串讲 分式（考点串讲，6大考点+13大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

数学下学期·期中复习大串讲 串讲 分式（6考点&13题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 十三大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：分式的相关概念 1.定义：一般地,用A、B表示两个整式,A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有字母，那么称 为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母 对任意一个分式，分母都不能为零 2.分式的概念要点 ①分子分母都是整式 ②分母中含有字母 ③分母不能为零 考点透视 3.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0 4.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0 A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0 分式 < 0 的条件: A B 5.分式 > 0 的条件: A B 考点透视 考点二：分式的基本性质 1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以(或除以) 分式的值 . 用式子表示: (M为 的整式) A B A ×M ( ) A B A ÷ M ( ) = = 2.分式的符号法则: A B = B ( ) = A ( ) = - A ( ) -A -B = A ( ) = B ( ) = A ( ) 一个不为0的整式 不变 B × M B÷M 不为0 -A -B -B B -A -B 考点透视 考点三：分式的约分和通分 1.约分： 把分子、分母的最大公因式(数)约去。 2.找公因式方法 ①系数:分子分母系数的最大公约数 ③次数:分子分母相同字母的最低次幂 ②字母:分子分母中相同的字母 考点透视 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。 3.通分: 5.约分与通分的依据都是: 分式的基本性质 定系数： 4.最简公分母的确定方法： 定字母因式： 定次数： 各分母的最小公倍数； 同一字母因式的最高次。 分母中所有字母因式都取； 通分的关键是找最简公分母。 考点透视 考点四：分式的乘除 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　 用符号语言表达： 1.分式乘法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　　 用符号语言表达： 2.分式除法法则： 考点透视 3.分式乘方法则： 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 用符号语言表达： 4.注意： （1）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （2）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除. 考点透视 考点五：分式的加减 1.同分母的分式相加减法则： 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 2.分母互为相反数分式加减法运算 同时改变分式及分母的符号，化为同分母分式，再根据法则进行运算． 用符号语言表达： 用符号语言表达： 考点透视 3.异分母分式的加减法法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用符号语言表达： 4.分式的混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结果要化为最简分式或整式． 考点透视 考点六：分式方程 1.定义： 2.特征： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． (1)含有分母 (2)分母中含未知数． 3．分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 考点透视 4．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 考点透视 5.分式方程的应用： 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 题型剖析 题型一：分式的概念 【例1】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7; （2） （3）3x2-1; （4） （5） （6） （7） （8） 整式：1；2；3；8；9 分式：4；5；6；7. 题型剖析 题型二：分式有意义和分式值为零的条件 【例2】当a取何值时，分式 有意义? 解: 当分母的值为零时，分式没有意义， 除此以外，分式都有意义。 由分母2a-1 ≠ 0，得a ≠ , 所以,当a ≠ 时，分式 都有意义. 【变式】当a取何值时，分式 的值为0? 解: 当分子为0时，分式 的值为0时， 由分子a-1=0，得a =-1 所以,当a =-1 时，分式 的值为0. 归纳总结 1.分式无意义的条件 2.分式有意义的条件 3.分式的值等于零的条件 分母等于零 分母不等于零 (1)分子等于零 (2)分母不等于零 题型剖析 题型三：分式的基本性质 【例2】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 解:（1）因为y≠0， 所以 （2）因为x≠0，所以 题型剖析 题型四：分式的通分、约分 分析：为约分要先找出分子和分母的公因式． 解： 【例4】约分 【例4】约分 分析：为约分要先找出分子和分母的公因式． 解： 在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式.化简分式时，通常要使结果称为最简分式或整式. 最简分式的条件： (1)分子、分母必须是整式； (2)分子、分母没有公因式． 归纳总结 题型剖析 题型五：分式的乘除计算 【例5】计算 【例5】计算 归纳总结 类似于分数，分式有： 乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　 除法法则： 两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　 数学语言： 【变式】计算: 题型剖析 题型六：分式的乘方运算 【例6】计算: (1)·;　　　　　　　(2)·. 解：· ·= 【变式】计算:(1)3xy2÷; (2)÷. 分析:进行分式除法运算时,应先把除法运算统一为乘法,再利用分式的乘法法则运算.当算式中遇到整式时,可以把整式看成分母是“1”的式子参与计算. 题型剖析 题型七：同分母的分式加减 【例7】计算： 解： 【变式】计算： 解： 【变式】计算： (2) （2）原式 题型剖析 题型八：最简公分母 解： 最简公分母是： 【例8】通分: 解： 最简公分母是 (x-5)(x+5) 题型剖析 题型九：异分母分式的加减 【例9】计算： （1） （2） （3） 解（1） （2） （3） 【变式】计算 解：(1)原式= (2)原式= 【变式】 题型剖析 题型十：分式的混合运算 【例10】计算： (2) (3) 解：（1）原式 (2)原式= (3)原式 【变式】计算: (1)-a+1;   (2)++2. 解:(1)原式=-==. (2)原式=++2=++2 =++ ==. 【变式】先化简,再求值:+,其中x=. 题型剖析 题型十一：分式方程的相关概念 【例11】下列式子中哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程。 题型剖析 题型十二：分式方程的解法 【例12】解方程： 解:去分母,得x=3(x-2). 去括号,得x=3x-6. 移项,得x-3x=-6. 合并同类项,得-2x=-6. 