精品解析： 福建省漳州市平和广兆中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024－2025平和广兆中学九上第一章测试 学校：_______姓名：________班级：________考号：________ 一、单选题 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的边、角及对角线的性质逐个选项分析即可． 【详解】解：A、矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故A不符合题意； B、菱形的对角线可能不相等，故B不符合题意； C、矩形的对角线可能不垂直，故C不符合题意； D、菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 2. 下列命题中是真命题的选项是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 三条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．四条边都相等四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； 故答案选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 3. 如图，在中，，，点D为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 4. 菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于菱形的对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为4和6， ∴菱形的面积为∶， 故选：A． 5. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图， 根据题意得，是中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 6. 如图，矩形中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得出，又因为，因此是等边三角形，从而有． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质，牢记矩形的性质是解此题的关键． 7. 如图，已知□ABCD对角线，相交于点O，下列选项能使□ABCD成为菱形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且， ∴平行四边形ABCD是菱形，故A选项正确； 若，则平行四边形ABCD是矩形，故B选项错误； 若，则平行四边形ABCD是矩形，故C选项错误； 若，则，则平行四边形ABCD是矩形，故D选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么，由三角形的外角性质求得的度数，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：正方形对角线平分直角，故， 又∵， ∴． ∵正方形中， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 9. 如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴A、B、C说法正确，不符合题意， 根据现有条件无法证明， ∴D说法错误， 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中，根据，即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，， ， ， 中，根据， 即, 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键． 二、填空题 11. 如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空． 【详解】解：添加条件： 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形（矩形的定义）． 故答案是：（答案不唯一）． 12. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：正方形的一条对角线的长为2， 这个正方形的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 13. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形性质可知AC=BD，可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD=6， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：对角线互相平分且相等，掌握这一性质是解题的关键． 14. 已知一个菱形的边长为2，一条对角线长为2，则这个菱形的另一条对角线长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出另一条对角线的长 【详解】解：依照题意画出图形， 如图所示, 菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O，BD=2，AB=2， ∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB， ∵在Rt△AOB中，AB=2，OB=， ∴OA= ∴AC=2OA=2， 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键． 15. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解． 【详解】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，中，，，，AM平分，点D．E分别为AM、AB上的动点，则的最小值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】过B 点作于点 ， 与交于点，根据三角形两边之和小于第三边，可知 的最小值是线段的长，根据勾股定理列出方程组即可求解． 【详解】过B 点作于点 ， 与交于点， 作点E关于AM的对称点G，连结GD， 则ED=GD， 当点B 、D、G三点在一直线上时较短，BG， 当线段BG与BF重合时最短，BD+BE=BD+DG=BF， 设AF=x，CF-21-x ，根据题意列方程组： ， 解得：，（负值舍去）． 故BD＋DE的值是8， 故答案为8， 【点睛】本题考查轴对称的应用，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握轴对称的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，会利用轴对称找出最短路径，再利用勾股定理构造方程是解题关键． 三、解答题 17. 如图，矩形的对角线、相交于点，若， 求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得：，则为等边三角形，进而得到答案． 【详解】解：∵ 四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握这些知识点是解题的关键． 18. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． （1）求对角线BD的长； （2）求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解． 【小问1详解】 解：菱形ABCD的周长为24， ， 又∠BAD＝60°， 是等边三角形， ， 故对角线BD的长为6； 【小问2详解】 解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ，， 又， ， ， 菱形ABCD的面积， 故菱形ABCD的面积是． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 19. 如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． 20. 如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°， 又∵CE=DF， ∴CE+BC=DF+CD即BE=CF， 在△BCF和△ABE中， ∴（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：．证明如下： ∵，， ∴、为直角三角形， ∵E为的中点 ∴，， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线性质性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答的关键． 22. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）答案见解析 （2）242 【解析】 【分析】对于（1），先根据定义说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，即可得出，进而得出答案； 对于（2），先说明四边形是正方形，再求出，进而求出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形. 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 ， 四边形是正方形， ∴. ， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 23. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①60°，②. 【解析】 【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形 （2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC 【详解】解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1 ∴∠BAC=60°，AC=2，BC= 又∵矩形ABCD中，OA=OB ∴∠AOB=180°-2∠BAC=60° S□ABCD=1×= 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键. 24. 如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 25. 在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是AB的中点时， ①四边形ADCE的形状是______；请说明理由． ②若，，则四边形ADCE的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）①菱形，②6． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，得出四边形是平行四边形，再由，即可得是矩形，根据矩形性质即可得出结论； （2）①由直角三角形斜边上中线的性质得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得出结论；②根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：（1），， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， ； （2）①∵在中，是的中点， ∴， 又四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形； 故答案为：菱形； ②设和交于点，如图， ， ∵在中，， ∴， 又∵四边形是菱形； ∴，，， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， S菱形ADCE=． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，菱形面积的计算，勾股定理等知识点，熟知以上几何图形的判定定理以及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025平和广兆中学九上第一章测试 学校：_______姓名：________班级：________考号：________ 一、单选题 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行且相等 2. 下列命题中是真命题的选项是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 三条边都相等的四边形是菱形 3. 如图，在中，，，点D为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 5. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 6. 如图，矩形中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图，已知□ABCD的对角线，相交于点O，下列选项能使□ABCD成为菱形的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题 11. 如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形是矩形． 12. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 13. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 14. 已知一个菱形的边长为2，一条对角线长为2，则这个菱形的另一条对角线长是______． 15. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 16. 如图，中，，，，AM平分，点D．E分别为AM、AB上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题 17. 如图，矩形对角线、相交于点，若， 求的度数． 18 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． （1）求对角线BD的长； （2）求菱形ABCD的面积． 19. 如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 20. 如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 21. 如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 22. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形面积． 23. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°． （1）求证：四边形ABCD矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 24. 如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是AB的中点时， ①四边形ADCE的形状是______；请说明理由． ②若，，则四边形ADCE的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$