大题突破01 导数在研究函数性质的应用6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破01 导数在研究函数性质的应用 6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，导数是研究函数性质的重要工具，在函数相关问题的解决中占据核心地位。函数的单调性、极值、最值、零点以及图像特征等性质，对于深入理解函数的变化规律和特点至关重要。通过导数，能够将复杂的函数问题转化为相对简单的导数运算和分析，从而更加高效地解决问题。导数在研究函数性质的应用这部分内容，不仅考查学生对导数概念、运算法则的掌握程度，还重点考查学生运用导数工具分析和解决数学问题的能力，是高考数学的重点和难点内容之一，对学生数学素养的提升有着重要作用。 【处理角度】 1. 利用导数的定义与性质：导数的定义是理解其几何意义和物理意义的基础，从定义出发可以推导出导数的各种性质。通过分析导数的正负性，能判断函数的单调性；导数为零的点则可能是函数的极值点，进一步判断这些点两侧导数的符号变化，可确定是极大值还是极小值。利用导数的这些性质，能够深入探究函数的各种特征。 2. 构建函数与导数的联系：将函数问题转化为导数问题，是解决此类问题的关键思路。例如，在研究函数的单调性时，通过对函数求导，将函数的增减性问题转化为导函数的正负性问题；在处理函数的极值和最值问题时，借助导数找到可能的极值点，再结合函数的定义域和单调性来确定最值。这种函数与导数之间的紧密联系，为解决复杂函数问题提供了有力的方法。 3. 结合函数的定义域与边界条件：函数的定义域决定了函数的取值范围，在利用导数研究函数性质时，必须充分考虑定义域对函数的限制。同时，边界条件也是不可忽视的因素，它在确定函数的最值、判断函数的零点个数等方面起着重要作用。例如，在研究函数在某个区间上的最值时，需要比较区间端点处的函数值和区间内的极值；在判断函数的零点个数时，要结合函数在定义域边界处的取值情况以及函数的单调性进行分析。 4. 运用分类讨论与数形结合思想：当函数中含有参数时，往往需要进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分析函数的导数性质，进而确定函数的单调性、极值和最值等。数形结合思想也是解决函数与导数问题的重要方法，通过绘制函数的大致图像，直观地观察函数的变化趋势、极值点、零点等信息，有助于理解和解决问题。例如，在研究函数的零点个数时，结合函数图像可以更清晰地判断直线与函数图像的交点情况，从而确定零点个数。 【解法策略】 1. 导数与函数单调性：首先对函数进行求导操作，得到导函数。接着分析导函数的正负性，当导函数大于零时，函数在相应区间单调递增；当导函数小于零时，函数在相应区间单调递减。对于含有参数的函数，需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论，确定导函数正负性的变化，进而得出函数的单调区间。 2. 导数与函数极值：同样先对函数求导，找出导数为零的点，这些点即为可能的极值点。然后判断这些点两侧导数的符号变化情况，如果在某点左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；反之，如果左侧导数为负，右侧导数为正，则为极小值点。在分析过程中，要注意函数的定义域以及导数不存在的点，避免遗漏极值点。 3. 导数与函数的最值：先利用导数求出函数的极值点，再结合函数的定义域，比较极值点和定义域端点处的函数值大小。最大的函数值就是函数的最大值，最小的函数值就是函数的最小值。对于在某个区间上求最值的问题，需要特别关注区间端点处的函数值，以及函数在该区间内的单调性和极值情况。 4. 导数与函数零点、方程的根：将函数的零点问题转化为方程根的问题，通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，确定函数图像与 x 轴的交点个数，即函数的零点个数。对于方程的根的问题，可以构造相应的函数，利用导数研究函数的性质，从而判断方程根的个数和根的范围。在分析过程中，常常需要结合函数的图像，直观地观察函数的变化趋势，辅助判断零点或根的情况。 5. 导数与函数图像：一方面，通过对函数求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进而了解函数图像的上升和下降趋势；根据导数为零的点和导数的变化情况，确定函数的极值点，从而明确函数图像的极值位置。另一方面，对于涉及两个函数图像的问题，如公切线问题，分别对两个函数求导，根据导数的几何意义表示出切线方程，再结合公切线的条件列出方程组求解。通过这些方法，可以更准确地描绘函数图像的特征，解决与函数图像相关的问题。 6. 导数的实际应用：在解决实际问题时，首先要根据题目中的条件建立函数模型，明确函数的自变量和因变量。然后对函数求导，利用导数求出函数的极值点和最值点。结合实际问题的背景和限制条件，判断这些极值点和最值点是否符合实际意义，从而得到实际问题的最优解。例如在求几何图形的面积、体积最值，以及经济利润最大化等问题中，通过建立合适的函数并运用导数进行分析求解。 考点1 导数与函数单调性 1．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）（1）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范围； （2）已知函数．讨论函数的单调性； 5．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 6．（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 考点2 导数与函数极值 7．（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 8．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 10．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数. (1)若函数单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 11．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若，且函数的极大值与极小值的差为，求实数的值. 12．（2025·江西鹰潭·一模）已知函数（是自然对数的底数），为的导函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数，求函数在上的极值. 13．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 14．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 考点3 导数与函数的最值 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 16．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 17．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围． 18．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 19．（23-24高二下·新疆·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 20．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 21．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数，的值 (2)求函数在区间上的最大值和最小值 22．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 考点4 导数与函数零点、方程的根 23．（23-24高二下·山东·期中）设函数. (1)若，，判断零点个数； (2)若，讨论的单调性. 24．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 25．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数． (1)求曲线的图象在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围． 