2025年高考数学之数列通项公式的常见求法

2025高考数学之数列通项公式的常见求法 一、目录 二、数列通项公式的常见求法 1 题型一、公式法求数列通项 1 题型二、累加法求数列通项 2 题型三、累乘法求数列通项 2 题型四、与的关系法求数列通项 3 题型五、构造法求数列通项 3 题型六、倒数法求数列通项 4 三、巩固提升 5 二、数列通项公式的常见求法 题型一、公式法求数列通项 例1.在等差数列中，，，则（ ） A.2015 B.2017 C.2019 D.2021 例2.已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C.9 D.16 变式训练2.已知等差数列中，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 变式训练3.已知公差不为0的等差数列的首项为1，且成等比数列，则__________. 变式训练4.已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则______. 题型二、累加法求数列通项 例1.在数列中，，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.在数列中，，则（ ） A.5 B. C.4 D. 变式训练2.画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ） A.部分 B.部分 C.部分 D.部分 变式训练3.已知数列中，，，则_______. 变式训练4.将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 题型三、累乘法求数列通项 例1.已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列满足，其中，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知{an}满足，，则的值为（ ） A.48 B.96 C.120 D.130 变式训练2.已知，，则数列的通项公式是（ ） A.n B. C.2n D. 变式训练3.数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 变式训练4.已知数列满足，，，则__________. 题型四、与的关系法求数列通项 例1.若等比数列的前项和，则（ ） A. B.0 C.1 D.2 例2.设为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A.1 B.2 C.4 D.9 变式训练2.数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ） A. B. C. D. 变式训练3.已知是数列的前项和，若，，则数列的前项和为______. 变式训练4.已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 题型五、构造法求数列通项 例1.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 例2.若数列、满足，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列满足，则的通项公式（ ） A. B. C. D. 变式训练2.在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 变式训练3.已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________. 变式训练4.设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 题型六、倒数法求数列通项 例1.在数列中，，，则（ ） A. B. C. D.100 例2.已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列中，，，则数列的前10项和（ ） A. B. C. D.2 变式训练2.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 变式训练3.在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 变式训练4.已知数列中，，且满足，则______. 三、巩固提升 1.已知数列，则该数列的第99项为（ ） A. B.197 C. D.199 2.已知数列的通项公式为，则195是数列的（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 3.已知数列的前项和，则（ ） A.13 B.14 C.17 D.18 4.已知为数列的前项和，，则（ ） A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 5.在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ） A.0 B.18 C.10 D.9 6.已知数列满足，则（ ） A.2 B. C. D. 7.已知正项数列满足，若，则（ ） A. B.10 C. D.5 8.数列满足且，则（ ） A. B. C. D. 9.已知数列满足，，则（ ） A.2024 B.2025 C. D. 10.已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 11.已知数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 12.数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______. 13.若数列满足：，则的通项公式为___________. 14.已知数列的通项公式为，且 （1）求的通项公式； （2）判断数列的增减性，并说明理由 15.已知数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求数列的通项公式. 16.已知数列中，，且满足.设，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学之数列通项公式的常见求法 一、目录 二、数列通项公式的常见求法 1 题型一、公式法求数列通项 1 题型二、累加法求数列通项 3 题型三、累乘法求数列通项 6 题型四、与的关系法求数列通项 9 题型五、构造法求数列通项 12 题型六、倒数法求数列通项 14 三、巩固提升 17 二、数列通项公式的常见求法 题型一、公式法求数列通项 例1.在等差数列中，，，则（ ） A.2015 B.2017 C.2019 D.2021 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 由，得，整理得，解得， 因此等差数列的通项公式， 所以. 故选：B 例2.已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列， 设的公差为，则，解得， 所以. 故选：B 变式训练1.已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C.9 D.16 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 变式训练2.已知等差数列中，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设出基本量，利用等差数列的性质求出公差和首项，再求出通项公式即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 即，解得，因为，所以， 解得，则，得到，故A正确. 故选：A 变式训练3.已知公差不为0的等差数列的首项为1，且成等比数列，则__________. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等比中项列出方程，求解得的值，利用等差数列通项的基本量运算即可求出. 【详解】因成等比数列，则， 设等差数列的公差为（公差不为0），则，解得 故. 故答案为：. 变式训练4.已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则______. 【答案】 【分析】由得出，由是与的等差中项得出，根据等比数列通项公式计算即可. 【详解】由等比数列得，，， 因为，所以，即，化简得， 因为是与的等差中项，所以，即， 化简得，解得，则， 得到. 故答案为： 题型二、累加法求数列通项 例1.在数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】首先由条件转化为，再利用裂项，累加法求通项. 【详解】[因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以. 故选：B 例2.已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】结合递推式，当时，利用累加法求，再求，由此确定 【详解】因为满足， 所以，，，， 所以， 又，所以当时，， 又， 所以，. 故选：A. 变式训练1.在数列中，，则（ ） A.5 B. C.4 D. 【答案】A 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即， 所以 故选：A. 变式训练2.画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ） A.部分 B.部分 C.部分 D.部分 【答案】B 【分析】设画条线把圆最多分成部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式. 【详解】设画条直线，将圆最多分割成部分， 则，， 因此， 相加得：， 所以， 当，，符合上式，所以， 故选：B. 变式训练3.已知数列中，，，则_______. 【答案】 【分析】利用累加法和等比数列求和来求解即可. 【详解】由已知得， 再由累加法得：. 故答案为： 变式训练4.将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 【答案】1275 【分析】根据“拐弯数”找出规律，设数列，，，，……，可推出得数列的递推公式，利用叠加法求解即可. 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 题型三、累乘法求数列通项 例1.已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 例2.已知数列满足，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，. 由累乘法，得， 即， 又，所以. 故选：C. 变式训练1.已知{an}满足，，则的值为（ ） A.48 B.96 C.120 D.130 【答案】B 【分析】利用等差数列的定义和通项公式，结合累乘法进行求解即可. 【详解】因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 于是当时，， 即， 所以， 故选：B 变式训练2.已知，，则数列的通项公式是（ ） A.n B. C.2n D. 【答案】C 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C. 变式训练3.