精品解析：辽宁省营口市大石桥第一初级中学2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级上学期期中数学试题 一、单选题（每题3分 共30分） 1. 在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A. 40° B. 30° C. 25° D. 20° 5. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，判断的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A. △ABC与△ABD不全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 7. 对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1012 8. 如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ） A. 18° B. 25° C. 30° D. 45° 9. 如图，ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，BCD的面积为10，ACD的面积为6，则ABC的面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 15 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分 共24分） 11. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 12. __________． 13. 等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是______ 14. 如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则______． 15. 如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1+∠2的度数为_____°． 16. 如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ________． 17. 如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 _____． 18. 如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有_______________． 三、解答题 19. （1）请画出△ABC关于y轴对称 (其中、、分别是A、B、C的对应点)； （2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______， _______，________． （3）求出△ABC的面积． 20. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 21. 如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂足为点F，交于点G． （1）求证：平分． （2）若，，求的度数． 22. 如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）若与交于点O，当时，求的长． 23. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在射线上截取，连接、．猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 24. 如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示：______，______； （2）当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； （3）在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 25. 如图1，，，直线是经过点A的直线，于D，于E，则． （1）如图2，中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． （2）如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，，，三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （3）如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等， ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中数学试题 一、单选题（每题3分 共30分） 1. 在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念进行分析即可． 【详解】解：A．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该标志是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以完全重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方是解题的关键． 根据积的乘方、同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方进行计算即可判断． 【详解】解：A．，故本项不符合题意； B．，故本项不符合题意； C．，故本项符合题意； D．，故本项不符合题意； 故选：C． 3. 用下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D．∵， ∴这三条线段能组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A. 40° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到∠BA′D＝∠A＝65°，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，∠BA′D＝∠A＝65°， ∵∠ABC＝90°，∠A＝65°， ∴∠C＝25°， ∴∠A′DC＝∠BA′D﹣∠C＝40°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查折叠问题及三角形外角的性质，根据折叠得出∠BA′D＝∠A＝65°是解题的关键. 5. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，判断的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，从而可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 6. 如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A. △ABC与△ABD不全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断； 【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 7. 对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 8. 如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ） A. 18° B. 25° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出正方形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵正方形的每个内角的度数是90°， 正六边形的每个内角的度数是=120°， ∴∠1=120°-90°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和等知识点，能分别求出正方形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键． 9. 如图，ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，BCD的面积为10，ACD的面积为6，则ABC的面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】分别延长BC、AD交于点E，证明△BDA≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AD=DE，根据三角形的面积公式得到S△EDC=S△ADC=6，计算即可． 【详解】解：延长AD、BC相交于E，如图所示： ∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， 在△ABD和△EBD中， ∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴AD＝ED， ∴S△ABD＝S△EBD，S△CDE＝S△ACD＝6， ∵S△BCD＝10， ∴S△ABD＝S△EBD＝S△BCD+S△CDE＝10+6＝16， ∴S△ABC＝S△ABE－S△ACE＝16×2－6×2＝20， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴结论①不正确，结论②正确； 过点作于点，过点作于点，连接， ∵平分，OC平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴结论③正确， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴结论④正确， ∴正确的结论有：②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键． 二、填空题（每题3分 共24分） 11. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方的逆用．积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的'幂相乘．解题的关键是掌握积的乘方运算法则并学会逆用． 13. 等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分底角为和顶角为讨论求解即可． 【详解】解：当底角为，即该三角形的底角为， 当顶角为时，则该三角形的底角为， 综上所述，该三角形的底角为或， 故答案为；或． 14. 如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1+∠2的度数为_____°． 【答案】270 【解析】 【分析】由直角三角形的性质求出∠A＋∠B＝90°，再由四边形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∵∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°−90°＝270°， 故答案为：270． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质以及四边形内角和定理，熟练掌握三角形和四边形内角和定理是解题的关键． 16. 如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质．过点C作，垂足为H，连接，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，连接， ∵， ∴是边上的中线， ∴垂直平分，直线是等腰的对称轴， ∴， ∵点M、N分别是线段上的动点， ∴， ∴当点M、N、C三点共线且点M与点H重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是4． 故答案为：4． 18. 如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有_______________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据平分，平分，，推出，进而得，证明； ②通过，推出为的中点； ③由，推出，得出的长； ④由①②③可得的面积等于四边形的面积为27，再根据及面积公式求出的长． 【详解】解：， ，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，①正确； ，， ，， ， ，， 为的中点；②正确； ， ， ，③正确； 四边形的面积为27， 由①②③可得的面积为27， ， ， ， ， ， 的长为18， ④正确． 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握两个知识点的综合应用是解题关键． 三、解答题 19. （1）请画出△ABC关于y轴对称 (其中、、分别是A、B、C的对应点)； （2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______， _______，________． （3）求出△ABC的面积． 【答案】 （1）描出各点，顺次连接各点； （2）(2，3)，(3，1)，(-1，-2)； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2），关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，写出，，，描点，顺次连接各点； （2）根据（1）所得点的坐标，，书写； （3）根据割补法解答，用梯形面积公式和三角形面积公式计算，把一个直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积即得． 【详解】（1）∵A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2）， ∴，， （2）由（1）知，，，； 故答案为：(2，3)，(3，1)，(-1，-2)； （3） ． 故△ABC的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图：作轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，梯形面积公式和三角形面积公式，用割补法计算图形的面积． 20. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 21. 如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂足为点F，交于点G． （1）求证：平分． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质得出，从而得出，最后根据等腰三角形的性质即可得出平分； （2）根据，，得出，再根据角平分线的性质得出，从而得出，最后根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 平分， ， ， ． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）若与交于点O，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边三角形，等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 23. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在射线上截取，连接、．猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】 解：猜想：，，证明如下： 证明：， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，利用全等得出，再利用三角形外角的性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】略 24. 如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示：______，______； （2）当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； （3）在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 【答案】（1），； （2） 解：，理由如下： ∵点Q是中点， ∴， ∴此时， ∴， 过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 即点P与点H重合， ∴； （3）能， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等边三角形的性质得，再根据动点的运动方向以及速度，即可作答； （2）分别算出点Q是中点，，运动时间是秒，，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （3）因为与全等，故分类讨论，即或，再根据对应边相等列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动． ∴， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，且与全等， ∴当时，则， ∴， 即（舍去）； ∴当时，则， ∴， 即， 综上：在点P、Q的运动过程中，当时，． 25. 如图1，，，直线是经过点A的直线，于D，于E，则． （1）如图2，中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． （2）如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，，，三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （3）如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等， ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴，， ， 在和中， ， ，， ， ； （2）不成立， （3）①5；②互为相反数 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，可得结论； （3）由“”可证，可得，，列出等式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结论不成立，，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 ①如图4，过点作轴于，过点作轴于， 设， ， ， ， 又， ， ，， 顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点落在第四象限， ，，， ，， ， ． ②设 由①得，，， ，， ∴横纵坐标互为相反数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $