串讲 图形的变换（考点串讲，8大考点+9大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

数学下学期·期中复习大串讲 串讲 图形的变换（8考点&9题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：平移的概念 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 决定平移两要素：平移的方向和距离. 平移的方向：射线BB'(或CC'或AA')的方向. 平移的距离：线段BB'(或CC'或AA')的长度. 平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点二：平移的性质与作图 平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 平移作图的基本步骤： 定：确定平移的方向和平移的距离； 找：找到构成原图形的关键点； 移：将找到的关键点按照题目要求的方向和距离进行平移; 确定对应点，并标上相应的字母； 连：按原图形关键点的顺序依次连接各对应点； 写：写出结论. 考点透视 考点三：轴对称的概念 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴,此时称这两个图形成轴对称. 成轴对称的两个图形的对称轴有且只有一条. 成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点四：垂直平分线的性质 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,简称中垂线. ● ● B A ● O l ∵ 直线l ⊥AB，垂足为O， 且OA＝OB， ∴ 直线l是线段AB的垂直平分线． 符号语言： 考点透视 考点五：轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 也就是说，成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. ∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称， 符号语言： ∴ 直线l是线段AA，BB'，CC'的垂直平分线． 考点透视 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）一找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点(顶点或拐点)； （2）二作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）三连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 考点透视 考点六：轴对称图形 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身， 那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 轴对称图形至少有一条对称轴. 正n边形有n条对称轴. 要判断一个图形是否为轴对称图形，可以把这个图形沿某一条直线对折，如果对折后的两部分关于这条直线对称，那么原来的图形就是轴对称图形，这条直线是对称轴. 考点透视 画轴对称图形的对称轴的方法： (1)找出轴对称图形的任意一对对称点； (2)连接这对对称点； (3)画出对称点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是该轴对称 图形的对称轴. 考点透视 考点七：旋转图形 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转(rotation)，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. “把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度”意味着图形上的每一个点同时都按相同的方式旋转相同的角度. 旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点八：旋转的性质 旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 考点透视 旋转、平移和轴对称的有哪些相同点？有哪些不同点? 变换异同 旋转 平移 轴对称 不 同 点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点 情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 题型剖析 题型一：图形的平移 【例1】如图，分别画出点A、B向右平移5个单位长度后的点A'、B'，连接A'B'. 线段A'B'即为所求. 解：如图，分别画出点A，B向右平移5个单位长度后的点A'，B'，连接A'B'. A' B' 线段A'B'即为所求. 【变式】如图所示，将网格纸中的图形先向左平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形． 题型剖析 题型二：利用平移的性质解决问题 【例2】将△ABC沿点B到点C的方向平移得到△DEF. (1)若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； A B D E F C 解：(1)由图形平移的性质可知: ∠ACB＝∠F＝26°. 因为∠B＝74°， 所以∠A＝180°－(∠ACB＋∠B) ＝180°－(26°＋74°)＝80°. (2)若BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，求△ABC平移的距离． A B D E F C (2)因为BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm， 所以BE＝BC－EC＝4.5－3.5＝1(cm)， 所以△ABC平移的距离为1 cm. (2) 平移的距离是_____，△DEF的面积是_____. 7 3 【变式】如图，将面积为3的△ABC 沿BC方向平移到三角形DEF的位置，CE＝5，EF＝2，∠B＝40°，则 2 40° (1) BC＝_____，∠DEF＝______； 【变式】在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是______． 6 题型剖析 题型三：平移作图 【例1】平移图中的△ABC，使点A移到点A'的位置，画出平移后的三角形. A B C A' C' B' 解：(1) 连接AA'； (2) 分别过点B、C画AA'的平行线BD、CE； (3) 分别在BD、CE上截取BB ' ＝AA'，CC'＝AA'； (3) 连接A 'C'，C'B'，A'B'； △A'B'C'就是所要画的三角形. l1 l2 【变式】平移图中的正六边形ABCDEF，使点C移到点E的位置，画出平移后的正六边形. A B C F E D F' A' E' D' 【变式】如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 题型剖析 题型四：轴对称图形 【例4】如图，△ABC沿着直线MN折叠后，与△DEF完全重合． (1)△ABC与△DEF关于直线________对称，直线MN是________； (2)点B的对称点是________； (3)PC＝_______，PD＝______． MN 对称轴 点E PF PA 【变式】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上． 若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)求出BF的长度； B AC (2)解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称， ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC－FC＝3cm． (3)解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°， ∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°． 题型剖析 题型五：垂直平分线 【例5】如图，直线是线段 的垂直平分线，点,是线段上的两点 且 .试说明点,关于直线 对称. 解：因为直线是线段 的垂直平分线, 所以, . 因为,所以, 即 , 所以直线是线段的垂直平分线， 所以点，关于直线 对称. 【变式】如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.4 cm，则四边形ACBD的周长为_____cm. 8 题型剖析 题型六：旋转图形 【例6】如图，A、B、C 三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，△ACE 旋转后到达△DCB 的位置. （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转方向是什么？ （3）旋转角是多少度？ 解：（1）点C 是旋转中心. （2）旋转方向是顺时针方向. （3）旋转角是60°. 【变式】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的一点，将△ABD按逆时针方向旋转一定角度后到达△ACE的位置.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度? (3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后， 点M旋转到了什么位置? 解：(1)旋转中心是点A. (2)旋转了60°. (3)点M旋转到了线段AC中点的位置上. A B C D E M 题型剖析 题型七：旋转的性质 【例7】如图，把△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AB'C'. 已知∠BAC＝50°，求∠CAB'，∠BAC′的大小. A B C C′ B' 解：根据题意，点B，C的对应点分别为B'，C'， 所以∠BAB'＝60°. 因为∠CAB′＝∠BAB'－∠BAC，∠BAC＝50°， 所以∠CAB′＝60°－50°＝10°. 因为∠BAC′＝∠BAB'＋∠B'AC， ∠B'AC′＝∠BAC＝50°， 所以∠BAC′＝60°＋50°＝110°. 【变式】如图，将ABC逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜360°)后得到DEC，点D恰好为BC的中点． (1)若∠ACE＝140°，指出旋转中心，并求出α的值； 解：(1)∵△DEC由△ABC逆时针旋转得到， ∴∠ACB＝∠DCE，AC＝DC， ∵∠ACE＝140°，∠ACB＋∠DCE＋∠ACE＝360°， ∴∠ACB＝∠DCE＝(360°－140°)÷2＝110°， ∴旋转中心为点C，旋转角度为110°. 如图，将ABC逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜360°)后得到DEC，点D恰好为BC的中点． (2)若CE＝10，求AC的长． 解：(2)由旋转得，CE＝CB＝10，AC＝DC， ∵点D恰好为BC的中点， ∴， ∴． 题型剖析 题型八：旋转作图 【例8】如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； O 解：(1)如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． O (3) ． 解：(2)如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 题型剖析 题型九：图形的变换综合 【例9】如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； 解：(1)平移后的图形如图所示． A1 C1 B1 (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； 解：(2)旋转后的图形如图所示． A1 C1 B1 A2 C2 B2 (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 解：(3)如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． A1 C1 B1 A2 C2 B2 D 【变式】如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm. (1)求△OEF的周长； 解：(1)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴ME＝EO，FN＝FO. ∴△OEF的周长为 OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN ＝MN ＝5(cm)． A B P M E N F O (2)连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由； A B P M E N F O 解：(2)连接PO. ∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴PM＝PO，PO＝PN， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． (3)若∠APB＝α，求∠MPN的度数．