串讲 中心对称图形—平行四边形（考点串讲，8大考点+12大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

数学下学期·期中复习大串讲 串讲 中心对称图形—平行四边形 （8考点&12题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 8大常考点：知识梳理 十二大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：图形的旋转 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 1.“将图形绕一个定点转动一定的角度”意味着图形上的每一个点同时都按相同的方式旋转相同的角度； 注意： 2.旋转不改变图形的形状、大小，旋转前后的图形全等. 3.旋转三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角 考点透视 旋转作图的步骤： 1. 根据题意确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 2.找出构成图形的关键点； 3.作出各关键点旋转后的对应点. ①连：把图形中的每个关键点与旋转中心分别连接起来； ②转：把每条连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转相同的角度； ③截：在所得角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. 4. 按原图形中各关键点的顺序连接所作的各对应点，并标注相应的字母，得到所求作的图形； 5. 写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形. 考点透视 考点二：中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心. 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 考点透视 作已知图形关于某一点对称的图形的步骤: (1) 连接：把各个关键点与对称中心连接起来； (2) 延长：把关键点与对称中心的连线延长； (3) 截取： 在延长线上截取线段，使其长度等于相应关键点与对称中心的连线长； (4) 画图：按照原图顺序依次连接各对应点，即得所求作的图形. 考点透视 名称 中心对称 中心对称图形 区 别 联 系 (1)是针对两个图形而言的； (2)表示两个图形之间的对称关系； (3)对称点在两个图形上. (1)是针对一个图形而言的； (2)表示某个图形所具有的特性； (3)对称点在一个图形上. 如果把成中心对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个中心对称图形，如果用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，那么这两个图形成中心对称. 考点透视 考点三：平行四边形的判定与性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (parallelogram). A B C D 符号语言： ∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC. 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 考点透视 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 考点透视 平行四边形 性 质 判 定 角 对角线 对边平行 对边相等 对角相等 对角线互相平分 边 两组对边分别相等的四边形 两组对边分别平行的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 考点透视 考点四：反证法 在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立. 这种证明的方法称为反证法（reduction to absurdity）. 考点透视 反证法的步骤： 用反证法证明问题，通常分为三步： 1. 一是“反设”，即设命题结论的反面成立； 2. 二是“推出矛盾”，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与学过的定理、公理或已知条件相矛盾； 3. 三是“得出原命题正确”．得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立. 矛盾的来源： 1. 与原命题的条件矛盾；2. 导出与假设相矛盾的命题；3. 导出一个恒假命题. 考点透视 考点五：矩形的判定与性质 矩形 性 质 符号语言 图示 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 B A D C O l1 l2 既是中心对称图形又是轴对称图形 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB=CD，AD=BC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD= ∠CDA=∠DAB=90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD AC=BD． 对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2． 考点透视 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 考点透视 考点六：菱形的判定与性质 菱形 性 质 符号语言 图示 边 角 对角线 对称性 对边平行，四条边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分且垂直 既是中心对称图形又是轴对称图形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB=CD=AD=BC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC=∠ADC， ∠BAD=∠BCD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD． 对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2． O B A D C l1 l2 考点透视 菱形的面积公式： O A D C B S菱形ABCD = ACBD E S菱形ABCD = ABDE 考点透视 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形 四边相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 考点透视 考点七：正方形的判定与性质 四个角都是直角 对边平行，四条边相等 对角线相等且互相垂直平分 边 角 对角线 对称性 A B C D 既是中心对称图形又是轴对称图形 考点透视 边 角 对角线 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行四边相等 对边平行四边相等 对角相等邻角互补 四个角都是直角 对角相等邻角互补 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分 对角线相等且互相垂直平分 考点透视 B D 平行四边形 A C 有一个角是直角 对角线相等 B A D C 矩形 有一组邻边相等对角线垂直 B A D C 正方形 有一组邻边相等对角线垂直 B A D C 菱形 有一个角是直角 对角线相等 有一组邻边相等并且有一个角是直角 A B C D 四边形 有三个角是直角 A B C D 四边形 四边相等 考点透视 考点八：三角形的中位线 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 应用：中点四边形形状的判定 题型剖析 题型一：图形的旋转 A O· B 【例1】画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°所得到的线段A'B'. B´ A´ 【变式】如图，在正方形ABCD中，点E、G分别在BC、AB上，△ABE经过旋转后得到△ADF. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角为多少度? (3)在图中画出点G的对应点G´. 点 A 90° A B F C E D G . . G´ 【变式】图中的菊花图案，绕旋转中心旋转多少度后能与原来的图案互相重合？ 解：绕旋转中心旋转45°或45°的整数倍后能与原来的图案互相重合. 题型剖析 题型二：中心对称与中心对称图形 【例2】如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称.(1)点A、B、C的对应点分别是什么?(2)点C、A、E的位置关系怎样?(3)指出图中相等的线段和相等的角. A B C D E 解：(1)点A、B、C的对应点分别是点A、D、E. (2)点C、A、E在同一条直线上. (3)相等的线段：AB=AD，AC=AE，BC=DE； 相等的角：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∠BAE=∠CAD. 【变式】在正方形的4个角上剪去4个相同的小正方形（如图），剩余部分是中心对称图形吗？如果是，画出它的对称中心. O 过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心. 【变式】如图，直线l1⊥l2，垂足为O，点A1与点A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称．点A1 与点A2 有怎样的对称关系?你能说明理由吗? l1 l2 O A1 A A2 2 1 解：点A1与点A2关于点O成中心对称. 理由如下： 如图，由点A1与点A关于直线l1对称知： OA1=OA，∠A1OA=2∠1. 同样可知：OA2=OA，∠A2OA=2∠2， 所以OA1=OA2， ∠A1OA+∠A2OA=2(∠1+∠2)=2×90°=180°， 即点A1、A2的连线经过点O，且OA1=OA2， 所以点A1与点A2关于点O成中心对称. 题型剖析 题型三：平行四边形的性质 变式1 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D=260°，你能很快求出∠A、∠B、∠C、∠D的度数吗？ A D C B 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠A，∠B=∠D(平行四边形的对角相等). ∵∠B+∠D=260°， ∴∠B=∠D＝130°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AB//DC (平行四边形的对边平行). ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴∠A=∠C=50°. 【例3】在平行四边形ABCD中，若∠A:∠B=2:1，你能求出∠C、 ∠D的度数吗？ B A D C O 【变式】如图，▱ABCD的对角线相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，求△AOD的周长. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC (平行四边形的对边相等). OA＝OC＝AC，OA＝OC＝AC (平行四边形的对角线互相平分). ∵BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm， ∴AD＝7cm，OA＝×6=3cm，OD＝×10=5cm， △AOD的周长=AD+OA+OD=7+3+5=15cm. 【变式】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. E D C F B A (1)若∠EAF＝56°，求∠B的度数； 解：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，在四边形AECF中， ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC ＝360°－56°－90°－90°＝124°，在▱ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°. E D C F B A (2)若▱ABCD的周长为48，AE＝5，AF＝10，求▱ABCD的面积． 解：(2)设AB＝x，则BC＝24－x， 根据平行四边形的面积公式可得 10x＝5(24－x)，解得x＝8， ∴平行四边形ABCD的面积为8×10＝80. 题型剖析 题型四：平行四边形的判定 【例4】已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. B A D C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC (平行四边形的对边平行且相等). ∵AE=CF， ∴AD-AE=BC-CF， 即 DE=BF. ∴四边形BFDE是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). A B C D N M 【变式】已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于M、N. 求证：四边形BMDN是平行四边形. 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC，AB=CD. ∵BM、DN分别是∠ABC、∠ADC的平分线， ∴∠ABM=∠ABC，∠CDN=∠ADC. ∴∠ABM=∠CDN. ∵AB∥CD ∴∠BAM=∠DCN. ∴△ABM≌△CDN. ∴BM=DN，∠AMB=∠CND. ∴∠BMN=∠DNM. ∴BM∥DN， ∴四边形BMDN是平行四边形. 【变式】在四边形ABCD中，∠A= ∠C，∠B =∠D.四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论. 