第二十二章 四边形 知识归纳与题型突破（23类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十二章 四边形知识归纳与题型突破（23类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、多边形 多边形 知识点二、平行四边形的判定与性质 平行四边形：两组对边分别平行的四边形. 知识点三、特殊的平行四边形 特殊的平行四边形 （1）矩形 （2）菱形 （3）正方形 知识点四、梯形 梯形 等腰梯形 知识点五、三角形、梯形的中位线 梯形常用辅助线的添法 梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决. 知识点六、平面向量 2.平面向量的运算 03 题型归纳 题型一　多边形的相关概念 1．如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 2．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 3．下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，多边形的对角线，多边形的内角和外角，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】（1）三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，故（1）错误； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，故（2）错误； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角，故（3）正确； （4）n边形的外角和为，故（4）正确， 综上所述：正确的有2个， 故选：B． 巩固训练 4．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 5．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【答案】 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 6．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．如图，在的方格纸中，点A，B在格点上，如果点C，D在格点上，且是“邻余线”，那么该方格纸中符合条件的“邻余四边形”的个数是 ． 【答案】6 【详解】如图，该方格纸中符合条件的“邻余四边形”的个数是6． 题型二　多边形的对角线问题 7．已知一个多边形从一个顶点只可以引出四条对角线，那么它是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线即可求解． 【详解】解：设多边形边数为n， 从一个多边形的一个顶点出发可以引4条对角线， ， 解得． 故选：C． 8．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 9．在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【答案】180 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，边形的对角线条数为，据此列式求解即可． 【详解】解：条， ∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 巩固训练 10．四边形的一个顶点出发可引一条对角线，五边形的一个顶点可引出2条对角线，六边形一个顶点可引出3条对角线，……，猜想：n边形的一个顶点可引出 条对角线 【答案】/ 【分析】本题考查多边形的对角线，根据对角线可发现规律：从一个顶点出发画对角线除了相邻的两个顶点与自身外不能连接外，其余都能连接，故对角线有条， 【详解】解：从边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：． 11．已知一个多边形的内角和与外角和相加为，那么从这个多边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 【答案】4 【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：多边形的外角和都是， 内角和等于， 设这个多边形有条边， ，解得：， 从这个多边形的一个顶点出发，可以作条对角线． 12．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 题型三　多边形的内角和 13．如图，已知、、是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，由正方形的性质和周角的定义可得，则根据多边形内角和定理可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选；D． 14．小明利用画图软件画一个多边形，他设计的要求是：个内角中，最小的为，最大的为，且从小到大依次增加相同的度数，则小明画出的多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，由题意可得多边形中内角度数成等差关系，利用等差数列可得内角和，再根据多边形内角和公式，列出方程，即可解答，熟知多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：C． 15．冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是 ．． 【答案】/720度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是关键． 根据n边形内角和为，求解即可． 【详解】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：． 故答案为：． 巩固训练 16．经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：正五边形内角和为：， ∴， 故答案为： 17．一个多边形减少一条边，它的内角和减少 度，如果一个多边形减少一条边后，内角和为度，那么原来的多边形的边数为 ． 【答案】 10 【分析】根据多边形的内角和定即可求得内角和为度的多边形的边数，然后加上即可求得所求多边形的边数． 此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式． 【详解】解：一个多边形减少一条边，它的内角和减少； 设内角和是度的多边形的边数为，由题意得： ， 解得；， 则原来的多边形的边数为：． 故答案是：，． 18．如图，在五边形中，，垂足为点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键；设，根据多边形的内角和列方程求解即可． 【详解】解：五边形的内角和是， 设， ， ， ， ， 根据题意得：， 解得， ． 题型四　多边形的外角和 19．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正多边形外角的相关知识，三角形内角和定理应用，正多边形每个外角都相等，外角和为，据此计算即可求解． 【详解】解：延长、交于点C，如图所示： 则， ∵、为正多边形的外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 20．2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握多边形外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选∶A． 21．一个多边形的边数从减少到（，且为正整数），下列说法正确的是（   ） A．内角和、外角和都不变 B．内角和不变、外角和减少 C．内角和减少、外角和不变 D．内角和、外角和都减少 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式、外角和定理求解即可． 此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式、外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数为， 则多边形的内角和公式为，多边形的外角和为， 一个多边形的边数从减少到（，且为正整数）， 则内角和减少、外角和不变， 故选：C． 巩固训练 22．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，多加的一个外角即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个外角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个外角是的余数， 即为 故答案为：． 23．若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． （2）解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 24．如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为先求出与的外角和，再根据外角和进行求解 【详解】解：，， 题型五　平面镶嵌 25．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 26．利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌的应用，正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明可以，反之则不能； 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为 或 或 ， 故选：B． 27．璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正四边形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正八边形的内角为，正五边形的内角为，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； D、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． 故选：B． 巩固训练 28．如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 29．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查正多边形内角的度数； （1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为即可； （2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可． 【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为： （2）解：正六边形内角的度数： ∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形； ∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形． 30．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请填写下表 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … (2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________ A．正三角形            B．正六边形            C．正方形                D．正五边 (3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值 【答案】(1)填表见解析 (2)D (3)， 【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可； （2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可； （3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数求出结果即可． 【详解】（1）解：，则正三角形的每个内角为； ，则正四边形的每个内角为； ，则正五边形的每个内角为； ，则正六边形的每个内角为； 则正n边形的每个内角为； 填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … （2）解：A．∵，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意； B．∵，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意； C．∵，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意； D．∵，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意； 故选：D． （3）解：根据题意，可得方程： ， 整理得：， ∵x、y为正整数， ∴， 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 题型六　平行四边形的判定 31．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图：    A、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；故该选项是正确的； C、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形； D、∵，，，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：B 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 33．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 巩固训练 34．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 35．在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【答案】①④（答案为唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行组合判断． 【详解】解：①④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ①②组合，不能判定四边形判定平行四边形； ①③组合，∵，∴， ∵， ∴， ∴， 从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形是平行四边形； ③④组合不能判定四边形判定平行四边形； 故答案为：①④（答案为唯一）． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 36．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 题型七　平行四边形的性质 37．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，先根据角平分线及平行四边形的性质得出，，再由等角对等边得出，从而求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，， ∴，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 38．如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．由运动时间为t秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设t秒后，四边形为平行四边形， 则，， ∵ ∴， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 知：即可， 即：， ∴， 当时，， 综上所述，2秒后四边形是平行四边形， 故选：B． 39．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质．行平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ． 如图，连接． 根据折叠的性质知，，． ， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ． 故答案为：． 巩固训练 40．如图，平行四边形中，P是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则 (填“>”、“<”、“=”) 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意得出为平行四边形面积的一半，也为平行四边形面积的一半，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴为平行四边形面积的一半，也为平行四边形面积的一半， ∴， 故答案为：． 41．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 42．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 题型八　平行四边形判定与性质的应用 43．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 44．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD， 由题意，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 由题意，AE=AF=4， ∴AB=4， ∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键． 45．我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ． 【答案】． 【分析】根据变形前后底边不变，可根据面积算的变形后的平行四边形的高.根据题意，变形度即为求∠B1的余弦，及转化为求B1D的长度，利用勾股定理可求得B1D，最终求得. 【详解】过A1作A1D⊥B1C1， 设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h， ∴ab＝5，3＝ah， ∴b＝，h＝， ∴B1D＝， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形与矩形的性质，勾股定理，三角函数的求法，解决本题的关键即为求变形后平行四边形的高，即可解题. 巩固训练 46．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、作图—平移变换、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握用无刻度直尺作图． （1）按照题目要求找到点和点平移后对应的格点后相连即可求解； （2）根据题目要求，连接、后，利用平行四边形的性质找到平行四边形的对角线交点与点相连即可．． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接、后，连接点和、交点即可得到符合条件的直线： 根据平移的性质，且， 四边形是平行四边形， 则根据平行四边形的性质可得，过对角线交点的直线能够平分该平行四边形面积， 点和对角线交点所在直线即为符合条件的直线． 47．如图 ，在8×8的正方形网格中 ，三角形和四边形的所有顶点都在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图 ，并保留作图痕迹． (1)在图1中找一个格点D ，使四边形ABCD是平行四边形． (2)在图2中作一个平行四边形 ，使其面积是四边形面积的2倍 ，且顶点，，，落在平行四边形的边或顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形． （2）利用数形结合的思想解决问题，画出面积为18的平行四边形即可． 【详解】（1）如图，点D即为所求． （2）连接BD，过点A、C作BD的平行线，如图，平行四边形AMNG即为所求． 【点睛】本题考查格点作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 48．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【答案】见解析 【分析】可以先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边都为2的直角三角形；可以先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可． 【详解】解：如图1，先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形； 如图2，先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形； 如图3，以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形； 【点睛】此题主要考查对平行四边形与三角形之间关系的灵活掌握，理解性质是解决这个问题的关键． 题型九　矩形的判定 49．在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确矩形的判定方法．根据，，可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法和各个选项中的条件，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项A正确，符合题意； 当时，无法确定四边形为矩形，故选项B错误，不符合题意； 当时，无法确定四边形为矩形，故选项C错误，不符合题意； 当时，四边形为菱形，但无法确定四边形为矩形，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 50．在四边形中，，．添加一个条件，使四边形为矩形，这个条件可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线间的距离相等，平行线的性质，矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，首先根据和得到，然后结合得到且，即可证明四边形是矩形． 【详解】如图所示，添加． ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴且 ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 51．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 巩固训练 52．如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形为矩形． 【详解】解：添加， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 故答案为：． 53．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 54．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据分别平分，可得，从而得到，即可求证； （2）先判定四边形是平行四边形，然后根据分别平分，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵点在边的中点， ∴， 由（1）得：， ∴四边形是平行四边形， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 题型十　矩形的性质 55．如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，先证明四边形是矩形，可得，从而得到当最小时，取得最小值，当时，线段的值最小，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，取得最小值， ∴由垂线段最短可得，当时，线段的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B 56．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的对边相等可得，，根据矩形的对角线互相平分可得，然后判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设,则, 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 故选：C． 57．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，动点运动问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由题意可知，， ，，根据四边形是矩形，得，即，即可求解． 【详解】解：运动时间为，由题意可知，， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 即：， 解得：， 即当时，四边形是矩形． 给答案为：． 巩固训练 58．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，根据矩形对角线相等且互相平分得到，再根据题意推出，则垂直平分，据此可得，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线、交于点O， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 59．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 60．如图，在中，为对角线，，垂足为点．若，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）先利用勾股定理的逆定理证明，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，再在中利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十一　矩形中的折叠问题 61．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 62．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，而，则，得，然后设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将该矩形沿对角线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得，， 即， 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 63．如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 ． 【答案】/ 【分析】设则，，利用勾股定理求得x，利用解答解答即可． 本题考查了长方形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵长方形中，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 故答案为：． 巩固训练 64．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点N可得，所以，；在中由勾股定理求得的长，在中由勾股定理列出方程求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 65．如图，在长方形中，E是边上一点，连接，沿直线翻折后，点A恰好落在长方形的对称轴上的点处，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了矩形与翻折的性质，对称轴的性质，等边三角形的判定与性质以及含直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据翻折以及对称轴证明即可． （2）根据是等边三角形与翻折求出，然后得到，根据角度关系判断出，然后得到即可求出的长． 【详解】（1）解：∵直线是长方形的对称轴， ∴垂直平分， ∴， 由翻折得， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由翻折得，， 在长方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求、两点的坐标； (2)求过、两点的直线函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和待定系数法求解析式， 根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，再由折叠得到，有，在中求得即可求得点的坐标； 根据第一问得点坐标利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 又∵，， ∴， 解得， 则， 故，． （2）设、两点所在的直线的解析式为， 则， 解得， 所以过、两点的直线函数表达式为． 题型十二　菱形的判定 67．如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不能推出是菱形，故不符合要求； B中，不能推出是菱形，故不符合要求； C中，能推出是菱形，故符合要求； D中，不能推出是菱形，故不符合要求； 故选：C． 68．如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识．根据菱形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项B正确， 故选：B． 69．如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 巩固训练 70．如图，的对角线，相交于点O，要使成为菱形，还需添加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据菱形的判定来添加合适的条件即可． 【详解】解：要使成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等． 