1.2 集合的基本关系题型分类 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.2集合的基本关系题型分类 题型汇总 【题型1 判断集合的子集（真子集）的个数】 【题型2 求集合的子集（真子集）】 【题型3 判断两个集合是否相等】 【题型4 根据集合相等求参数】 【题型5 空集的概念判断以及性质与应用】 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【题型7 判断元素与集合，集合与集合的包含关系】 【题型8 根据集合的包含关系求参】 【题型9集合关系的新定义】 【巩固练习】 知识点解读 1. 子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 集合是集合的子集可用图表示如下： 或 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2.真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为 （或）， 读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）. 集合是集合的真子集可用图表示如右. 3.集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为 . 集合与集合相等可用图表示如右. 4.空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 题型分类练习 【题型1 判断集合的子集（真子集）的个数】 1.若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 4．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 5．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 6.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 7.设集合均为质数的真子集的个数为 ． 【题型2 求集合的子集（真子集）】 1.（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 2.集合的子集有 ；其中真子集有 ． 3（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 4.设集合，列出集合A 的子集. 5.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 6.已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 7.已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【题型3 判断两个集合是否相等】 1.给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 4.（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 5.（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 6．（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 7.已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【题型4 根据集合相等求参数】 1.已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 3.已知，若，则 ． 4．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 5．已知集合，若，则 . 【题型5 空集的概念判断以及性质与应用】 1.下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 2.下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 3.下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 4.下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 6.（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7.若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 9.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 10．已知集合，则实数k的取值范围是 . 【题型6 Venn图表示集合的关系】 1.下列表示集合和的关系的Venn图正确的是． A． B． C． D． 2．已知集合，则M与N的关系可用Venn图表示为（    ） A． B． C． D． 3．能正确表示集合和集合的关系的Venn图是(　　) A． B． C． D． 4 ．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7 判断元素与集合，集合与集合的包含关系】 1.下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 4．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 7.．，A、B、C之间有什么关系？ 8．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【题型8 根据集合的包含关系求参】 1.已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 2．已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 3.已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 7．已知集合，，且，则实数的值为 . 8.若集合，，且，求实数的值. 9.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 10.已知集合，，且，求实数的取值范围． 11．已知集合，，若，求实数的取值范围． 12．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 13．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【题型9集合关系的新定义】 1.对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2.（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 3.设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 4.对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 5.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． (1)若，求的存在共轭集合； (2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； (3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 巩固练习 【选择题】 1.设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2.下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4.下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 7.已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（多选）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【填空题】 1.集合的非空子集的个数为 . 2.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 3.已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 4.集合的子集有 ；其中真子集有 ． 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 6．已知集合，，且，则实数的值为 . 【解答题】 1.已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 2.已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 3.集合，，若，求的值． 4.若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 5.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 7．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 8.已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 9.含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合的基本关系题型分类 题型汇总 【题型1 判断集合的子集（真子集）的个数】 【题型2 求集合的子集（真子集）】 【题型3 判断两个集合是否相等】 【题型4 根据集合相等求参数】 【题型5 空集的概念判断以及性质与应用】 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【题型7 判断元素与集合，集合与集合的包含关系】 【题型8 根据集合的包含关系求参】 【题型9集合关系的新定义】 【巩固练习】 知识点解读 1. 子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 集合是集合的子集可用图表示如下： 或 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2.真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为 （或）， 读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）. 集合是集合的真子集可用图表示如右. 3.集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为 . 集合与集合相等可用图表示如右. 4.空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 题型分类练习 【题型1 判断集合的子集（真子集）的个数】 1.若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据子集的定义直接求解即可. 【详解】若集合有个元素，则其子集个数为， 所以的子集个数为. 故选：A 2．已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 4．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 5．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 6.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 7.设集合均为质数的真子集的个数为 ． 【答案】31 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其真子集个数. 【详解】依题意，， 所以集合的真子集的个数为. 故答案为：31 【题型2 求集合的子集（真子集）】 1.（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出集合的所有子集即可得解. 【详解】集合的子集为． 故选：ABD 2.集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 3（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 4.设集合，列出集合A 的子集. 【答案】A的子集为 【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集. 【详解】由化简可得， 所以A的子集为 5.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 6.已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 7.已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【题型3 判断两个集合是否相等】 1.给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，中只有一个元素， 中有两个元素，，故，不是相等的集合； 对于B，，，是空集，中有一个元素， 故，不是相等的集合； 对于C，，，和中各有一个元素，但元素不相同，故，不是相等的集合； 对于D，解一元二次方程可得，或，故， 解一元二次方程可得，或，故， 和都只有两个元素，，所以和是相等的集合． 故选：D． 2．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 3.集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 4.（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 5.（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【分析】将各集合用列举法表示，判断集合是否与相等，即可得答案. 【详解】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合. 故选：AB 6．（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 7.已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 【题型4 根据集合相等求参数】 1.已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 2．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 3.