清单01 一次函数（6个考点清单+21种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北京版）

清单01 一次函数（6个考点梳理+21种题型解读） 清单01 函数的相关概念 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 清单02 一次函数的概念 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 清单03 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 清单04 一次函数的解析式 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 清单05 一次函数与方程关系 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 清单06 一次函数与不等式关系 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一 常量与变量】（） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 【答案】B 【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量． 【详解】这个公式中的自变量是v． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴其中的常量是单价． 故选：C． 【变式1-2】（2025八年级下·河北·专题练习）水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【答案】C 【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．根据周长C随着半径的变化而变化求解即可． 【详解】解：∵周长C随着半径的变化而变化， ∴半径和周长C为变量． 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【答案】蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温 【分析】此题考查了函数的变量，根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，在这个问题中，变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 【变式1-4】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 【答案】(1)在这个变化过程中，蚊香燃烧的时间是自变量，蚊香长度是因变量 (2)当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为 【分析】本题考查了函数的定义，有理数混合运算的应用，根据表格得出，蚊香每燃烧是解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）由题意可知，蚊香每燃烧，即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，蚊香燃烧的时间是自变量，蚊香长度是因变量． （2）解：， 答：当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为． 【考点题型二 函数的基本概念】（） 【例2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且 故选：D． 【变式2-1】（2025八年级下·河北·专题练习）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（    ） A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【答案】A 【分析】本题考查的是求自变量，理解函数关系式的含义是解本题的关键； 把代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式， 可得：， 解得：， ∴当汽车油箱内剩余汽油为20升时，它行驶的路程是300千米． 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量代入函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了分段函数，根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 根据分段函数的解析式即可得出结论． 【详解】解：若，当时，， 解得：（不合题意，舍去，），； 若，当时，， 解得：． 故答案为：或5 【变式2-4】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 【考点题型三 函数的表示法】（） 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．把，代入求出函数解析式，再把代入即可求出y的值． 【详解】解：把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ． 故选C． 【变式3-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解． 【详解】解：由题意得： 每的耗油量为：， 故汽车加满油后最多可行驶： 故可得： 故选：D． 【变式3-2】（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式． 【详解】解：由题意得函数解析式为， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·贵州黔南·一模）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 ．．． 26 42 58 74 90 100 100 100 ．．． 在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数的关系式，关键是得出开始时温度为，每增加1分钟，温度增加． 由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度T与时间t的关系式． 【详解】解：由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加， 即每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：． 故答案为：． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【答案】(1)（） (2)厘米 (3)千克 【分析】本题考查了求函数解析式等，理解实际意义，能根据表格得到函数解析式是解题的关键． （1）由表格的数据，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解； （3）当时，代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 （）； （2）解：当时， （厘米）， 答：如果拉力是10千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：当时， ， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是13厘米． 【考点题型四 平面直角坐标系】（） 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点Q在x轴上，且，则点Q的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】这道题主要考查了三角形的面积公式以及点的坐标，熟练掌握三角形的面积公式以及点的坐标是解题的关键． 根据题意可得边上的高为，又因为，所以，所以点的坐标为或． 【详解】解：点的坐标为， 边上的高为：， ， ， 点Q在x轴上， 点Q的坐标是或． 故选：C． 【变式4-1】（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·开学考试）已知点P在第四象限，且到x轴和y轴距离分别是3和2，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴距离，以及各象限内点的坐标特征．根据点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y 距离等于横坐标绝对值，结合点P在第四象限，即可得出结论． 【详解】解：设点P的坐标是， 点P到x轴和y轴距离分别是3和2， ，， ，， 点P在第四象限， ，， ，， 点P的坐标为， 故答案为： 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点到轴的距离为，到轴的距离为． （1）若点位于第一象限，则其坐标为 ； （2）若点位于轴的上方，则其坐标为 ； （3）若点位于轴的右侧，则其坐标为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的定义和各象限的特点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意已知点到轴的距离为，到轴的距离为，得点的坐标可为，，，，根据平面直角坐标系的定义和各象限的特点，即可得出点位于第一象限时的坐标，点位于轴上方时的坐标和点位于轴右侧时的坐标． 【详解】解：已知点到轴的距离为，到轴的距离为， （1）若点位于第一象限，则其坐标为， 故答案为：； （2）若点位于轴的上方，则其坐标为或， 故答案为：或； （3）若点位于轴的右侧，则其坐标为或， 故答案为：或． 【变式4-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图， ． 