故答案为即（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，掌握菱形和平行四边形的区别是解答本题的关键． 71．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形，四边形的周长为16， ∴ 又∵ ∴ 72．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点作，过点作，两线交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识． （1）先证四边形是平行四边形，，再证，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 题型十三　菱形的性质 73．如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，关键是由等边三角形的性质求出菱形的高的长．过A作于H，由菱形的性质得到，判定是等边三角形，得到，求出的长，即可求出菱形的面积． 【详解】解：过A作于H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A． 74．如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，再由等边三角形的性质可以得到，最后利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，， 在中，． 故选：B． 75．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，，是对角线上的一个动点，点的坐标为．求的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，．利用勾股定理求出，证明，可得，由此即可解答． 【详解】解：如图，连接，． ，， ， 四边形是菱形， 点、点关于对称， ， ， ，当A、P、D共线时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，轴对称求最短路径问题、菱形的性质、勾股定理，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键． 巩固训练 76．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对角线的长分别是和，一次函数的图像经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和一次函数解析式的求法，解题关键是利用菱形性质求C的坐标．设菱形的两条对角线相交于点D，根据菱形的性质可确定，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求k的值． 【详解】解：设菱形的两条对角线相交于点D，如图， ∵四边形为菱形，菱形的两条对角线的长分别是和， ∴， ∵菱形的对角线在y轴上， ∴轴， ， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 故答案为：． 77．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，则，所有四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求证； （2）根据菱形的性质得到，，，由勾股定理得到，结合题意，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 78．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 题型十四　菱形的面积 79．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 【答案】C 【详解】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识，由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 80．如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到． 【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 81．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】80 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：80． 巩固训练 82．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积=四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积=四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积=四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 83．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 84．如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 题型十五　正方形的判定 85．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 86．一个四边形添加下列三个条件便得到正方形：①两组对边分别相等②一个角是直角③一组对边平行且相等④一组邻边相等，请写出一种添加方案 ． 【答案】①②④或②③④ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判症定定理是解题的关键．由①或③均能得到该四边形是平行四边形，再由②可知该四边形是矩形，由④可知该四边形是菱形． 【详解】解：方案一：由①两组对边分别相等可知该四边形是平行四边形，由②一个角是直角可知该四边形是矩形，由④一组邻边相等可知该四边形是菱形； 方案二：由③一组对边平行且相等可知该四边形是平行四边形，由②一个角是直角可知该四边形是矩形，由④一组邻边相等可知该四边形是菱形； 故答案为：①②④或②③④． 87．在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可直接作答． 【详解】解：由正方形的判定方法可知： 要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 巩固训练 88．如图，菱形中，对角线、相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形是正方形，则需要添加一个条件是 ．（填一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形添加一个条件判定为正方形．熟练掌握正方形的判定定理，是解题的关键． 根据正方形的判定中对边、角、对角线的要求，试着找出答案； 本题可根据有一个角为直角的菱形是正方形即可得解，注意：答案不唯一． 【详解】添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 89．如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且 ∴矩形是正方形． 90．已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）由三线合一定理得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，只需要满足，而由三线合一定理可得，则只需要满足即可． 【详解】（1）解：∵在中，，D点是的中点， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，分别是的角平分线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）解：当满足条件 时，四边形是正方形，理由如下： ∵，分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）； 题型十六　正方形的性质 91．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．3 【答案】A 【分析】由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果．本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出点位置是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，，，， ∴． 故选：． 92．如图，已知正方形的边长为8，点E，F分别在边、上，，当时，的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得A，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形的面积相等解答即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 93．如图，正方形的对角线，相交于，的平分线交于点，若正方形的边长为2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等等，先由正方形的性质和角平分线的定义导角证明，则，再由勾股定理求出的长，进而求出的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 94．如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ． 【答案】13 【分析】证明得，过点C作并延长交于M，则四边形是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C作并延长交于M，则四边形是矩形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：13． 95．如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． (1)求的长度； (2)与的位置关系如何？