题意得， ， ， ， 令，，令， 则在上恒成立， 在上单调递增，即， ，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为. （3）证明：由题意可得，， 若曲率为0，则，即，即， 令，，则，得， 在上，，在上，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 又时，恒成立， 又，所以有两个解. 设为，，， 又，所以，可设，， 所以，，， 化简可得，则. 要证，即证， 需要证，即证， 令， 所以在上单调递增， 所以，得证. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 43．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， (1)求实数的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解； （2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式； （3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式. 【详解】（1）∵ ∴ ∵，则， 由题意得： ∴解得：； （2）由（1）知，即证 令，则且 即证时，记 则 ∴在上单调递增，在和上单调递增 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时， ∴成立，即成立. （3）由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时，时， ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴，即， ∴， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是 综上可得：不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式. 一、解答题 1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得. （2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值. （3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 不等式， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此，所以. （2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为， 则切线的方程为：， 又直线过点，于是， 整理得，即，令， 求导得，即在上单调增，又，因此， 切线的方程为，由与函数的图象相切，得， 即，于是，解得， 所以实数的值是. （3）①当时，，则，使，符合题意； ②当时，， ，则，又由（1）知，， 因此，不合题意； ③当时，令， 当时，，则， 当时，，则， 则， 令，求导得， 由，得时；由，得时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即当时，不合题意， 所以的最大值为. 2．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求实数的值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据切线方程，求得与坐标轴的交点，整理数列递推公式，结合等差数列的定义，可得答案； （2）根据指数幂运算的运算律公式，结合（1）的结论以及等比数列，可得答案， （3）根据不等式构造函数，利用导数研究函数的最值，可得答案. 【详解】（1）证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，则，即（）， 所以数列是以为首项、为公差的等差数列； （2）由（1）可得（）， 所以， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 其前4项的和为， 所以实数； （3）原不等式等价于在上恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上递减，所以， 令，则；令，则， 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【点睛】关键点睛：第2问的第①小问关键在于将变形，结合的单调性，将问题转化为有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得的取值范围.第②小问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证. 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在点处的切线经过原点. (1)求t的值； (2)若存在，使得，求证：； (3)证明： 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数单调性，利用单调性可证不等式； （3）由题意只需证，令，利用导数研究在处取得极大值，也是最大值，可得，可证不等式. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以切线方程为，即 因为切线经过原点，所以， 所以； （2）因为，所以， 令，解得； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以存在，，且， 要证，即证， 因为，只需证， 因为，即证 令， 即， 所以 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以； （3）要证，即证， 即证， 因为，所以只需证 令，只需证 由， 因为，， 令，；令，， 所以在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以，即原不等式得证. 【点睛】方法点睛：近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据极值点得到的值，但是不要忘了检验是否符合题意. （2）先通过换元，得到与直线交于两点，再求出点轨迹方程，从而通过证明，得到，进而解决问题. 【详解】（1）因为，所以， 因为是函数的极值点，所以，解得， 所以，所以令，所以， 所以当时，，函数单调递减． 又，所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以确实是函数的极大值点． 综上所述，实数的值为0． （2）因为，函数的两个极值点为，且， 所以 设，，则． 构建函数，则函数的图象与直线交于，两点． 因为，所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以． 构建函数，所以函数的图象与直线交于点． 构建函数，所以， 所以当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以，所以， 所以， 所以，所以． 7．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【详解】（1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 8．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数，. (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：； (3)求证：对任意，都有. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先由不等式参变分离为恒成立，转化为函数求最值问题； （2）首先利用导数判断函数的单调性，并结合，设，.再由条件转化为证明，根据不等式构造函数，利用导数证明； （3）根据（2）的结果，将不等式转化为，再令，，利用累加法求和，即可证明. 【详解】（1）当时，恒成立， 即恒成立，只需即可. 令，，则. 令，，则， 当时，恒成立，即在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的最大值为2. （2）证明：因为当时，，， 所以，即在上单调递增. 又，，且，所以不妨设. 要证，即证明. 因为在上单调递增，即证. 因为，即证. 设 ，， 令，，则，. 因为，所以，即在（0，1）上单调递增， 所以，即， 所以成立，所以. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且. 由，得，即. 令，则，即， 所以，，，，， 相加得. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据函数的单调性，结合，从而确定，第三问的关键是根据要证明的不等式，结合条件，转化为. 9．（24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数． (1)若，求的单调区间和最小值； (2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是，最小值 (2)仅有一个零点 (3) 【分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案. （2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论. （3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由解得． 与在区间上的情况如下： – ↘ ↗ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是； 在处取得极小值，无极大值， 所以的最小值为. （2）由（1）知，在区间上的最小值为． 因为存在零点，所以，即，从而． 当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点． 当时，在区间上单调递减，且， ，所以在区间上仅有一个零点． 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． （3）设，． ①若，则，符合题意． ②若，则，故当时，，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为 ，解得． ③若，则，故当时，； 当时，． 在上单调递减，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意． 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用导数确定函数的单调性、单调区间，进而确定函数的最值从而求解. 10．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)极小值，无极大值； (2)； (3). 【分析】（1）利用导数研究函数的极值； （2）问题化为，使成立，导数研究的性质，结合得到，进而有，导数求右侧最大值，即可得范围； （3）令，问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的范围，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设， 时，，即在上递减， 时，，即在上递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由且，则， 所以，问题化为，使成立， 令，则，且时， 时，即在上递减，对应值域为； 时，即在上递增，对应值域为； 由于，于是，即，此时， 对于且，则， 故时，即在上递增， 时，即在上递减， 所以，故. （3）由题设，令，而， 所以在上恒成立， 令在上递增，则， 令，则， 故上，即在上递减； 上，即在上递增； 所以， 综上，故只需. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用换元法将问题化为在上恒成立是关键. 11．（24-25高三上·河南三门峡·期中）若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质. (1)函数具有性质，求. (2)设函数， （ⅰ）判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）不具有性质，理由见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）对任意的且，由变形得到，得到，求出； （2）（ⅰ）求导，得到的单调性，得到，假设具有性质，即，所以，根据，得到，显然不能恒成立，故假设不成立，不具有性质； （ⅱ）先得到，由对数平均不等式得到，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论. 【详解】（1）定义域为， 对任意的且， 有， 即， 因为，所以，故， 故，故； （2）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 即恒为0，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ⅱ）因为，所以，， 下面证明， 即证， 令，则， 令，， 则， 故在上单调递增， 故，， 所以，即，所以， 当时，， 当时，令 ， 令，， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故，， 综上，. 【点睛】方法点睛：对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知 (1)设，求的极值． (2)若在上恒成立，求的取值范围． (3)若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 【答案】(1)极小值，没有极大值 (2) (3)没有，证明见解析 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）构造函数，利用导数以及不等式恒成立的知识求得的取值范围. （3）根据（1）的结论，利用放缩法、综合法证得没有上界. 【详解】（1）， 令，解得. 所以在上单调递减； 在上，单调递增； 所以函数有极小值，没有极大值． （2）依题意，在上恒成立， 设，， 当时，单调递增，，不符合题意. 当时，， 令，解得， 即使，在上，单调递增； 在上，单调递减，不符合题意； 当时，单调递减，，符合题意； 综上：. （3）没有上界，理由如下： 由（2）可知，在上恒成立， 令，则， 所以， 将上述式子相加得 由于没有上界，故也没有上界. 【点睛】本题涵盖了导数应用、单调性分析、不等式恒成立及放缩法等知识点，能够有效考查学生的综合能力. 通过不等式在区间上的恒成立条件，构造辅助函数，再利用单调性分析得出适合的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$