(用含α的代数式表示) A B P M E N F O 解：(3)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN， ∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α， ∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO ＝∠APB＝α， ∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN ＝α＋α＝2α. 易错易混 易错点一：确认旋转中心 易错易混 易错点二：折叠问题中的角度计算 易错易混 易错点三：平移中的多结论问题 易错易混 易错点四：轴对称性质 易错易混 易错点五：平移作图 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将 绕某个点旋转得到 ，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【详解】解：如图：连接 ，分别作 ， 的垂直平分线交点为点 ，即点 是旋转中心， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形， 为折痕，若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设 ， 根据题意， ， ∴ ， ， 由折叠的性质可得 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图， ，将 沿 方向平移 ，得到 ，连接 ，则下列结论：① ； ；③阴影部分的周长是 ；④ ．其中结论正确的有 ．（填序号） 【详解】解： 是由 平移得到， ， 等于 但不一定等于 ，故①正确，②错误； 阴影部分的周长为 ， 故③正确； ，故④错误 故答案为：①③． 4．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）如图，点 为 的边 上一点，点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，连接 ，若 ， ， ，则 的周长是 ． 【详解】解： 点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上， ， ， ， ， 的周长 ， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）千年古镇佛堂首条过江隧道（朝阳路隧道）施工场地上，看到如图1所示的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆（行人）向左或向右行驶（行走），为其作出正确的向导．请利用如图2所示的正方形网格，解决下列问题： (1)如图2网格中是该安全标志的某一部分图形，请画出该部分图形向右平移4格后的图形，并标注 的对应点 ； (2)完成（1）后，图2中线段 与 的关系是 ． (3)求折线 在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示， （2）根据平移的性质可得： 与 平行且相等 故答案为：平行且相等． （3）折线 在平移过程中扫过的面积为四边形 ． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下图标志中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．     C．   D．   【详解】解： 、是轴对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选： ． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点 顺时针旋转 ． B．将乙绕点 逆时针旋转 ． C．将甲绕着 和 中垂线的交点顺时针旋转 ． D．将甲先向下平移至点 和 重合，再绕点 逆时针旋转 ． 【详解】解：A、将甲绕点 顺时针旋转 ，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点 逆时针旋转 ，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着 和 中垂线的交点顺时针旋转 ，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点 和 重合，再绕点 逆时针旋转 ，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）一次数学活动中，要检验纸带的边线是否平行，某个小组的方案是将纸带沿 折叠（如图）．测量了3条纸带，测得：纸带①中 ；纸带②中 ；纸带③中 ．所测纸带边线一定平行的有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【详解】如图，点 在 的延长线上， ， ， ， 由翻折的性质得： ， ， 只有 时， ， 才与 平行． 故纸带①不符合题意； 由翻折的性质得： ， ， ，∴ ， 故纸带②符合题意； ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故纸带③符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在长方形 中， 是对角线，将 沿直线 折叠，点A落在点F处， 交边 于点E，若 ，则 的度数为 ． 【详解】解：∵长方形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 沿直线 折叠，点A落在点F处， 交边 于点E， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：40． 5（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图1，定点 在 纸片内的位置如图所示： 平行可折 按下图所示方法折叠，可以得到折痕 与三角形底边 平行． ①过点 折叠纸片，使得点 落在 上的 处，展平纸片，得到折痕 ． ②过点 再次折叠纸片，使得点 落在射线 上． ③展平纸片，得到折痕 ． （1）说明 ． 平行可作 （2）在图2中用直尺和圆规过点 作直线 ，使 （保留作图的痕迹，不写作法） 等角可折 （3）如图3，过点 折出折痕 ，使得 与 、 分别相交于点 ， ，且 ，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明． 【详解】（1）解：如图： ∵ ， ， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ． （2）解：连接 并延长，与 交于点 ，作 ，则 ，即 ． 如图： （3）解：①过点 折叠纸片，使得点 落在 上的 处，展平纸片，得到折痕 ． ②过点 再次折叠纸片，使得点 落在 的 处，展平纸片，得到折痕 ． ③过点 再次折叠纸片，使得点 落在射线 上．展平纸片，得到折痕 ，即为所求． $$