26．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 27．（23-24高二下·河北衡水·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论在区间上的零点个数． 28．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 29．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 30．（2022·北京石景山·一模）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 31．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知函数． (1)时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点，比较与的大小并说明理由． 32．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； (3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 考点5 导数与函数图像 33．（2025·福建·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，讨论在的单调性； (2)曲线上是否存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形？证明你的结论． 34．（22-23高二下·河北唐山·期末）已知函数. (1)若在恒成立，求a的取值范围； (2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方. 35．（22-23高二下·广东广州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，的图象与的图象有2条公切线. 36．（22-23高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 考点6 导数的实际应用 37．（22-23高二下·福建福州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是. (1)由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式； (2)该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？ 38．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 39．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.    (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 1．（2019高三·全国·专题练习）已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 2．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 3．（2022高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 4．（24-25高三上·天津西青·期中）设函数在处取得极值. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值. 5．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)若在上存在极小值，求实数的取值范围 (2)讨论在上的零点个数． 6．（2024·云南大理·一模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求a的取值范围. 7．（2024·浙江金华·一模）已知函数，. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围. 8．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； (2)证明：当时，. 10．（24-25高三上·山西·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，求函数的零点. 11．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)证明：； (2)设函数，证明：函数有唯一的极值点. 12．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为－3，求a的值； (2)求的单调区间； (3)若，对任意，，，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 13．（24-25高三上·四川·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 14．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 15．（24-25高三上·河南南阳·期中）对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数. (1)求，，的值； (2)若函数在区间上无极值点，求的取值范围； (3)求数列的通项公式，并求其前项和. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 大题突破01 导数在研究函数性质的应用 6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，导数是研究函数性质的重要工具，在函数相关问题的解决中占据核心地位。函数的单调性、极值、最值、零点以及图像特征等性质，对于深入理解函数的变化规律和特点至关重要。通过导数，能够将复杂的函数问题转化为相对简单的导数运算和分析，从而更加高效地解决问题。导数在研究函数性质的应用这部分内容，不仅考查学生对导数概念、运算法则的掌握程度，还重点考查学生运用导数工具分析和解决数学问题的能力，是高考数学的重点和难点内容之一，对学生数学素养的提升有着重要作用。 【处理角度】 1. 利用导数的定义与性质：导数的定义是理解其几何意义和物理意义的基础，从定义出发可以推导出导数的各种性质。通过分析导数的正负性，能判断函数的单调性；导数为零的点则可能是函数的极值点，进一步判断这些点两侧导数的符号变化，可确定是极大值还是极小值。利用导数的这些性质，能够深入探究函数的各种特征。 2. 构建函数与导数的联系：将函数问题转化为导数问题，是解决此类问题的关键思路。例如，在研究函数的单调性时，通过对函数求导，将函数的增减性问题转化为导函数的正负性问题；在处理函数的极值和最值问题时，借助导数找到可能的极值点，再结合函数的定义域和单调性来确定最值。这种函数与导数之间的紧密联系，为解决复杂函数问题提供了有力的方法。 3. 结合函数的定义域与边界条件：函数的定义域决定了函数的取值范围，在利用导数研究函数性质时，必须充分考虑定义域对函数的限制。同时，边界条件也是不可忽视的因素，它在确定函数的最值、判断函数的零点个数等方面起着重要作用。例如，在研究函数在某个区间上的最值时，需要比较区间端点处的函数值和区间内的极值；在判断函数的零点个数时，要结合函数在定义域边界处的取值情况以及函数的单调性进行分析。 4. 运用分类讨论与数形结合思想：当函数中含有参数时，往往需要进行分类讨论。根据参数的不同取值范围，分析函数的导数性质，进而确定函数的单调性、极值和最值等。数形结合思想也是解决函数与导数问题的重要方法，通过绘制函数的大致图像，直观地观察函数的变化趋势、极值点、零点等信息，有助于理解和解决问题。例如，在研究函数的零点个数时，结合函数图像可以更清晰地判断直线与函数图像的交点情况，从而确定零点个数。 【解法策略】 1. 导数与函数单调性：首先对函数进行求导操作，得到导函数。接着分析导函数的正负性，当导函数大于零时，函数在相应区间单调递增；当导函数小于零时，函数在相应区间单调递减。