拓展04 分组与分配问题5考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高二数学下学期期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展04 分组与分配问题5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学的知识体系中，排列组合中的分组与分配问题是极具综合性与灵活性的内容。它主要研究如何将若干个元素按照特定要求进行分组，并将这些组分配到不同的对象中。这部分内容不仅涉及到对数学原理的深刻理解，如分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考验学生的逻辑思维、分析问题以及准确计算的能力。通过解决这类问题，能够培养学生严谨的数学思维模式，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在高考中，分组与分配问题常常与其他知识点结合出现，以多种形式进行考查，如选择题、填空题和解答题，具有较高的区分度，是学生必须掌握的重点内容之一。 【处理角度】 1. 准确分类与分步：面对分组与分配问题，首先要明确是分类还是分步处理。分类时需确保各类情况相互独立且涵盖所有可能，分步则要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联，共同构成完成任务的完整过程。 2. 区分分组与分配：清晰区分分组和分配的概念。分组是将元素按照一定规则分成不同的组，只关注组内元素的构成；而分配是在分组的基础上，将这些组对应到不同的对象，需要考虑组与对象之间的对应关系。 3. 关注元素特性：仔细分析元素的特点，包括元素是否相同、是否有特殊限制条件等。对于相同元素，分组方法与不同元素有所不同；对于有特殊限制的元素，如某些元素必须在同一组或不能在同一组，需优先考虑这些特殊情况，再进行后续的分组与分配操作。 4. 运用计数原理：合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理。分类时，将各类情况的方法数相加；分步时，把每一步的方法数相乘，从而得到总的方法数。 【解法策略】 1. 均匀分组分配问题：对于均匀分组，先按照正常的组合方式进行分组操作。由于均匀分组会出现重复情况，所以需要除以重复的组数的全排列，以消除重复计算。完成分组后，再将这些组分配到不同的对象中，按照分步乘法计数原理，将分组的方法数与分配的方法数相乘，得到最终的分配方案数。 2. 部分均匀分组分配问题：先根据题目要求确定分组的方式，对于部分均匀的组，同样要考虑重复情况并进行相应处理。例如，有两组元素个数相同的部分均匀分组，需除以这两组的全排列以消除重复。然后，将分好的组按照分步乘法计数原理分配到不同对象，计算出总的分配方法数。 3. 不等分分组分配问题：按照题目给定的不同组的元素个数要求，依次进行分组操作。每完成一组的选取，就在剩余元素中继续选取下一组，直到所有组都确定。分组完成后，再将这些组分配到对应的对象，通过分步乘法计数原理计算总的分配方案数。 4. 有限制条件的分组分配问题：优先处理限制条件。如果有元素必须在同一组或不能在同一组，先将这些元素按照要求进行组合或排除。然后，对剩余元素进行常规的分组操作，注意分组过程中仍要遵循分组的基本原则，如避免重复。完成分组后，再进行分配，根据分步乘法计数原理得出满足条件的分配方案数。 5. 相同元素分组分配问题：对于相同元素的分组问题，常采用隔板法。若允许有空组，可先增加与组数相同数量的虚拟元素，将问题转化为不允许有空组的情况。然后，在这些元素形成的空位中插入隔板，隔板的插入方法数就是分组的方法数。若不允许有空组，则直接在元素之间的空位插入隔板。分组完成后，再根据具体的分配要求进行分配操作。 考点1 均匀分组分配问题 1．（21-22高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解. 【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种. 再将余下的6人平均分成两组有种. 然后这四个组自由搭配还有种， 故最终分配方法有种 故选：B. 2．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有 种不同的分法． 【答案】90 【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果. 【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师， 所以共有种不同的分法， 故答案为：90 3．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 4．（2022高三·全国·专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成每组都是2本的三组； (2)分给甲、乙、丙三人，每个人2本． 【答案】(1)15 (2)90 【分析】（1）先分成三部分，再根据每种情况的重合数计算即可； （2）由（1）分成三组后再分给3个人计算即可. 【详解】（1）先分成三部分，则为种方法，但是这里面出现了重复. 不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)． （2）在问题（1）的基础上再分配即可，共有分配方法 (种)． 考点2 部分均匀分组分配问题 5．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了6门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选1门，至多选3门，大二到大四这三学年必须将6门公共必修课程全部选完，则每位同学的不同选择方式有 . 【答案】450 【分析】由题意每位同学每年所修课程数可以分为或两类，先将6门必修课分成三组，再分到三个学年，由分步计数原理与分类计数原理可求解． 【详解】已知三学年修完6门课程，且每学年至少选1门，至多选3门，则每位同学每年所修课程数可以分为或. 若按选择6门课程，则先将6门必修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式； 若按选择6门课程，则先将6门必修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式. 综上所述，每位同学的不同选择方式有种. 故答案为：450. 6．（24-25高二下·北京·阶段练习）将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．60种 C．90种 D．180种 【答案】A 【分析】利用分步计数原理和组合数计算. 【详解】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种， 再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种， 剩下的1名志愿者参加审计项目， 所以共有种分配方案. 故选：A 7．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答) 【答案】 【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可. 【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案； 按照2：2的比例，共有种分组方案； 则共有种分配方案 故答案为： 8．（24-25高二下·天津蓟州·阶段练习）个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.不同放法种数是 （用数字作答）． 【答案】1560 【分析】现将6个小球分成4个小组，然后由全排列得到结果. 【详解】将6个小球分成4个小组可以是或，然后再分别放入4个不同盒子， 共有种排法. 故答案为：1560. 9．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）我校高三5位数学老师参加自治区组织的3种不同形式的高考研讨活动，每个老师参加一项研讨活动，每项活动至少一位老师参加，共有几种参加方法（  ） A．