【考点题型五 已知点所在的象限求参数】（） 【例5】（24-25八年级上·广西梧州·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在直线上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了点的坐标． （1）直接利用x轴上点的坐标特点得出，进而得出答案； （2）根据直线上的坐标特点得出，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得：； （2）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点Q的坐标是，轴； (2)点P在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟知平行于y轴的直线上及第一、三象限角平分线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． 【变式5-2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解； （2）根据点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线轴， ， 解得， ， 点M的坐标为； （2）解：由题意得， 点在第二象限， ，， ， 解得， ，， 点M的坐标为． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及象限内的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据轴上纵坐标为0求解； （2）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组，求解并取正整数解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 【变式5-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点的坐标为，且在第四象限内．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，根据点到两坐标轴的距离相等，且在第四象限内列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，且在第四象限内 ∴ ∴ 把代入得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【考点题型六 坐标与图形】（） 【例6】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点，可证明，由得，，则，所以点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于点，则，   ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故选：D． 【变式6-2】（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于点，证明，得到，，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，    ∴， ∴ ∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 故答案为：． 【变式6-4】（24-25八年级上·山西晋中·期中）【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 (1)若点，，则的长度为______． (2)已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）由和可得轴，根据题意即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴， ∴． 故答案为：12． （2）解：∵，且轴， ∴点D的横坐标为． ∵， ∴或， ∴点D的坐标为或． 【考点题型七 函数图象的画法】（） 【例7】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降；海拔高度h； (2)详见解析 (3) (4)该处的海拔高度是4千米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，描点法画函数图象，列函数关系式，求自变量的值： （1）从表格获取信息作答即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据题意，列出函数关系式即可； （4）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：随着海拔高度的升高，气温下降，因此自变量是海拔高度h； 故答案为：下降，海拔高度h； （2）描点，连线，画图如下： （3）由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）令， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 【变式7-1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并回答下面问题． (1)列表填空： … 0 1 … … 1 1 … 表格中： ， ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，依次连接各点，画出函数的图象；    (3)观察图象，填写函数性质： ①函数自变量的取值范围是 ； ②特殊点：最高点的坐标是 ； ③函数值：函数的取值范围是 ； ④变化趋势：当时，随的增大而 ； ⑤对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是直线 ． 【答案】(1)0，2，0 (2)见详解 (3)①全体实数；②；③ ；④ 减小；⑤ 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． （1）由表达式直接代入数据即可； （2）根据表格数据描点画图即可； （3）观察图象即可得出自变量取值范围，最高点坐标，函数值取值范围，单调性与对称性． 【详解】（1）解： 时，， 时，， 时，， 故答案为：0，2，0； （2）解：根据数据，描点、连线，图形如下：   ； （3）解：观察图形知： ①函数自变量的取值范围是：全体实数； ②特殊点：最高点的坐标是：； ③函数值：函数的取值范围是：； ④变化趋势：当时，随的增大而减小； ⑤对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是直线． 故答案为：①全体实数；②；③ ；④ 减小；⑤． 【变式7-2】（23-24八年级下·北京海淀·期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小玉同学根据学习函数的经验，对函数进行了探究．下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量取值范围是全体实数； (2)绘制函数图象 ①列表：下表是x与的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 b 3 4 5 … 其中，______； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，探究函数性质 ①函数图象上的最低点坐标是______； ②的数图象关于直线______对称； (4)已知函数图象和函数的图象无交点，直接写出m的取值范围是______． 【答案】(1)原说法正确，理由见详解 (2)①2，②见详解 (3)①，②1． (4) 【分析】本题主要考查了函数的图像和性质． （1）根据对于任意x，是否有意义回答即可． （2）①把代入函数即可求出b的值． ②描点画出函数图像即可． （3）①根据函数图像即可得出答案，②根据函数图像即可得出答案， （4）根据可得出当时，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：对于任意x，均有意义上． ∴函数的自变量取值范围是全体实数 （2）①当时，， ∴， 故答案为：2． ②的图象如下： （3）①函数图象上的最低点坐标是， 故答案为： ②函数图象关于直线对称， 故答案为：1． （4）∵，且当时，， ∴当时，， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)3，1，-1 (2)见解析 (3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上 (4)-4 【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键 （1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可； （3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可； （4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 【变式7-4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）类比一次函数的研究思路，九年级“励志”数学小组准备对函数的图象与性质进行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为______； 0 1 2 3 6 5 4 2 1 0 1 2 (2)描点：在下面平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)函数的图象和直线的交点坐标是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查求函数值，画图像． （1）将代入中即可求得本题答案； （2）根据所给点在平面直角坐标系中标出并依次连线即可得到本题图像； （3）把代入中即可求得本题答案． 【详解】（1）解：根据题意将代入中，得：； （2）解：根据题意将各个坐标标在平面直角坐标系中，如下图所示： ； （3）解：把代入中得： ，解得：或， ∴函数的图象和直线的交点坐标是：． 