对于含有参数的函数，需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论，确定导函数正负性的变化，进而得出函数的单调区间。 2. 导数与函数极值：同样先对函数求导，找出导数为零的点，这些点即为可能的极值点。然后判断这些点两侧导数的符号变化情况，如果在某点左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；反之，如果左侧导数为负，右侧导数为正，则为极小值点。在分析过程中，要注意函数的定义域以及导数不存在的点，避免遗漏极值点。 3. 导数与函数的最值：先利用导数求出函数的极值点，再结合函数的定义域，比较极值点和定义域端点处的函数值大小。最大的函数值就是函数的最大值，最小的函数值就是函数的最小值。对于在某个区间上求最值的问题，需要特别关注区间端点处的函数值，以及函数在该区间内的单调性和极值情况。 4. 导数与函数零点、方程的根：将函数的零点问题转化为方程根的问题，通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，确定函数图像与 x 轴的交点个数，即函数的零点个数。对于方程的根的问题，可以构造相应的函数，利用导数研究函数的性质，从而判断方程根的个数和根的范围。在分析过程中，常常需要结合函数的图像，直观地观察函数的变化趋势，辅助判断零点或根的情况。 5. 导数与函数图像：一方面，通过对函数求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进而了解函数图像的上升和下降趋势；根据导数为零的点和导数的变化情况，确定函数的极值点，从而明确函数图像的极值位置。另一方面，对于涉及两个函数图像的问题，如公切线问题，分别对两个函数求导，根据导数的几何意义表示出切线方程，再结合公切线的条件列出方程组求解。通过这些方法，可以更准确地描绘函数图像的特征，解决与函数图像相关的问题。 6. 导数的实际应用：在解决实际问题时，首先要根据题目中的条件建立函数模型，明确函数的自变量和因变量。然后对函数求导，利用导数求出函数的极值点和最值点。结合实际问题的背景和限制条件，判断这些极值点和最值点是否符合实际意义，从而得到实际问题的最优解。例如在求几何图形的面积、体积最值，以及经济利润最大化等问题中，通过建立合适的函数并运用导数进行分析求解。 考点1 导数与函数单调性 1．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调递减区间为. 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）（1）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范围； （2）已知函数．讨论函数的单调性； 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用导数结合分离参数法求解即可. （2）含参讨论三次函数单调性即可. 【详解】（1），若函数在区间上存在减区间， 等价于，使得成立， 可得，使得成立，构建， 可知开口向上，对称轴，故， 解得，则的取值范围为． （2）易知定义域为， 令得或， ①当即时，令得或，令得； 故在单调递减，在上单调递增； ②当即时，恒成立，故在R上单调递增； ③当即时，令得或， 令得，在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增：当时，在上单调递减， 在上单调递增. 5．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案； （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为的单调递减区间为，即的解集为， 故是的两根，即， 当时，，由，解得， 等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意， 故. （2）函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故, 经验证当时, 即， 等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 6．（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 考点2 导数与函数极值 7．（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)的极大值为10，极小值为； 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间； （2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果. 【详解】（1）由可得其定义域为， 且； 当时，恒成立，此时的单调递增区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上可得时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时，，此时； 由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 所以可得函数在时取得极大值，即， 在时取得极小值，即； 所以函数的极大值为，极小值为. 8．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）由求出实数的值； （2）利用导数得出的单调性，进而得出极值. 【详解】（1）由题意可知，， ； （2）， ； 即函数在上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，无极小值. 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求出导函数的零点，再分，和三种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 令，则， 当时，， 则在上单调递增，没有极小值点，与题意矛盾； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极小值点，符合题意； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 10．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数. (1)若函数单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求函数的导函数再应用函数单调递减得出参数范围； （2）先求导函数再根据极值得出导数为0，转化为函数有一个交点结合图象得出参数范围. 【详解】（1）根据题意，，， 则， 解得， 当时，，成立， 所以a的取值范围为. （2）依题意，， 则只有一个变号零点， 显然不是的零点， 所以有一个变号交点， 令， 所以函数在和分别单调递减， 在上单调递增， 如右图象所示，可得：， 所以. 11．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若，且函数的极大值与极小值的差为，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出切点处的导数，结合导数几何意义以及切线与直线垂直即可求解. （2）先研究函数单调性求得函数的极大值和极小值，从而得到极大值与极小值的差值为，进而发现是差值为的解，再构造函数研究其单调性证明是差值为的唯一解即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以曲线在点处切线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. （2）由（1）可知， 令，得或，令，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以有极大值，有极小值， 的极大值与极小值的差为， 所以当时，， 下面证明是的唯一解， 令， 则，故恒成立， 所以即在上单调递增， 所以，故在上单调递减， 所以有且只有时，. 综上所述，. 12．（2025·江西鹰潭·一模）已知函数（是自然对数的底数），为的导函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数，求函数在上的极值. 