150 B．90 C．60 D．36 【答案】A 【分析】将5位老师分成三组,然后再分配给三个不同形式的高考研讨活动，其中5人分成三组可以是113,也可以是122.利用排列组合知识解决即可. 【详解】将5位老师分成113三组,共有种，然后分配给三个不同形式的高考研讨活动，有种不同的方法，共有种不同的方法； 将5位老师分成122三组共有种，然后分配给三个不同形式的高考研讨活动，有种不同的方法，共有种不同的方法； 根据分类计数原理，共有种不同的方法， 故选：A. 10．（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 【答案】(1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)45 (6)1080 【分析】根据分组分配问题的原则，先合理的分组，再分配即可，注意平均分组的问题． 【详解】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）. （2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）. （3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）. （6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）. 考点3 不等分分组分配问题 11．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【答案】B 【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果. 【详解】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 12．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种． 【答案】1680 【分析】由题意，根据不同社区选人，利用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】依题意，只需依次根据不同社区选工作人员即可， 即不同的安排方法共有种. 故答案为：1680. 考点4 有限制条件的分组分配问题 13．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（    ） A．48 B．36 C．18 D．12 【答案】C 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 14．（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】A 【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案. 【详解】法一：根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组， 安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 法二：去甲活动场地共有（种）情况， 去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况， 所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）． 故选：A． 15．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果. 【详解】若甲只安排一项任务，则有种； 若甲只安排两项任务，则有种； 故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有130种． 故选：D 16．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（   ） A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种 【答案】C 【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数. 【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法， 若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法， 甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种． 故选：C． 17．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 18．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将5人分为三组，再分配到三个社区，再减掉甲乙两个人在同一社区的情况，即可求得. 【详解】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到三个社区做志愿者， 每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按和分组， 再分配到三个社区，共有种不同的安排方法， 其中甲乙在一个社区的共有种， 则甲乙不去同一个社区的概率为. 故选：. 19．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可. 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 20．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 【答案】100 【分析】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算. 【详解】当村安排1人时，不同的安排方法种数为； 当村安排2人时，不同的安排方法种数为； 当村安排3人时，不同的安排方法种数为. 综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法. 故答案为：100 21．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答） 【答案】50 【分析】先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解. 【详解】第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第二种情况，A志愿队有甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第三种情况，A志愿队有甲医生外，还有2人，剩下的1人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 22．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）. 【答案】12 【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案； （2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案. 综上：共有12种分配方案. 故答案为：12 考点5 相同元素分组分配问题 23．（21-22高二下·湖北·期中）将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56 【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得． 【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法， 再将4组球放入4个不同盒子，共种方法. 5个相同小球放入4个盒子， 若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法． 