解：四边形ABCD是平行四边形， 理由如下： ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°. ∵∠A＝∠C，∠B =∠D， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠C＋∠D＝180°， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． A D C B A B C D E F 【变式】如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF，CD. 求证：四边形CDBF是平行四边形. 证明：∵CF∥AB， ∴∠ECF＝∠EBD.∵E是BC的中点， ∴CE＝BE.∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED(ASA)，∴CF＝BD. 又∵CF∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形． 题型剖析 题型五：反证法 【例5】 “在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？若正确，证明你的结论. A B C 解：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC， 求证：∠B≠∠C. 证明：假设∠B=∠C， ∴ AB=AC(等角对等边). 这与已知AB≠AC相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠B≠∠C. 【变式】用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设这个三角形中________________________． 至少有两个角是钝角 题型剖析 题型六：矩形的性质 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，（矩形的对角线相等） AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， （矩形的对角线互相平分） ∵AC＝2AB， ∴AB＝AC. ∴AO＝BO＝AB. ∴△AOB是等边三角形. 【例6】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AC＝2AB． 求证：△AOB是等边三角形． A D B C O 【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm. 求矩形对角线长和面积. A D B C O 解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，（矩形的对角线相等） AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， （矩形的对角线互相平分） ∴AO＝BO. ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴AC=2OA=2AB=8cm. 在Rt△ABC中，BC==. ∴矩形ABCD的面积=ABBC=16cm2. 【变式】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED. (1)△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论. A D B C E 解：(1)△BEC是等腰三角形. 证明如下: ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD// BC， ∴∠DEC=∠BCE. 又∵EC平分∠BED， ∴∠DEC=∠BEC， ∴∠BCE=∠BEC， ∴BE=BC. ∴△BEC是等腰三角形. (2)AB=1，∠ABE=45°，求BC的长. 解：(2)在△ABE中， ∵∠A=90°，∠ABE=45°, ∴∠AEB=∠ABE， ∴AE=AB=1， Rt△ABC中，由勾股定理得BE==. ∴BC=BE=. A D B C E 【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E. (1) 求证：AC=EC； A B C D O E 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=DB，AB∥DC. 又∵CE∥DB， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴DB=EC， ∴AC=EC. (2)解：∵在矩形ABCD中，BO=4， ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°， ∴CD=BD=×8=4， ∴AB=CD=4，AE=AB+BE=AB+CD=8. 在Rt△BCD中， BC==4 ∴四边形AECD的面积=×(4+8)×4=24. (2) 若∠DBC=30° ， BO=4 ，求四边形AECD的面积. A B C D O E 题型剖析 题型七：矩形的判定 【例7】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. E、F、G、H在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是矩形. A B C D O E F G H 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=DB， ∴OA=OB=OC=OD， ∵AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵OE+OG=OF+OH，即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形． 证：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD. ∴CD∥AE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∴CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，AB＝DE， ∴AC＝DE， ∴▱ADCE是矩形． B A D C E 【变式】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°，求证：四边形ABCD是矩形. B A D C O E 证明：连接OE. ∵O是AC、BD的中点， ∴四边形ABCD是平行四边形. 在Rt△AEC中，EO=AC， 在Rt△BED中，EO=BD， ∴AC=BD. ∴▱ABCD是矩形. 题型剖析 题型八：菱形的性质 【例8】如图，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点. 求证：AM＝AN. B A D C M N 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D. ∵M，N分别是BC，CD的中点， ∴BM＝BC，DN＝CD， ∴BM＝DN. 在△ABM和△ADN中， ∴△ABM≌△ADN(SAS)， ∴AM＝AN. 【变式】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.