【考点题型八 正比例函数的定义、图象与性质】（） 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键．形如（为常数，）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，正比例函数的性质，根据题意可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵直线，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：作直线，如图所示： 则点，点，点， 结合三个点的位置可知，． 故选：B． 【变式8-3】（24-25七年级上·山东威海·期末）若正比例函数的图象是二、四象限角平分线，当时 ． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据题意得到正比例函数，代入即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是二、四象限角平分线， ∴， 当时， 故答案为： 【变式8-4】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)，是该函数图象上的两点，若，则__________.（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，画正比例函数的图象． （1）将时，求得，据此画出该函数的图象； （2）根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入， 直线经过和原点， 图象如下： ； （2）解：， 随的增大而减少， 若，则， 故答案为：． 【考点题型九 根据一次函数的定义求参数】（） 【例9】（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选C． 【变式9-1】（23-24八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 由一次函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】是一次函数， 且， 解得且， 故选：A． 【变式9-2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）若 是一次函数，则a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案是：． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 【变式9-4】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可； （2）利用正比例函数定义进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数． 【考点题型十 求一次函数自变量或函数值】（） 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握y轴上点的坐标特征，是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0得出，然后求解即可； （2）根据点在一次函数的图象上，，然后解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：点在y轴上， ， 解得：， （2）解：点在一次函数的图象上， ， 解得：． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． ①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，． 【变式10-2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 【变式10-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）已知点． (1)若点P在第二象限，求m、n的取值范围； (2)若点P在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点在第二象限，可知，，然后求解即可； （2）根据点在一次函数的图象上，即可求得的值． 【详解】（1）解：点在第二象限， ，， 解得，； （2）解：点在一次函数的图象上， ， 解得． 【变式10-4】（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知函数， (1)求当时的函数值； (2)当为何值时，函数值为0 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了求函数值或自变量的值， （1）将代入求解即可； （2）令，得，进而求解即可． 熟练掌握函数值与自变量的关系是一一对应的，是解题的关键． 【详解】（1）将代入， 得； （2）令，得 解得． 【考点题型十一 已知函数经过的象限求参数范围】（） 【例11】（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 【变式11-1】（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定m，k的取值范围，再根据k，m的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴一次函数图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【变式11-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于k的不等式是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第 象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求的值． 【答案】(1)四 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活运用是解答关键． （1）把代入中，结合一次函数的性质求解． （2）根据这个函数经过原点，得到且来求解． 【详解】（1）解：， ． ，， 函数图象经过一、二、三象限， 则这个函数图象不经过第四象限. 故答案为：四． （2）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴综合得． 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)若该函数的图象与轴的交点在轴下方，求的取值范围； (2)若该函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的定义： （1）对于一次函数，若其图象与轴的交点在轴下方，那么b小于0，据此列出不等式求解即可； （2）对于一次函数，若其函数图象经过第一、二、三象限，那么，据此列出不等式求解即可。 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴的交点在轴下方， 解得且， 即的取值范围为且． （2）解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， 解得， 即的取值范围为． 【考点题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（） 【例12】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．与坐标轴围成的面积为， B．函数图象与轴的交点坐标为， C．函数图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， D．函数图象经过第二、三、四象限， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，根据一次函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数得，当时，，当时，， ∴与坐标轴的交点为，， ∴与坐标轴围成的面积为，故此选项说法错误，不符合题意； 、由一次函数得，当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； 、函数图象可由函数的图象向下平移个单位长度得到，故此选项说法错误，不符合题意； 、由一次函数得，函数图象经过第二、三、四象限，故此选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 【变式12-2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的一次函数，若图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算当时，，确定坐标为，结合图象与轴的交点在原点下方，得解答即可． 本题考查了一次函数与y轴的交点计算，熟练掌握时，求对应的函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故图象于y轴的交点为， 又图象与轴的交点在原点下方，得， 解得． 故答案为：． 【变式12-3】（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，面积为． 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． （1）令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标；令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标． （2）利用描点法画出一次函数图象即可；根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：令，可得， 这条直线与轴的交点坐标为． 令，可得， 与轴的交点坐标是． 故答案为：；； （2）解：画出这条直线如图所示． 