故答案为：240；56． 24．（21-22高二下·江苏淮安·阶段练习）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法.（结果用数字作答） 【答案】 1800 210 【分析】由6个不同小球分成5组，再将5组球分别放入5个盒子即可得解；6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块即可得解. 【详解】解：由题意得： 由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有种； 6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有种. 故答案为：1800；210 25．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有 种．（用数字作答） （2）将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为 ． 【答案】 90 10 【分析】空1：根据部分平均分组的组合公式以及排列公式计算即可；空2：先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，最后利用组合公式即可. 【详解】（1）先选1选，再选2人，最后两人再一组，最后消序和排列，即（种）． （2）先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花． 这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，所以不同的放法共有（种）． 故答案为：90；10. 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据题意，必有一组应取2人，其余组别各取1人，运用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学. 运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种， 再从另外三个大组中分别各取1名同学，有种， 最后确定有2个同学参加的组的人选，有种. 由分步乘法计数原理，抽取结果共有个． 故选：C. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 【答案】D 【分析】由题意，分组方案有4，4和3，5及2，6三种情况，利用组合计算每种情况，即可求解. 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①分为4，4的两组时，不会出现两名女生单独成组情况，有种分组方法； ②分为3，5的两组时，有种分组方法； ③分为2，6的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女生单独成组情况， 则有27种符合条件的分组方法，故共有种分组方法. 故选：D 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A．16种 B．20种 C．26种 D．36种 【答案】D 【分析】先让小区去选人，再全排列即可求得结果. 【详解】不同元素的分组分配问题，． 故选：D； 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（   ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】将4名志愿者分成3组，再分配到3个场地即可. 【详解】依题意，将4人按分成3组有种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有种方法， 所以不同的执勤方案有（种）. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 【答案】B 【分析】先将7名护士分组，每组人数分别为，再安排医生并进行全排列即可. 【详解】题意将7名护士分成5个小组，每组人数分别为，共有种安排方法， 则医生被安排到只有1名护士的组别，故不同的安排方法共有（种），故选：B． 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 7．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）定义“分组排列”：先将个不同元素分成组（），再对这组进行全排列.现有6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人，然后将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有（    ）种. A．360 B．120 C．60 D．240 【答案】A 【分析】根据题意，先将6名志愿者，要分成3组，再将3组分配到3个不同的社区服务，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，先将6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人， 共有种不同的分组； 再将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有种. 故选：A. 8．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】分两种情况，求出每种情况下的方案数相加可得结果. 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 9．（2024高三·全国·专题练习）学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】B 【分析】分情况讨论：①美术、街舞都不选；②美术、街舞中选择一个，并结合排列组合知识计算即可 【详解】由题知共有两种情况，第一种情况：美术、街舞都不选，则需从剩余的四个社团中选择三个，共有种选择方法； 第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的四个社团中选择两个，共有种选择方法， 故不同的选择方法共有种． 故选：B 10．（24-25高三上·江西·期末）小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（   ） A．132种 B．114种 C．96种 D．84种 【答案】B 【分析】法一：按3:1:1分组、2:2:1分组报名，应用排列组合、间接法求小明和小红不报同一类选修课的情况数；法二：按3:1:1分组、2:2:1分组报名分别求出小明和小红不报同一类选修课的情况数，即可结果. 【详解】法一：总的情况有种， 若小明和小红报同一类选修课有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 法二：若按照3:1:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 若按照2:2:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 故选：B 11．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 【答案】B 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对公司去的学生人数进行分类讨论，结合分类和分步计数原理可得结果. 【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论： 若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人， 此时有种不同的安排方式. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种. 故选：D. 二、多选题 13．