【答案】(1) (2)的极大值为，的极小值为. 【分析】（1）根据导数的运算法则先求，令解出在的解集即可； （2）先求函数的单调区间，利用导数即可求得极值. 【详解】（1）易知， 令，解得，， 又，所以的解集为 （2）由题可知， 当时，，当时， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为 函数的极小值为. 13．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. （2）当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 14．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可得，结合，即可求实数的值； （2）由（1）知，根据导函数的符号，可求的单调区间和极值. 【详解】（1）， 由题意知，，所以 又因为，所以； （2）由（1）知， 当时；当时，； 当时， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值， 考点3 导数与函数的最值 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【详解】（1）由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； （2）由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，. 16．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，由在上有零点求出的范围. （2）利用导数求出函数上的最大值和最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由在内不单调，得关于x的方程在内有根，则，即， 所以a的取值范围是. （2）由及（1）知，得， 由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以在上的值域为． 17．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的单调区间即可. （2）利用（1）的结论，分类讨论求出最大值，结合已知列出不等式求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，由得或，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，由得或，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）知，①当时，在上单调递增，此时在上的最大值为； ②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在上的最大值只有可能是或， 由在上的最大值为，得，则， ③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在上的最大值可能是或， 由在上的最大值为，得，则， 综上，a的范围. 18．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再利用斜截式得到切线方程； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值. 【详解】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值. 综上可得. 19．（23-24高二下·新疆·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）分类讨论求导函数根据正负求出函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参. 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，解得． 20．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围. 【详解】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 21．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数，的值 (2)求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解； （2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以，； （2）由（1）知，所以， 令，得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 又，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 22．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 考点4 导数与函数零点、方程的根 23．（23-24高二下·山东·期中）设函数. (1)若，，判断零点个数； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1)只有一个零点. (2)答案见解析 【分析】（1）求导，利用导数得出单调性，进而确定零点个数； （2）求导，讨论与0的关系，利用导数得出单调性. 【详解】（1）当，时，则， 所以，解得或， ，解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以只有一个零点. （2）因为，所以， 所以， 由 解得， 当时，恒成立. 当时，， 所以由，解得或. 由，解得 当时，，所以，解得或. 由，解得 综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 24．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调性； （2）对求导，利用导数判断函数的单调性，求出的最小值，结合零点个数即可求解的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， . 若，则恒成立，在上单调递增； 若，则当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）， 则， 又因为函数单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，， ， 所以在和上各有一个零点. 当时，的最小值为，且， 所以在上至多只有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 25．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数． (1)求曲线的图象在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程. （2）利用导数求出函数的极值，并作出其图象，数形结合求出的范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数，定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增；在上单调递减， 则当时，取得极大值，当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图，    若方程有3个不同的根，则直线和函数的图象有3个交点， 观察图象知，当时，直线和函数的图象有3个交点， 所以实数的取值范围为． 26．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求导函数再求出最值求参即可； （2）先把函数转化为函数的交点问题，构造函数再结合单调性及值域求参即可. 【详解】（1）因为，所以， 单调递增，单调递减， 最小值在处取到，所以，， （2）因为，所以，又因为显然不是方程的根，所以. 令，则， ,所以在和上单调递增， 在和上单调递减. , , 有两个不同实根，即使与有两不同交点即可.可知或． 27．