(1)求证：△ODE≌△FCE O A D C B E F 证明：∵E是CD的中点， ∴CE＝DE. 又∵CF∥BD， ∴∠ODE＝∠FCE. 在△ODE和△FCE中， ∴△ODE≌△FCE(ASA)． (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程. O A D C B E F (2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下： ∵△ODE≌△FCE， ∴OE＝FE. 又∵CE＝DE， ∴四边形ODFC为平行四边形． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°， ∴四边形ODFC为矩形． 题型剖析 题型九：菱形的面积 【例9】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于点E.(1)求菱形ABCD的周长； O A D C B E 解：(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=BD=5，OA=AC=12，AC⊥BD，AB=BC=CD=DA. ∴在Rt△ABO中，AB==13， ∴菱形ABCD的周长=4AB=52. 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于点E.(2)求菱形ABCD的面积； O A D C B E (2) S菱形ABCD=ACBD=×24×10=120. (3) ∵S菱形ABCD=ABDE=120，AB=13， ∴DE=. (3)求DE的长. 题型剖析 题型十：菱形的判定 【例10】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形． O B A D C F E 1 2 证：∵AD∥BC， ∴∠1=∠2. ∵ EF垂直平分AC， ∴ OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴ OE=OF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴▱AFCE是菱形. ∵ EF垂直平分AC， ∴AE=CE， ∴▱AFCE是菱形. 【变式】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB. 求证：四边形OBEC是菱形. A B C D O E 证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， ∴AO＝BO. ∴四边形OBEC是菱形. 【变式】已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F. 求证：四边形ABEF是菱形. A B C D E F A B C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠AFB=∠EBF， ∠BAD+∠ABC=180°. ∵AE、BF分别是∠BAD和∠ABC的平分线， ∴∠BAE=∠BAD，∠ABF= ∠EBF=∠ABC， ∴∠AFB=∠ABF， ∴AB=AF. 同理，AB=BE. ∴AF=BE. ∵AD//BC， ∴四边形 ABEF是平行四边形. ∵∠BAE+∠ABF=∠BAD+∠ABC=×180°=90°, ∴AE⊥BF， ∴四边形 ABEF是菱形. 题型剖析 题型十一：正方形的判定与性质 【例11】已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′． 求证：四边形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ 1 2 3 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D， ∴△AA′D≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′， ∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′， ∴四边形A′B′C′D′是菱形． 由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3， ∵∠A=90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠D′A′B′＝90°， ∴菱形A′B′C′D′是正方形． 【变式】如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离AE，CF分别是1 cm，2 cm，则线段EF的长为________cm. 3 A B C D l E F 2 1 证明：(1)在正方形ABCD中， AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°. 在等边三角形ADE中， AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60° ∴∠BAE＝∠CDE＝150°. 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(SAS)， ∴BE＝CE. 【变式】在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE、CE. (1)求证：BE＝CE； B C D A E (2)求∠BEC的度数． B C D A E 解：(2)∵AB＝AD，AD＝AE， ∴AB＝AE. 由(1)知，∠BAE＝150°， ∴∠AEB＝(180°－∠BAE)＝15°. 同理，∠DEC＝15°. ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC ＝60°－15°－15° ＝30°. 题型剖析 题型十二：三角形的中位线 【例12】已知：如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，AD平分∠BAC，且AD ⊥ CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长是_________. F 1cm B A C D E 【变式】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点．若AD＝6cm，BC＝18cm，求EF的长． A B C D E F K 解：连接DF并延长，交BC于点K， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠KCF，∠ADF=∠CKF， ∵F是AC的中点， ∴AF=CF， ∴△ADF≌△CKF(AAS)， ∴DF=KF，CK=AD， ∴EF=BK=(BC−AD)=×(18−6)=6(cm). 【变式】已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点． 