未知数的系数化为1,得x=3. 检验！ 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1，右边=1， 左边=右边. 所以，x=3是原方程的根. 解：方程两边都乘x－2，得 解这个方程，得x=2． 1－x=－1－2（x－2）． 【变式】解分式方程 ． 检验：当 x=2时，x-2=0, x=2是原方程的增根， 所以，原方程无解。 【变式】解方程 解这个方程,得 x=6 经检验，x=6是原方程的解 解：方程两边同时乘(30+x)(30-x)，得 90(30-x) =60(30-x) 题型剖析 题型十三：分式方程的实际应用 【例13】某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格? 解:设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年居民用水的价格为x元/m3. 根据题意,得-=5,解得x=1.5. 经检验,x=1.5是所列方程的根.1.5×=2(元/m3). 所以,该市今年居民用水的价格为2元/m3. 【变式】某人去距离家8 km的单位上班，骑“共享助力车”可以比骑“共享单车”少用10 min. 已知他骑“共享助力车”的速度是骑“共享单车”的1.5倍，求他骑“共享助力车”从家到单位上班需要多少分钟. 解：设他骑“共享助力车”从家到单位上班需要x min. 依题意，得 解得x=20. 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意. 答：他骑“共享助力车”从家到单位上班需要20 min. 【变式】小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 解：设这种文学书的价格为x元/本．则科普书的价格为1.5x元/本． 解这个方程，得x=5． 经检验x=5是所列方程的根，且符合题意． 所以1.5x=1.5×5=7.5（元/本）． 答：这种文学书的价格为5元/本．则科普书的价格为7.5元/本． 根据题意，得 易错易混 易错点一：根据实际条件列分式方程 易错易混 易错点二：分式的基本性质 易错易混 易错点三：根据分式方程解的情况求参数 易错易混 易错点四：分式方程的特殊运算 易错易混 易错点五：分式方程的应用 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 【变式】已知分式，当x＝4时，分式没有意义；当x＝－3时，分式的值为零．求分式的值． 解：当x＝4时，分式没有意义， 说明此时2x＋b＝0，则b＝－8； 当x＝－3时，分式的值为零， 说明此时x－a＝0，则a＝x＝－3. 把a，b的值代入，得＝＝－. 解:(1)原式=3xy2·==x2. (2)原式=· ===. 解:m-1+÷ =m-1+÷ =m-1+· =m-1+===. 【变式】已知 ＝2，求－－的值． 解：原式＝－ － ＝ ＝. 由＝2，得y＝2x，则原式＝＝－. 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）第 届亚运会将于 年 月 日至 月 日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用 ， 两种机器人来搬运建筑材料，其中 型机器人每小时搬运的建筑材料是 型机器人每小时搬运的建筑材料的 倍， 型机器人搬运 所用时间比 型机器人搬运 所用时间少 小时，设 型机器人每小时搬运建筑材料 ，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设 型机器人每小时搬运建筑材料 ，则 型机器人每小时搬运的建筑材料 ， 根据题意可得： ； 故选：D 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）若 ， 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、 ，不符合题意； B、 ，不符合题意； C、 ，不符合题意； D、 ，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）关于 的方程 的解为正数．则 的取值范围为（   ） A． B． 且 C． D． 且 【详解】解： ， ， ， ， 检验，当 ，即 方程无意义，故 ， ∵关于 的方程 的解为正数， ∴ ，即 ． 综上， 的取值范围为 且 ． 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如果 ，则 ， ． 【详解】解： ， ∴ ， ∴ ， 即 ． ∴ ， 解得： ∴ 的值为4， 的值为 ． 故答案为4， ． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同． (1)求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元； (2)若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2800元，则最多购买“滨滨”挂件多少个？ 【详解】（1）解：设每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元， 根据题意得： ， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元； （2）解：设购买 个“滨滨”，则购买 个“妮妮”， 根据题意得： ， 解得： ， 又 为正整数， 的最大值为 ， 答：最多购买“滨滨”挂件 个． 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如果关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 且 【详解】解： 、是轴对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选： ． 【详解】解： ， 方程两边都乘 ，得： ， 解得， ， ∵关于x的方程 的解是正数， ∴ ， ∴ ， ∵ 中分母 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴m的取值范围是 且 ． 故选：D． 2．（23-24·八年级下·江苏苏州·期中）如果 ，则 的值为 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为7． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）关于 的方程 有增根，则 的值是 ． 【详解】解： ， 去分母得： ， 去括号，得： ， 移项合并，得： ， ∵原分式方程有增根， ∴ ，则 ， ∴ ， 解得： ， 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值： ，其中 从 中选择一个适当的数． 【详解】解：原式 ． ， 当 时，原式 ． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式 与 的和为常数 ，且 正整数，则称 与 互为“和整分式”，常数 称为“和整值”．如分式 ， ， 则 与 互为“和整分式”，“和整值” ． (1)已知分式 ， ，判断 与 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” ； (2)已知分式 ， ， 与 互为“和整分式”，且“和整值” ，若 为正整数，分式 的值为正整数． ①求 所代表的代数式； ②求 的值． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 与 互为“和整分式”，“和整值” ； （2）解：①分式 ， 互为“和整分式”， 且“和整值” ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ② EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 为正整数，分式 的值为正整数． EMBED Equation.DSMT4 或 ， 解得 或 （不合题意，舍去）． $$