这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为． 【变式12-4】（23-24七年级上·山东威海·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)画出函数的图象； (2)若点C在x轴上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象； （2）设点的坐标为，利用三角形的面积公式，可得出，解之可得出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 描点、连线，画出函数的图象，如图直线所示； ； （2）解：设点的坐标为，则， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【考点题型十三 一次函数的平移问题】（） 【例13】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，求出新的解析式，根据正比例函数的定义，求出m的值即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象， ∴， 则， 即， 故选：A． 【变式13-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的平移及定义，熟练掌握一次函数平移的规律是解题的关键．先写出正比例函数平移后的解析式，再把代入即可解得的值． 【详解】解：一次函数的图象向左平移m个单位长度得到， 把代入得， ， 解得， 故选：A． 【变式13-2】（2025八年级下·全国·专题练习）将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的平移， 利用一次函数平移规律“左加右减，上加下减”进而得出答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到直线：，即． 故答案为：． 【变式13-3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位， 得到直线， 把点代入， 得， 解得，． 故答案为：． 【变式13-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数经过原点，则常数项为零；两直线平行，这比例系数相等的知识是解题的关键． （1）一次函数经过原点，则比例系数，常数项，由此即可求解； （2）两条直线，则比例系数相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象经过原点， ∴，解得，， ∴． （2）解：函数的图象与函数的图象平行于直线， ∴，解得，． 【考点题型十四 根据一次函数的增减性求参数】（） 【例14】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为正选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而增大， ∴， ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； ．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； ．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式14-1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数性质确定k的符号，根据函数增减性确定正确选项即可． 【详解】解：∵一次函数函数值y随x增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，，与条件不符，故排除； 选项B点在第二象限，且，符合条件． 故选：B． 【变式14-2】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．先求得一次函数的增减性，即可得出． 【详解】解：一次函数的图象经过点、，且， 一次函数随的增大而增大， 故答案为：． 【变式14-3】（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 【变式14-4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 【考点题型十五 一次函数解析式】（） 【例15】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 【变式15-1】（2025八年级下·河北·专题练习）如图，一次函数的图象经过点A和点B． (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的图象经过点和点，把，两点的坐标代入，解出，，即可； （2）由（1）得，函数的解析式：，根据，解出不等式，即可． 本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出解析式，一次函数的图象和性质． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为：， ∴， 解得：． ∴不等式的解集为． 【变式15-2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查正比例函数、一次函数图象上点的坐标特征． （1）用待定系数法求出函数的关系式； （2）把点代入即可求得的值． 【详解】（1）解：与成正比例， 设，把，代入，得． 解得：． 故与的函数关系式为； （2）解：把点代入得：， 解得：． 【变式15-3】（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 【答案】(1) (2)此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； (3)4 【分析】（1）求此一次函数表达式，先设一次函数表达式，再根据交点坐标带入计算即可得到函数解析式； （2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标，需分别假设时，和时相对应的点坐标，通过计算就可以得出一次函数与x轴、y轴的交点坐标； （3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积，利用函数与x轴，y轴的交点坐标结合三角形面积公式即可得到结果． 本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 把点和点代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵ 当时，， 则此函数与轴的交点坐标为； 当时，， 解得 则此函数与轴的交点坐标为； （3）解：∵此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； ∴此一次函数与坐标轴所围成的面积． ． 【变式15-4】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴交点为，与轴交点为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一次函数的解析式为，把把，代入计算，即可作答． （2）根据一次函数与坐标轴交点，则分别把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：依题意，把代入， 解得， ∴与轴交点为． 把代入，得， 解得， ∴与轴交点为． 【考点题型十六 一次函数与方程】（） 【例16】（2025·陕西西安·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：根据一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．即可解答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴时，， ∴关于x的方程的解是． 故选：C． 【变式16-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题，根据题意可得的解为直线与轴的交点横坐标，根据，且在的负半轴，即可求解． 【详解】解：∵直线与的负半轴交于点，， ∴， ∴关于的方程的解为 故选：B． 【变式16-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一元一次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，直线过点， ∴方程的解为； 故答案为： 【变式16-3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【详解】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 【变式16-4】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【考点题型十七 一次函数与不等式】（） 【例17】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． 【变式17-1】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案； （2）先求出点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可； （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把点  代入，则 ， 解得 ， 所以，直线m对应的函数表达式为； （2）把代入，则 ， 解得 ， 则， ∴， ∴， 答：的面积为18； （3）由图象可知：不等式的解集为． 