（23-24高二下·广东河源·阶段练习）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（    ） A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B．一共有16种安排方法 C．若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 【答案】AC 【分析】利用分步选取，只要确定影厅放映的电影，剩下的就是给影厅，即可解决问题. 【详解】对于A，按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确； 对于B，按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误； 对于C，按影厅放映的电影一定有《熊出没逆转时间》，则有种安排方法，故C正确； 对于D，按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误． 故选：AC． 14．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 【答案】ABC 【分析】A选项利用组合的知识进行求解；B、C选项利用计数原理进行求解，D选项利用分组分配进行求解. 【详解】对于A，首先从8个顶点中选4个，共有 (种)结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况， 6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是， 所以A正确. 对于B，由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响， 不同方法的种数是，所以B正确. 对于C，我们可以选择1张、2张、3张、4张进行组合； 选择1张时，有4种币值； 选择2张时，有种币值； 选择3张时，有种币值； 选择4张时，有1种币值； 所以一共可以组成15种币值，所以C正确. 对于D，先将4名医生分成两组，有(种)方法， 再分配到两家医院，有 (种)方法， 故共有14种分配方案，所以D错误. 故选：ABC. 15．（23-24高二下·河南濮阳·期末）现有包括小王､小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲､乙､丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是（    ） A．共有243种不同的选择方案 B．若小王､小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案 C．若小王､小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案 D．若只有1名学生去甲公司实习，乙､丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案 【答案】AC 【分析】根据分类分步计数原理，结合排列数和组合数公式依次计算各选项即可得出结果. 【详解】对于A，每名学生都有3种选择方案，根据分步乘法计数原理，知共有种不同的选择方案，故A正确； 对于B，小王、小李都有2种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案， 根据分步乘法计数原理，知共有种不同的选择方案，故 B 错误； 对于C，小王、小李共有种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案， 共有种不同的选择方案，故 C 正确； 对于D，只有1名学生去甲公司实习，有种选择方案，乙、丙两公司均有2名学生实习，有种选择方案， 故共有种不同的选择方案，故D错误. 故选：AC 16．（23-24高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 17．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（    ） A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 【答案】AB 【分析】对于A，根据分步计数原理和优先法可得结果；对于B，根据分步计数原理和插空法可得结果；对于C，运用分组分配法，先分组再分配，可得结果；对于D，至少两名男生，根据分类计数原理可得. 【详解】对于A，甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间三个位置选一个，有种排法，其余三人全排，有种排法，故共有（种）不同的排法，故A正确； 对于B，甲和乙不相邻，则先排其余三人，有种排法， 再在这三人形成的四个空隙中选两个排甲和乙，有种排法， 故共有（种）不同的排法，故B正确； 对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生， 则先分组再分配，先将男生分为一组1人，另一组2人，有种分法， 再将女生分到这两组，有种分法，最后将这两组分配到两项活动，有种分法， 故共有（种）不同的分法，故C错误； 对于D，从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生， 则有两种情况，第一种情况是两名男生一名女生，有种选法， 第二种情况是三名男生，有种选法，故共有（种）不同的选法，故D错误. 故选：AB. 18．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（   ） A．从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件 B．若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法 C．若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法 D．若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 【答案】BCD 【分析】利用反例即可判断A选项，再利用捆绑法可求出BC选项对应的排列情况，对于D选项，利用部分均分组和先分组后排的方法即可。 【详解】对于A，从5名同学中选出的2人可以是1男1女，同时满足至少有一名男同学和至少一名女同学，所以不是对立事件，A错误； 对于B，将须相邻的两名女同学捆绑在一起，则种，B正确； 对于C，将甲、乙、老师三人捆绑，老师在中间，甲乙在两边，则种，C正确； 对于D，将五名同学分组的方法有，“1，1，3”和“1，2，2”两种分法，则共有种排法，D正确. 故选：BCD 三、填空题 19．（2024高三·全国·专题练习）有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 种(用数字作答)． 【答案】 【分析】首先求出甲、乙住在同一个房间的安排方法数，再求出总的分配方法数，从而得解. 【详解】甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是， 而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是， 故不同的住宿安排共有种． 故答案为： 20．（2024高三·全国·专题练习）年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 【答案】14 【分析】先将名学生分为组，然后再分配到种不同体育运动进行宣讲，根据分步乘法计数原理可求结果. 【详解】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 名学生志愿者分为组，共有两种情况： ①一组人，另一组人，共有种；②一组人，另一组人，共有种， 所以共有种分法， 第步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 21．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种. 【答案】126 【分析】先考虑人员分配到学校的不同组合情况，再针对每种情况计算其具体的选派方法数，最后相加即可. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （1）从、、三人中选1人去蒙中，有种选法，剩下4人安排到其余三所学校， 即4人分成2,1,1三组，有种分法，然后将这三组全排列安排这三所学校有种排法， 根据分步原理，这种情况的选派方案有种； （2）从、、三人中选2人去蒙中，有种选法，剩下3人安排到其余三所学校， 有种排法，根据分步原理，这种情况的选派方案有种； 综上可得，共有种不同的选法. 故答案为：126. 22．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为 （用数字作答）． 【答案】4050 【分析】先确定男双、女双配对，剩下两男两女共2种配对混双得方法，再由乘法原理求解即可； 【详解】男双的配对方法种数为，同理，女双的配对方法种数为， 剩下的两男两女中混双的配对方法种数为2，则不同的配对方法种数为． 故答案为：4050． 23．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为 . 【答案】 【分析】利用分组分配求得总的总的情况数，以及分类加法原理求得符合题意的情况数，根据古典概型的概率计算，可得答案. 【详解】依题意，甲，乙，丙，丁四位教师报名三个地区所有的方法数共有种， 甲、乙两人报同一地区的方法数共有， 甲、乙两人不能报同一地区的方法数共有， 甲和乙恰好有一人报地区有如下情况： ①地区只有1人报名，则有种情况； ②地区有2人报名，则有种情况， 所以共有20种情况，所以. 故答案为：. 24．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【分析】利用间接法，对三组人数进行分类讨论，除去甲乙两人在一组的情形，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】利用间接法：将这名大学生分成三组，每组的人数分别为、、或、、或、、，分以下几种情况讨论： 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙所在的一组有人或人， 此时，不同的安排方案种数为. 综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的安排方案种数为种. 故答案为：. 25．（2024·甘肃张掖·一模）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 【答案】5 【分析】间接法：利用分类加法原理求出“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面的情形，利用组合知识求解平均分两组的情形，作差即可求解； 直接法：由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组，利用分类加法原理和组合数求解即可. 【详解】方法一（间接法）：事件“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面是“标号为4的小球是所在组标号最大的”“标号为3的小球是所在组标号最小的”至少一个成立. 当标号分别为3和4的小球不在同一组时，有124，356一种分法， 且“标号为4的小球是所在组标号最大的”和“标号为3的小球是所在组标号最小的”同时成立. 当标号分别为3和4的小球在同一组时， 若“标号为4的小球是所在组标号最大的”成立，则有134，256和234，156两种分法； 若“标号为3的小球是所在组标号最小的”成立，则有126，345和125，346两种分法． 综上，不符合题意的分法有5种. 将6个小球平均分成两组，有种分法，所以符合题意的分法有种． 方法二（直接法）：当标号分别为3和4的小球在同一组时， 不论和它们在一组的小球的标号是1，2，5，6中的哪一个， “标号为4的小球不是所在组标号最大的”和“标号为3的小球不是所在组标号最小的”不能同时成立， 所以标号分别为3和4的小球不在同一组. 由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组． 故符合题意的分组方式有种． 故答案为：5 【点睛】 方法点睛：对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题；组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理． 四、解答题 26．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 27．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. (1)若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法？ (2)若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法？ 【答案】(1)36 (2)25 【分析】（1）首先确定分组情况，再按照组合数公式求解； （2）根据分组情况，以及丙和丁所在组，再结合分组公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，两组的人数分别为1、7或2、6， 所以分组种数为， （2）由题意可知，分组的人数分别为1、2、3或2、2、2或1、1、4， ①1、2、3的分组情况，因为丙和丁在同一组，若丙和丁在2人的组里，共有种情况，若丙和丁在3人组里，有种情况， ②2、2、2的分组情况，丙和丁在同一组，另外4人均分为2组，共有种情况， ③1、1、4的分组情况，丙和丁在4人的一组，共有种情况， 所以一共有种情况. 28．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访． (1)每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？ (2)如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？ (3)若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得； （2）先分组，再分配，部分平均分组，需要除以组（平均的组）数的全排列； （3）分小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得. 【详解】（1）每位老师都只安排到一个住宅小区， 则每位老师都有种安排方法， 所以不同的安排方法有种； （2）先将人分成人数为或的三组， 再将分好的三组安排到三个小区， 则不同的安排方法有种； （3）分两种情况， 第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区， 再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区， 则不同的安排方法为种； 第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区， 再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种， 所以不同的安排方法种数为种. 29．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】(1)120 (2)144 (3)540 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 30．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）90；（4）360；（5）1560 【分析】（1）利用平均分组分配，结合排列组合即可求； （2）根据部分平均分组，结合排列组合即可求解； （3）根据给定条件，利用组合计数问题、结合分步乘法计数原理列式计算即得； （4）根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解； （5）分4位同学分得的书本数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可. 