（23-24高二下·河北衡水·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论在区间上的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数求切点处切线的斜率，点斜式得切线方程； （2）分类讨论，利用导数研究函数单调性，通过极值判断零点个数. 【详解】（1）当时，，其定义域为，， 所以，，函数在处的切点坐标为，切线斜率为， 因此，函数在处的切线方程为，即． （2）令， 则． 因为，则，则． 当时，则，故，从而在上单调递减； 而，故当时，， 故在区间上无零点； 当时，令，则， 因为，则， 从而，即在上单调递减； 而，因此存在唯一的，使得， 并且当时，；当时，． 即当时，，当时，． 故当时，单调递增，当时，单调递减． 而，故； 取，， 所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点． 综上所述，当时，在上有唯一的零点； 当时，在上没有零点． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 28．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性； （2）令，得，即，发现其结构相同， 再令，可得，故，问题转化为求函数的值域， 分析其图象与直线的交点个数即得答案. 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 29．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 则在处取得极小值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递增，在上递减， 则在处取得极大值，合题意. 综上，. （2）由（1），，， 函数的增区间为，，减区间为. 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有3个零点，则， 解得，且满足，，满足题意. 因此，实数的取值范围是. 30．（2022·北京石景山·一模）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解. ②令，利用导数法求得其在上单调递减，结合，即可证明. （2）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. （2）由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为． 31．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知函数． (1)时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点，比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)函数零点的个数为1 (2). 【分析】（1）把代入中确定出的解析式，求导确定其单调性，结合零点存在定理可得结论； （2）根据函数的极值点，求导可得方程有两个根，从而的范围，且，然后判断的正负即可比较大小得结论. 【详解】（1）时，，且， 则恒成立，故在上单调递增， 又 故函数零点的个数为1． （2），则， 令，即有两个根，则，所以， 则， 所以 ， 令， 所以，则函数在上递减，所以恒成立， 所以，即， 故. 32．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； (3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，然后根据导函数的正负判断的单调性，由此可确定出单调区间； （2）根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数的最小值； （3）将问题转化为方程有三个根，借助图象分析出的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明. 【详解】（1），令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. （2）设切线分别与和交于， 的导数为，的导数为， 所以处切线方程为，处切线方程为， 由公切线可知，， 所以，化简可得， 因为公切线有两条，所以有两个根； 设，所以， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 且，所以存在唯一使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以且， 所以， 由对勾函数性质可知在时单调递增， 所以，所以， 且时，，时，， 所以若有两个根，则，故整数的最小值为. （3）的定义域为， 由题意可知，是方程的三个根； 当时，令，所以， 令，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递增，且； 当时，令，所以，由解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且，， 作出的简图如下图所示， 由图象可知，， 要证，只需证，即证， 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以只需证，且， 所以只需证，即证（*）； 设， 所以， 所以， 因为，对称轴且开口向下， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以，所以对恒成立， 所以（*）成立，即成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： (1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； (2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； (3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； (4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 考点5 导数与函数图像 33．（2025·福建·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，讨论在的单调性； (2)曲线上是否存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形？证明你的结论． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出参数，分别求出和即可得到函数的减区间和增区间； （2）取，易验证且与不共线，所以四边形为平行四边形． 【详解】（1）由得，， 所以．依题意，得，所以，此时， 所以当时，；当时，，且． 所以当时，，当且仅当时，； 当时，．故在单调递增，在单调递减． （2）曲线上存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形． 证明如下： 取， 因为， 所以四点都在曲线上． 因为，所以， 因为， 所以与不共线， 所以四边形为平行四边形． 所以曲线上存在四个点，使得四边形为平行四边形. 34．（22-23高二下·河北唐山·期末）已知函数. (1)若在恒成立，求a的取值范围； (2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值即可求解； （2）构造，利用导数法求出函数的最小值大于零，即可得证. 【详解】（1）当时，，因为在恒成立， 所以在恒成立，记，则， ，令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得最小值，所以，即； （2）当时，，定义域为， 令， 则， 令，则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得最小值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以函数的图象在函数图象的下方，得证. 35．（22-23高二下·广东广州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，的图象与的图象有2条公切线. 