【变式17-2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用经过点，将代入求出，再利用在上，代入求出，再利用在上，代入求出； （2）分别在和中，令，求出、的横坐标，求出，再结合，利用即可求解； （3）先由，得出或，再分别结合图象求解和即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 解得：， 故，，； （2）解：在中，令， 得：， 解得：， 则， 在中，令， 得：， 解得：， 则， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴或， 结合图象可得的解集为， 的解集为， 综上，不等式的解集为或． 【变式17-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【变式17-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【考点题型十八 求直线围成的图形面积】（） 【例18】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】先求得直线与轴的交点坐标，再联立解方程组求得点P的坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：令，，； ∴， 解方程组，得， ∴， ∴的面积是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，求得点P的坐标是解题的关键． 【变式18-1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 【变式18-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积． 【详解】解：一次函数的关系式是，当时，； 当时，， 解得：， 其图象与坐标轴围成的三角形面积是：． 故答案为6． 【变式18-3】（24-25七年级上·山东·期末）一次函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，直线围成的三角形面积等知识；先求出直线与两坐标轴的交点，再设，由得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：对于，令，则；令，得； ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或． 【变式18-4】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查两直线平行问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积公式． （1）先由平行得，再将代入函数解析式即可得b的值； （2）根据题意得，，即可得，再代入函数解析式即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 又∵图象经过点， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 当时，，； 当时，，； ∴或． 【考点题型十九 一次函数应用之分配方案问题】（） 【例19】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 【变式19-1】（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【变式19-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂派出车队运送箱货物到两地，若用大、小货车共辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装箱，小货车每辆能装8箱，其运往两地的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 (1)求这辆车中大、小货车各多少辆； (2)现安排其中辆货车前往地，其余货车前往地．设前往的大货车为辆，前往两地的总运费为元，试求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往的货物为箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费； 【答案】(1)大货车8辆，小货车7辆 (2) (3)前往地的大货车5辆，前往地的小货车5辆，前往地的大货车3辆，前往地的小货车2辆；运费元． 【分析】本题考查了一元一次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设有大货车辆，则小货车辆，根据题意列方程即可求解； （2）分别表示出前往、的大货车、小货车得数量即可求解； （3）根据题意得，解出即可． 【详解】（1）解：设有大货车辆，则小货车辆， ， 解得：， 答：大货车8辆，小货车7辆 （2）解：∵前往的大货车为辆， ∴前往的小货车为辆，前往的大货车为辆，前往的小货车为辆， ∴ （3）解：∵运往的货物为箱， ∴， 解得： ∴总运费为：（元）， 此时前往地的大货车5辆，前往地的小货车5辆，前往地的大货车3辆，前往地的小货车2辆 【考点题型二十 一次函数应用之最大利润问题】（） 【例20】（2025·山东济南·一模）根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】任务1：每个排球元，每个足球元；任务2：购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元 【分析】本题考查了分式方程以及一次函数在实际问题中的营养，正确理解题意是解题关键． 任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是；根据题意，得，据此即可求解； 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意得，解得 ；设总费用为w元，根据 即可求解； 【详解】任务1解：设排球的单价为x元，则足球的单价是； 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的根， 足球的单价：， 答：每个排球元，每个足球元； 任务2解：设排球购买m个，则足球购买了个， 根据题意得， 解得 设总费用为w元，根据题意 因为，所以w随m的增大而减小， ∴当时，w最小元， 所以购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元． 【变式20-1】（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元． (1)求两种品牌足球的单价． (2)该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)两种品牌足球的单价分别为元，元， (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元进行列二元一次方程组，再解出，的值，即可作答． （2）先表示，然后解出，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设两种品牌足球的单价分别为元，元， 依题意， 解得， ∴两种品牌足球的单价分别为元，元， （2）解：依题意，设购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价为元， 则 依题意，，且， 解得； ①当时，随的增大而增大， 即当时，最小，且为； 故购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价最小． ②当时，，可取范围内任意整数， ③当时，随的增大而减小， 即当时，最小，且为； 故购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价最小． 【考点题型二十一 一次函数应用之行程问题】（） 【例21】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1)， (2) (3)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， （2）解：∴， 解得， ∴， 则， 故乙到达A地时，甲距B地的距离为． （3）解：设经过，甲、乙相距90千米， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距． 【变式21-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【答案】(1)240 (2)（12，2400） (3)3 (4)20 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质结合函数图象求解是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据计算即可； （2）根据题意和函数图象中的数据直接写出点的坐标即可； （3）根据题意和函数图象中的数据计算即可； （4）根据题意和函数图象中的数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 小李骑车的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （2）解：由题意得，点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意得， （分钟）， 小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早分钟， 故答案为：； （4）解：由题意得，， 解得：， 运动的时间t为分钟时，两人第二次相遇， 故答案为：． 【变式21-2】（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【考点题型二十二 一次函数应用之几何问题】（） 【例22】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1)， (2) (3)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， （2）解：∴， 解得， ∴， 则， 故乙到达A地时，甲距B地的距离为． （3）解：设经过，甲、乙相距90千米， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距． 