已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 4．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 5．已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【题型5 空集的概念判断以及性质与应用】 1.下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 2.下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 3.下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 4.下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 5．下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【答案】D 【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果 【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错； B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错； C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错； D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确. 故选：D. 6.（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断. 【详解】由题意得，， 则且，可得A，C，D正确. 故选：ACD. 7.若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 8.若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 9.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 10．已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 【题型6 Venn图表示集合的关系】 1.下列表示集合和的关系的Venn图正确的是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法表示,根据与的关系判断Venn图即可 【详解】由,即,可知, 故选B 【点睛】本题考查列举法表示集合,Venn图表示集合之间的关系 2．已知集合，则M与N的关系可用Venn图表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合关系与Venn图的关系判断． 【详解】由已知，选项D符合． 故选：D． 3．能正确表示集合和集合的关系的Venn图是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先解出中的一元二次方程，再利用集合间关系的判断以及用venn图表示集合的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，易得为方程的解集，解可得或，则， 而，易得；分析选项可得，B符合； 故选：B. 4 ．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【题型7 判断元素与集合，集合与集合的包含关系】 1.下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等和集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，故，A错； 对于B选项，，， 故，B对； 对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错； 对于D选项，， 故，D错. 故选：B. 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 3．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【分析】由集合，即可判断集合间的关系. 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 4．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 5．若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 6.已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 7.．，A、B、C之间有什么关系？ 【答案】（子集符号也可以写出真子集）. 【分析】根据包含关系分析判断. 【详解】因为，可知， 所以（子集符号也可以写出真子集）. 8．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【题型8 根据集合的包含关系求参】 1.已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 2．已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 3.已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【分析】由得或求出值，并根据集合元素互异性检验得解. 【详解】因为，当，即时，，，符合题意； 当，即时，，，符合题意． 综上，或． 故选：D． 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合间的包含关系求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以实数的取值范围是， 故选:D. 5.已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 6.已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以． 故答案为： 7．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 8.若集合，，且，求实数的值. 【答案】或0 【分析】根据，可分类讨论，，时的值，从而可求解. 【详解】由题意知， 当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 9.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 10.已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 11．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 12．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 13．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【题型9集合关系的新定义】 1.对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 2.（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 3.设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先列举出两个元素和的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解. 【详解】集合中任取两个元素和对应坐标计算结果如下表： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 因为当，时，为偶数，所以集合中任一元素含有1的个数为0，2或4， 分别如下：①；②，，，，，；③， 根据题意，可知集合中至多含以上8个元素．当和不同时，因为为奇数， 所以和的四个对应位置都为1的恰有1个或3个， 若中不含第②类元素，则中至多1个元素， 若中含第②类元素，不妨设，则第①和③类的两个元素不在中， 对于第②类元素中，不在中，其余都可以是的元素， 所以集合中元素个数的最大值为5， 故答案为：. 4.对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）代入，根据列出方程求解出的值，则结果可知； （2）代入，根据列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果； （3）根据进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）时，设，由，得， 所以，即， 得或1，故或. （2）时，，由，得， 得或，即或， 当时，是方程的两根，故， 当时，两式相减得， 由集合中元素的互异性得，所以， 故，即，同理， 故是方程的两根，所以， 故ab的所有取值构成的集合为. （3）设，由，得， ①若，故是方程的三个不等的实数根， 而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立； ②若，当时，，令，得， 对，，两式相减得，因为，所以， 代入，得，同理， 故为方程的两个不相等的实根，令，得， 当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意； ③若，则， 由得， 则，， ， 得，因为， 所以，令, 则由上式得, ， ， 所以，即此种情况下， 综上，实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题属于集合中的新定义问题，解答问题的关键在于对定义的理解；前两问通过将新定义的集合中元素关系转化为方程问题进行直接求解；第三问需要对可能成立的方程组进行是否有解的分析与判断，注意元素的不同对应关系. 5.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． (1)若，求的存在共轭集合； (2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； (3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)4. 【分析】（1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件①结合条件②推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件①和条件②逐步分析得即可由得解. 【详解】（1）因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. （2）不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即. （3）不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 巩固练习 【选择题】 1.设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 2.下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可. 【详解】由题意可得：， 所以，，，，即不是集合M的子集， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 4.下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 5.已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 6.设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系列出方程，求解检验即得. 【详解】由题意，，则有或，解得或， 显然当时，集合中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾， 而时，，，满足. 故选：B. 7.已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 8.（多选）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】CD 【分析】根据空集的定义以及元素与集合、集合与集合之间的基本关系逐一判断即可求得结果. 【详解】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误； 任一集合是它自身的子集，即，所以B错误； 集合有一个元素为，即，所以C正确； 空集任何集合的子集，所以，即D正确. 故选：CD 【填空题】 1.集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 2.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合 中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 3.已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 【答案】5 【分析】写出集合的所有非空子集，然后根据题意列出等式，化简即可求解. 【详解】集合的非空子集有， 依题意, 所以 故答案为：5. 4.集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以． 故答案为： 6．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 【解答题】 1.已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 2.已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 3.集合，，若，求的值． 【答案】6 【分析】根据集合相等的定义，由根与系数关系求解． 【详解】由题意，，则，所以，解得． 4.若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用根的判别式可解. 【详解】依题意，一元二次方程无实根， 则， 即，解得. 5.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 6．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 7．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 8.已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 9.含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$