【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，再令求根，判断导数的正负即可； （2）分别设出切点，表示出切线，根据题意，切线的斜率和纵截距分别相等列出方程组，化简后得出，转化为的图象与直线有两个不同的交点，研究的值域即可. 【详解】（1）由题意知，定义域为. ， 因为，令得，， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减； 故的单调增区间为 ，单调减区间为. （2），. 设分别是的图象与的图象上的点, 则函数在处的切线为，即； 函数在处的切线为，即. 要使的图象与的图象有2条公切线，需满足有两组解， 整理后得， 令，则的图象与直线有两个不同的交点. ， 令，则， 故在上单调递减，即在上单调递减. 又， 所以存在，使，即. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，. 又因为单调递增，所以，即. 当无限趋近于0时，趋近于；当无限趋近于时，趋近于. 故当时，的图象与的图象有2条公切线. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把公切线问题转化为函数图象的交点个数问题，利用隐零点求出函数的最大值，即可得证. 36．（22-23高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a，注意分类讨论. （2）根据（1）可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可. 【详解】（1）因为，所以． 若，则，此时无最小值，故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. （2）由（1）知，，故，， 且在上为减函数，在上为增函数， 在上为减函数，在上为增函数，且， 所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况： 第一种情况，如图：    设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为， 直线与的图象交点横坐标从左到右依次为． 由图可知且． ∵且． ∴． 同理，且． ∴． ∴，， 又∵，即：． ∴． ∴． 第二种情况，如图：      设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为， 直线与的图象交点横坐标从左到右依次为． 由图可知，，且，， ∵且． ∴． 同理，且． ∴． ∴，， 又∵，即：． ∴． ∴． 综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：. 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系. 考点6 导数的实际应用 37．（22-23高二下·福建福州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是. (1)由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式； (2)该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？ 【答案】(1)，（且） (2)这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元 【分析】（1）根据当，且时，再验证满足即可求解； （2）依题意可得的表达式，用导数判断其单调性即可求解. 【详解】（1）当时，， 当，且时， ， 当时，符合上式， 故，（且）. （2）依题意，这个汽车4S店在2023年的第个月的月利润 （且）， ， 令，得：或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值为. 故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元. 38．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【答案】(1) (2),,最大值为 【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可． 【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形， 所以，解得，即的值为； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为， 其底面积为， 所以三棱柱容器的容积为，； 求导数得，令，解得或（舍去）， 所以时，，单调递增，时，，单调递减； 所以时，取得最大值，为， 所以的最大值为． 39．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.    (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 【答案】(1)立方分米 (2)元 【分析】（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为，求得该容器的容积为，再利用导数求其最大值即可； （2）分别求出圆锥和圆柱的侧面积，其和即为该容器的表面积，再结合铁皮的价格为每平方分米元，即可求出铁皮的总费用. 【详解】（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为， 则圆锥的体积，圆柱的体积， 则该容器的容积，， 由，，则， 则， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米）， 即该容器的容积的最大值为立方分米. （2）由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米， 则圆锥与圆柱的高为分米， 则圆锥的侧面积（平方分米）， 圆柱的侧面积（平方分米）， 则该容器的表面积为（平方分米）， 又（元）， 则需要的铁皮的总费用为元. 1．（2019高三·全国·专题练习）已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可； 【详解】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 2．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为；递减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. （2）由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 3．（2022高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）求导后，分和讨论即可； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可； 【详解】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 4．（24-25高三上·天津西青·期中）设函数在处取得极值. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值. 【答案】(1)； (2)最大值为3，最小值为. 【分析】（1）根据函数极值有，列方程求参数，注意验证； （2）利用导数确定的区间单调性，进而求最值. 【详解】（1）由题设，且，， 所以，故， 此时，故在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极值，满足题设， 综上，. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 所以，在区间中，在上递增，在上递减， 由，，，， 综上，函数的最大值为3，最小值为. 5．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)若在上存在极小值，求实数的取值范围 (2)讨论在上的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分类讨论和，根据的单调性分析出极小值点，由此可得关于的不等式，则的取值范围可求； （2）将问题转化为方程根的数目，构造，利用导数分析出的单调性和取值情况，然后对进行分类讨论，由此可分析出的零点个数. 