求证：EF∥BC，EF＝(BC＋AD)． A B C D E F O 证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点O. ∵ F是DC的中点， ∴ DF=FC. ∵ AD∥BC， ∴ ∠ADC=∠DCO. ∴ △ADF≌△OCF. ∴ AD=CO ，AF=FO. ∵ F是AO的中点，E是AB的中点， ∴ EF是△ABO的中位线 . ∴ EF∥BC，EF=BO=(BC+CO) ∵ AD=CO， ∴EF∥BC，EF=(BC+AD). 易错易混 易错点一：旋转角度问题 易错易混 易错点二：利用平行四边形的性质求最值 易错易混 易错点三：矩形的折叠问题 易错易混 易错点四：利用三角形的中位线定理求最值 易错易混 易错点五：平行四边形的存在性问题 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（23-24·八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ，将 在平面内绕点A旋转到 的位置，使 ，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【详解】解： ， ， ∵ 绕点 旋转得到 ， ∴ ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系 中，已知平行四边形 的点 ，点 EMBED Equation.DSMT4 ，点 ，则对角线 的最小值是（    ） A． B． C．5 D．6 【详解】解：设点D的坐标为 ， ∵四边形 是平行四边形，∴ 与 的中点坐标相同， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴对角线 的最小值为 ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，一张矩形纸片 ，其中 ， ，将纸片沿对角线 对折，点 落在点 的位置， 交 于点 ，则 的长为 ． 【详解】解：∵四边形 矩形， ∴ ， ∴ ； 由折叠性质知： ， ∴ ， ∴ ； 设 ，则 ； 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， 即 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点，P为 中点，连接 ，则 的最小值是 ． 【详解】解：如图，取 中点 ，连接 交 于 ，连接 ， 四边形 是矩形， ， ， ∵矩形 中，点 是 中点，点 是 中点， ，四边形 是矩形， ， 四边形 是矩形， 点 是 的中点， 又 是 的中点， 即为点 的运动轨迹， 当 时， 有最小值， ， 的最小值为 ； 故答案为： 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 是一次函数 的图象，直线 是一次函数 的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形 的面积是 ，且 ，试求点P的坐标，并求出直线 与 的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：在直线 中，令 ，得 ， ∴点 ， 在直线 中，令 ，得 ， ∴点 ， 由 ，解得： ， ∴点 ； （2）解：∵ ， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ， 而 ， 解得： ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的函数表达式为： ， 的函数表达式为： ； （3）解：存在， 过点P作直线 平行于x轴，过点B作 的平行线交 于点 ，过点A作 的平行线交 于点 ，过点A、B分别作 、 的平行线交于点 ． ①∵ 且 ， ∴ 是平行四边形，此时 ， ∵ ，∵ ， ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ； ②∵ 且 ， ∴ 是平行四边形，此时 ，∴ ； ③∵ 且 ， ∴ 是平行四边形， ∵ 且 ，∴ ， 同理可得： ， 由 ，得： ，∴ ， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为 或 或 ． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在 中， ， ， ，平面上有一点 ，连接 ， ，若 ，取 的中点 ．连接 ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：令 中点为点N，连接 ， ∵点N为 中点，∴ ， 根据勾股定理可得： ， ∵点M为 中点，点N为 中点， ，∴ ， ∴在 中， ，即 ， 当点B、M、N在同一直线上时， ， 此时 取最大值 ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ， ．将 绕点B旋转得到 ，分别取 、 的中点P、Q，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：取 的中点F，连接 ， 根据勾股定理得： ， 、 分别是 、 的中点， ， ， 当 、F、 三点共线时， 取到最大值和最小值， 的最小值为 ， 的最大值为 ， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是 . 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在菱形 中， ， ． 是 边上的一点， ， 分别是 ， 的中点，则线段 的长为（    ） A．8 B． C．4 D． 【详解】解：如图，连接 ． 四边形 是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ． 故选：C． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，点 是矩形 的对称中心， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，已知矩形 的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：16． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1， 中， ， ， 的外角平分线交于点A，过点A分别作 的延长线于 ， 的延长线于 ． (1)填空： 的度数______； (2)求证： ； (3)若 ，求 的长； (4)如图2，在 中， ，高 ， ，求 的长度． 【详解】（1）证明：过A点作 于G，∴ ， ∵ 中， ， ， ，∴ ，∴四边形 是矩形 ∴ ， ∵ 分别是 两个外角的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ；    （2）解：过A点作 于G， ∵ 分别是 两个外角的平分线， ， ， ∴ ， ∴ ；    （3）解：∵ ，∴ ， 由（1）（2）知，四边形 是矩形， ， ∴四边形 是正方形，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， 解得， ，∴ ；    （4）解：把 和 分别沿 翻折，得到 和 ，延长 交于点N， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ，∴ ， ， ∴ 中， ，∴ ．    $$