【变式22-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【答案】(1)240 (2)（12，2400） (3)3 (4)20 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质结合函数图象求解是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据计算即可； （2）根据题意和函数图象中的数据直接写出点的坐标即可； （3）根据题意和函数图象中的数据计算即可； （4）根据题意和函数图象中的数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 小李骑车的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （2）解：由题意得，点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意得， （分钟）， 小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早分钟， 故答案为：； （4）解：由题意得，， 解得：， 运动的时间t为分钟时，两人第二次相遇， 故答案为：． 【变式22-2】（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一次函数（6个考点梳理+21种题型解读） 清单01 函数的相关概念 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 清单02 一次函数的概念 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 清单03 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 清单04 一次函数的解析式 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 清单05 一次函数与方程关系 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 清单06 一次函数与不等式关系 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一 常量与变量】（） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 【变式1-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式1-2】（2025八年级下·河北·专题练习）水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【变式1-4】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 【考点题型二 函数的基本概念】（） 【例2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【变式2-1】（2025八年级下·河北·专题练习）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（    ） A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是 ． 【变式2-4】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【考点题型三 函数的表示法】（） 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【变式3-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【变式3-3】（2025·贵州黔南·一模）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 ．．． 26 42 58 74 90 100 100 100 ．．． 在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为 ． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【考点题型四 平面直角坐标系】（） 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点Q在x轴上，且，则点Q的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A． B． C． D． ∴， 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·开学考试）已知点P在第四象限，且到x轴和y轴距离分别是3和2，则点P的坐标为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点到轴的距离为，到轴的距离为． （1）若点位于第一象限，则其坐标为 ； （2）若点位于轴的上方，则其坐标为 ； （3）若点位于轴的右侧，则其坐标为 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 【考点题型五 已知点所在的象限求参数】（） 【例5】（24-25八年级上·广西梧州·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在直线上，求P点的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点Q的坐标是，轴； (2)点P在第一、三象限的角平分线上． 【变式5-2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 【变式5-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点的坐标为，且在第四象限内．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【考点题型六 坐标与图形】（） 【例6】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【变式6-1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为 ． 【变式6-4】（24-25八年级上·山西晋中·期中）【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 (1)若点，，则的长度为______． (2)已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【考点题型七 函数图象的画法】（） 【例7】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【变式7-1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并回答下面问题． (1)列表填空： … 0 1 … … 1 1 … 表格中： ， ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，依次连接各点，画出函数的图象；    (3)观察图象，填写函数性质： ①函数自变量的取值范围是 ； ②特殊点：最高点的坐标是 ； ③函数值：函数的取值范围是 ； ④变化趋势：当时，随的增大而 ； ⑤对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是直线 ． 【变式7-2】（23-24八年级下·北京海淀·期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小玉同学根据学习函数的经验，对函数进行了探究．下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量取值范围是全体实数； (2)绘制函数图象 ①列表：下表是x与的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 b 3 4 5 … 其中，______； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，探究函数性质 ①函数图象上的最低点坐标是______； ②的数图象关于直线______对称； (4)已知函数图象和函数的图象无交点，直接写出m的取值范围是______． 【变式7-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【变式7-4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）类比一次函数的研究思路，九年级“励志”数学小组准备对函数的图象与性质进行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为______； 0 1 2 3 6 5 4 2 1 0 1 2 (2)描点：在下面平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)函数的图象和直线的交点坐标是______． 【考点题型八 正比例函数的定义、图象与性质】（） 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级上·山东威海·期末）若正比例函数的图象是二、四象限角平分线，当时 ． 【变式8-4】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)，是该函数图象上的两点，若，则__________.（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【考点题型九 根据一次函数的定义求参数】（） 【例9】（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 【变式9-1】（23-24八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式9-2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）若 是一次函数，则a的值是 ． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【变式9-4】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 【考点题型十 求一次函数自变量或函数值】（） 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【变式10-2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【变式10-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）已知点． (1)若点P在第二象限，求m、n的取值范围； (2)若点P在一次函数的图象上，求的值． 【变式10-4】（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知函数， (1)求当时的函数值； (2)当为何值时，函数值为0 【考点题型十一 已知函数经过的象限求参数范围】（） 【例11】（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025八年级下·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 【变式11-3】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第 象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求的值． 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)若该函数的图象与轴的交点在轴下方，求的取值范围； (2)若该函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【考点题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（） 【例12】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．与坐标轴围成的面积为， B．函数图象与轴的交点坐标为， C．函数图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， D．函数图象经过第二、三、四象限， 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的一次函数，若图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是 ． 【变式12-3】（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【变式12-4】（23-24七年级上·山东威海·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)画出函数的图象； (2)若点C在x轴上，且，求点C的坐标． 【考点题型十三 一次函数的平移问题】（） 【例13】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式13-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】（2025八年级下·全国·专题练习）将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 ． 【变式13-3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则的值为 ． 【变式13-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【考点题型十四 根据一次函数的增减性求参数】（） 【例14】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 【变式14-3】（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【变式14-4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【考点题型十五 一次函数解析式】（） 【例15】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【变式15-1】（2025八年级下·河北·专题练习）如图，一次函数的图象经过点A和点B． (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式15-2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若点在此函数图象上，求的值． 【变式15-3】（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 【变式15-4】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【考点题型十六 一次函数与方程】（） 【例16】（2025·陕西西安·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（　　） A．2 B． C． D． 【变式16-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【变式16-3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【变式16-4】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【考点题型十七 一次函数与不等式】（） 【例17】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 【变式17-1】（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【变式17-2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式17-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【变式17-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【考点题型十八 求直线围成的图形面积】（） 【例18】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【变式18-1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【变式18-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 【变式18-3】（24-25七年级上·山东·期末）一次函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为 ． 【变式18-4】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 【考点题型十九 一次函数应用之分配方案问题】（） 【例19】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【变式19-1】（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【变式19-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂派出车队运送箱货物到两地，若用大、小货车共辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装箱，小货车每辆能装8箱，其运往两地的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 (1)求这辆车中大、小货车各多少辆； (2)现安排其中辆货车前往地，其余货车前往地．设前往的大货车为辆，前往两地的总运费为元，试求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往的货物为箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费； 【考点题型二十 一次函数应用之最大利润问题】（） 【例20】（2025·山东济南·一模）根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 【变式20-1】（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元． (1)求两种品牌足球的单价． (2)该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【考点题型二十一 一次函数应用之行程问题】（） 【例21】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【变式21-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【变式21-2】（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【考点题型二十二 一次函数应用之几何问题】（） 【例22】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【变式22-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【变式22-2】（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$