【详解】（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法； （2）无序部分均匀分组问题：共有＝15（种）分法； （3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法， 同时3人不同，需要排序，故有（种）分配方式； （5）分两类： 第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 由加法原理，知共有种不同分法. 31．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）420；（2）150；（3）37. 【分析】（1）按个位数字是否为0分类，结合排列计数问题列式求解. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组，再利用全排列列式求解. （3）根据给定的信息，按擅长两种书法的选与不选分类，结合组合计数问题求解. 【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类： 个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个， 所以没有重复数字的四位偶数的个数是. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为， 将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法， 所以不同的放法种数为. （3）求不同选法种数，有三类办法： 擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种； 擅长两种书法的选2人，有种， 所以不同选法种数是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展04 分组与分配问题5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学的知识体系中，排列组合中的分组与分配问题是极具综合性与灵活性的内容。它主要研究如何将若干个元素按照特定要求进行分组，并将这些组分配到不同的对象中。这部分内容不仅涉及到对数学原理的深刻理解，如分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考验学生的逻辑思维、分析问题以及准确计算的能力。通过解决这类问题，能够培养学生严谨的数学思维模式，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在高考中，分组与分配问题常常与其他知识点结合出现，以多种形式进行考查，如选择题、填空题和解答题，具有较高的区分度，是学生必须掌握的重点内容之一。 【处理角度】 1. 准确分类与分步：面对分组与分配问题，首先要明确是分类还是分步处理。分类时需确保各类情况相互独立且涵盖所有可能，分步则要保证每一步的操作合理有序，且各步之间相互关联，共同构成完成任务的完整过程。 2. 区分分组与分配：清晰区分分组和分配的概念。分组是将元素按照一定规则分成不同的组，只关注组内元素的构成；而分配是在分组的基础上，将这些组对应到不同的对象，需要考虑组与对象之间的对应关系。 3. 关注元素特性：仔细分析元素的特点，包括元素是否相同、是否有特殊限制条件等。对于相同元素，分组方法与不同元素有所不同；对于有特殊限制的元素，如某些元素必须在同一组或不能在同一组，需优先考虑这些特殊情况，再进行后续的分组与分配操作。 4. 运用计数原理：合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理。分类时，将各类情况的方法数相加；分步时，把每一步的方法数相乘，从而得到总的方法数。 【解法策略】 1. 均匀分组分配问题：对于均匀分组，先按照正常的组合方式进行分组操作。由于均匀分组会出现重复情况，所以需要除以重复的组数的全排列，以消除重复计算。完成分组后，再将这些组分配到不同的对象中，按照分步乘法计数原理，将分组的方法数与分配的方法数相乘，得到最终的分配方案数。 2. 部分均匀分组分配问题：先根据题目要求确定分组的方式，对于部分均匀的组，同样要考虑重复情况并进行相应处理。例如，有两组元素个数相同的部分均匀分组，需除以这两组的全排列以消除重复。然后，将分好的组按照分步乘法计数原理分配到不同对象，计算出总的分配方法数。 3. 不等分分组分配问题：按照题目给定的不同组的元素个数要求，依次进行分组操作。每完成一组的选取，就在剩余元素中继续选取下一组，直到所有组都确定。分组完成后，再将这些组分配到对应的对象，通过分步乘法计数原理计算总的分配方案数。 4. 有限制条件的分组分配问题：优先处理限制条件。如果有元素必须在同一组或不能在同一组，先将这些元素按照要求进行组合或排除。然后，对剩余元素进行常规的分组操作，注意分组过程中仍要遵循分组的基本原则，如避免重复。完成分组后，再进行分配，根据分步乘法计数原理得出满足条件的分配方案数。 5. 相同元素分组分配问题：对于相同元素的分组问题，常采用隔板法。若允许有空组，可先增加与组数相同数量的虚拟元素，将问题转化为不允许有空组的情况。然后，在这些元素形成的空位中插入隔板，隔板的插入方法数就是分组的方法数。若不允许有空组，则直接在元素之间的空位插入隔板。分组完成后，再根据具体的分配要求进行分配操作。 考点1 均匀分组分配问题 1．（21-22高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有 种不同的分法． 3．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 4．（2022高三·全国·专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成每组都是2本的三组； (2)分给甲、乙、丙三人，每个人2本． 考点2 部分均匀分组分配问题 5．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了6门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选1门，至多选3门，大二到大四这三学年必须将6门公共必修课程全部选完，则每位同学的不同选择方式有 . 6．（24-25高二下·北京·阶段练习）将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．60种 C．90种 D．180种 7．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答) 8．（24-25高二下·天津蓟州·阶段练习）个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.不同放法种数是 （用数字作答）． 9．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）我校高三5位数学老师参加自治区组织的3种不同形式的高考研讨活动，每个老师参加一项研讨活动，每项活动至少一位老师参加，共有几种参加方法（  ） A．150 B．90 C．60 D．36 10．（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 考点3 不等分分组分配问题 11．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 12．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种． 考点4 有限制条件的分组分配问题 13．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（    ） A．48 B．36 C．18 D．12 14．（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 15．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 16．