数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 变式训练4.已知数列满足，，，则__________. 【答案】128 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 题型四、与的关系法求数列通项 例1.若等比数列的前项和，则（ ） A. B.0 C.1 D.2 【答案】A 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比， 所以，解得. 故选：A. 例2.设为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据的关系以及等比数列即可求解. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即. 当时，，解得. 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以. 故选：B. 变式训练1.已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A.1 B.2 C.4 D.9 【答案】C 【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解. 【详解】由，，成等差数列，得，则， 即，因此等比数列的公比， 所以. 故选：C 变式训练2.数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， ①-②得，， 又，满足，所以， 所以， 所以. 故选：C. 变式训练3.已知是数列的前项和，若，，则数列的前项和为______. 【答案】 【分析】利用和的关系可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式及前项和. 【详解】由已知， 则，即， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 则数列为等差数列， 所以数列的前项和. 故答案为：. 变式训练4.已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又，则，即， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以. 故答案为： 题型五、构造法求数列通项 例1.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故. 故选：C 例2.若数列、满足，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】又已知可得，可知数列为等差数列，进而可得解. 【详解】因为，，所以， 又，， 则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则数列的前项和为， 故选：C. 变式训练1.已知数列满足，则的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由递推公式得为等比数列，再由等比数列的通项公式求解， 【详解】由得，而， 故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. 故选：D 变式训练2.在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【分析】先将已知等式变形，构造等差数列，利用等差数列的通项公式求，再结合二次函数的图象与性质即可求得当取得最大值时的值. 【详解】由，得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 易知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，（因为，所以）. 故选：B. 变式训练3.已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 变式训练4.设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】将变形为，然后利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 题型六、倒数法求数列通项 例1.在数列中，，，则（ ） A. B. C. D.100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 例2.已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D. 变式训练1.已知数列中，，，则数列的前10项和（ ） A. B. C. D.2 【答案】C 【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 所以， 所以数列的前10项和. 故选：C. 变式训练2.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题设易得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列，进而求出，进而求解即可. 【详解】对两边取倒数，所以， 则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，则，所以. 故选：C. 变式训练3.在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解. 【详解】在中，， 由可得， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以， 故选：A. 变式训练4.已知数列中，，且满足，则______. 【答案】 【分析】取倒数即可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 三、巩固提升 1.已知数列，则该数列的第99项为（ ） A. B.197 C. D.199 【答案】B 【分析】通过观察数列的规律，写出其通项公式，根据通项公式求项即可. 【详解】通过观察，该数列的通项公式为， 所以. 故选：B. 2.已知数列的通项公式为，则195是数列的（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】由，结合， 得： 解得：， 故选：B 3.已知数列的前项和，则（ ） A.13 B.14 C.17 D.18 【答案】A 【分析】根据求值. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 4.已知为数列的前项和，，则（ ） A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【答案】D 【分析】利用，得，当时，由即可推出即可得解. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由得， 两式相减可得，即. 因为，所以， 可得，所以2024. 故选：D. 5.在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ） A.0 B.18 C.10 D.9 【答案】C 【分析】利用数列的递推公式顺次求解其项，可知数列为周期数列，据其周期求和即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， ，，，，…， 故数列为周期数列，周期为4， 所以. 故选：C. 6.已知数列满足，则（ ） A.2 B. C. D. 【答案】C 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 7.已知正项数列满足，若，则（ ） A. B.10 C. D.5 【答案】B 【分析】根据方程组法求得时，进而，结合求解即可. 【详解】因为， 当时，， 两式相减得：，， 当时，，，又，解得. 故选：B 8.数列满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】令，得到，构造等比数列，然后求出通项公式，然后即可得解. 【详解】令，由题意可得， 所以， 所以，又，所以 数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 所以， 故选：C. 9.已知数列满足，，则（ ） A.2024 B.2025 C. D. 【答案】D 【分析】先利用条件得，再根据为等差数列求解即可. 【详解】由得， 所以为公差为的等差数列，又， 所以， 则 故选：D. 10.已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 【答案】 【分析】由数列前项和求出数列通项，从而得到新的数列通项，然后利用裂项相消求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 所以. 所以， 所以. 故答案为：. 11.已知数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解. 【详解】 所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以. 故选：C 12.数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______. 【答案】 【分析】利用，可求出时，的表达式，然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时，， 当时，， 显然不符合， 故通项公式. 故答案为：. 13.若数列满足：，则的通项公式为___________. 【答案】 【分析】通过递推关系式可变形为，可得是一个常数列，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列，， 因此通项公式为. 故答案为：. 14.已知数列的通项公式为，且 （1）求的通项公式； （2）判断数列的增减性，并说明理由 【答案】（1） （2）单调递减，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求出通项； （2）利用递推作差分析即可判断单调性. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以； （2）因为， 所以，即是递减数列. 15.已知数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）由题设递推式写出，； （2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论； （3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式. 【详解】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 16.已知数列中，，且满足.设，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）依题意可得，即，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式； （2）利用累加法及等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）因为， 所以当时， ，又也满足上式， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$