【详解】（1）的定义域为，，当时，，单调递减，无极值，不合题意； 当时，令，得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故，解得， 所以实数的取值范围为． （2）令，得，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，， 当时，方程无解，所以在上无零点， 当时，方程有个根，所以在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程无解，在上无零点． 综上所述，当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 6．（2024·云南大理·一模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）当时，证明出即可； （2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在其定义域上的单调性，可得出，根据题意可得出，可得出，利用导数分析函数在上的单调性，再利用函数的单调性可解不等式即可. 【详解】（1）证明：要证，只需证. 当时，则，其中， 可得，令得，，列表如下： 1 递减 极小值 递增 所以，函数在处取得即小值，亦即最小值，即， 所以，. （2）解：因为，其中，则， 当时，，，此时，函数在上单调递增， 当时，令，可得，列表如下： 递减 极小值 递增 所以，， 由题意可得，即. 令，其中，且. 不等式即为，. ， 当且仅当时，即时，. 所以，函数在单调递增，又，则. 因此，实数的取值范围是. 7．（2024·浙江金华·一模）已知函数，. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)单调增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【详解】（1）当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 （2） 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 8．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨单调区间即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，通过，两类情况讨论即可； （2）由（1）令，将问题转换成，构造函数通过求导确定最值即可求解. 【详解】（1） 当时，，在上单调递增； 当，令 且当时，，单调增； 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. （2），由（1）知 下证：，即证：，令， 即证：. 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，证毕! 10．（24-25高三上·山西·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，求函数的零点. 【答案】(1)的单调递增区间为，的单调递减区间为 (2) 【分析】（1）将代入函数，求函数的导函数，利用导数符号即可得到函数的单调递增区间和递减区间； （2）分，和三种情况讨论的符号，即可得到的零点. 【详解】（1）当时，，则， 对有，对有. 故的单调递增区间为，的单调递减区间为. （2）首先，根据（1）的结论，可以得到不等式，即. 用替换，就得到，即. 当时，，故，显然的定义域为. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 所以函数的零点为. 11．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)证明：； (2)设函数，证明：函数有唯一的极值点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导分析单调性，判断极值即可； （2）构造函数，求导分析单调性，从而得到，即可； 【详解】（1）因为，定义域为， 所以， 由于函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，所以. （2）因为，的定义域为， 所以. 设，则， 当时，，所以单调递增，所以， 所以，即， 所以. 又，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以函数有唯一的极值点. 12．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为－3，求a的值； (2)求的单调区间； (3)若，对任意，，，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，，即可求解； （2）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调区间； （3）根据（1）的结论，由函数的单调性去绝对值，并构造函数，利用导数，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】（1）∵，∴， ∵曲线在处的切线的斜率为，所以， ∴； （2）定义域为，， 当时，，故在上单调递减； 当时，，，单调递增， ，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，递增区间为. （3）由（2）及可得，在上单调递增. 不妨设，且，， 则可化为， 设， 则，所以为上是增函数， 即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以，即k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值，再构造函数. 13．（24-25高三上·四川·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可； （2）两个方法，方法一，先将放大到，然后利用导数证明即可；方法二，直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明即可. 【详解】（1）解， 令 得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 【方法二】证明：令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， ， 又当时，在区间上单调递减， ， 当时，得证. 14．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，结合函数的奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. 【详解】（1）由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. （2）由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 15．（24-25高三上·河南南阳·期中）对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数. (1)求，，的值； (2)若函数在区间上无极值点，求的取值范围； (3)求数列的通项公式，并求其前项和. 【答案】(1)0，3，； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即可. （2）利用二次函数极值点的意义，列式求出得答案. （3）变形定义式，换元并构造新数列，再利用构造法求出通项；分奇偶并结合等差数列前项和公式求出前项和. 【详解】（1）依题意，，而，，， 所以；；. （2）二次函数图象的对称轴为， 由函数在区间上无极值点，得或，解得：或， 所以的取值范围为. （3）由，得， 即， 令，则，，， 令，则，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 则，即，数列是首项为，公差为的等差数列， ，则， 所以； 当为偶数时，； 当为奇数时，. 所以. 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$