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（   ） A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种 17．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 18．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 20．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 21．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答） 22．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）. 考点5 相同元素分组分配问题 23．（21-22高二下·湖北·期中）将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法．（结果用数字作答） 24．（21-22高二下·江苏淮安·阶段练习）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法.（结果用数字作答） 25．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有 种．（用数字作答） （2）将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A．16种 B．20种 C．26种 D．36种 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（   ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 5．（2025高三·全国·专题练习）某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 7．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）定义“分组排列”：先将个不同元素分成组（），再对这组进行全排列.现有6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人，然后将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有（    ）种. A．360 B．120 C．60 D．240 8．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 9．（2024高三·全国·专题练习）学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 10．（24-25高三上·江西·期末）小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（   ） A．132种 B．114种 C．96种 D．84种 11．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题 13．（23-24高二下·广东河源·阶段练习）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（    ） A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B．一共有16种安排方法 C．若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 14．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 15．（23-24高二下·河南濮阳·期末）现有包括小王､小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲､乙､丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是（    ） A．共有243种不同的选择方案 B．若小王､小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案 C．若小王､小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案 D．若只有1名学生去甲公司实习，乙､丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案 16．（23-24高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 17．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（    ） A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 18．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（   ） A．从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件 B．若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法 C．若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法 D．若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 三、填空题 19．（2024高三·全国·专题练习）有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 种(用数字作答)． 20．（2024高三·全国·专题练习）年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 21．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种. 22．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为 （用数字作答）． 23．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为 . 24．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 25．（2024·甘肃张掖·一模）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 四、解答题 26．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 27．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. (1)若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法？ (2)若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法？ 28．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访． (1)每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？ (2)如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？ (3)若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？ 29．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 30．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 31．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$