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】考查了旋转的性质，正方形的性质， （1）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （2）根据旋转可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）解：四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到， ，， ； （2）解：、的位置关系为：．理由如下： 延长交于一点H 按顺时针方向旋转后得到， ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， 96．如图，点是正方形的边上一点，把顺时针旋转至的位置．    (1)旋转中心是 ________点，旋转角度是 _______度，则是 _______三角形； (2)若四边形的面积为，求EF的长． 【答案】(1)，，等腰直角 (2) 【分析】（1）直接利用旋转的性质结合等腰直角三角形的判定方法即可得答案； （2）根据旋转的性质可得，则，以此可推出四边形的面积等于正方形面积，因此正方形的边长为，根据勾股定理可求出AE，由（1）知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由题意可知，旋转中心是点， ∵四边形为正方形，把顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴旋转角是，是等腰直角三角形； 故答案为：，，等腰直角． （2）解：∵把顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， 由（1）知，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 题型十七　正方形中的折叠问题 97．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，由已知，且， ， ， ， ，是的中点， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得，即． 故选：A． 98．如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，，再由平行线的性质得到，则可证明得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则． 【详解】解：∵沿直线翻折，点落在点处， ∴，， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 99．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，由已知，且， ， ， ， ，是的中点， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得，即． 故答案为：． 巩固训练 100．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 101．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 102．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若， ①则的长为 ． ②则的长为 ． 【答案】 【分析】设，则，，在，中，利用勾股定理可得，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片中，是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质可知， ∴， 在中， 在中， 解得： ∴, 故答案为：；． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型十八　中点四边形 103．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查中点四边形，掌握三角形的中位线定理，菱形的性质，矩形的判定，是解题的关键．结合顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，即可作答． 【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的， 则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直， ∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形； 故答案为：矩形 104．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是 （填序号，填写一个即可）． 【答案】① 【分析】当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，据此逐一判断即可． 【详解】解：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法正确，故①符合题意； ②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，原说法错误，故②不符合题意； ③矩形的中点四边形是菱形，原说法错误，故③不符合题意； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 【点睛】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状，熟练掌握：中点四边形一定是平行四边形；当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，是解题的关键． 105．第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为，则第个图形的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意，以及中点四边形的性质，可以确定每得到一个新的图形，其面积为前一个图形的一半，由此总结规律即可． 【详解】解：第一个图形为矩形，其面积为3； 第二个图形为第一个图形的中点四边形，即菱形，其面积为第一个图形的一半，即； 第三个图形为第二个图形的中点四边形，即矩形，其面积为第二个图形的一半，即； 第四个图形为第三个图形的中点四边形，即菱形，其面积为第三个图形的一半，即； …… ∴第个图形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形和菱形的基本性质，理解特殊平行四边形的中点四边形的特征是解题关键． 巩固训练 106．E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，则四边形的形状是 ，当与满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】 平行四边形 【分析】连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． 连接．、、、分别为四边形四条边上的中点， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 故答案为：平行四边形，； 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是正确构造三角形，正确的运用中位线定理，难度不大． 107．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)互相垂直 (3) 【分析】本题考查的是中点四边形． （1）连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答； （3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 点、、、分别为、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形的形状是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵，，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：互相垂直； （3）解：当时，四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：相等． 108．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 题型十九　平行四边形的存在性问题 109．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．    (1)求点A的坐标； (2)求的长度； (3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在，，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点P的位置． （1）由矩形的性质结合的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出（的长）的值； （3）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，由点E的坐标可得出点的坐标，由点B，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴，代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：如图作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，    此时的周长最小． ∵，， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 则的解析试为， 当时， ∴． 110．如图，正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段BC于点P，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，直线上是否存在点M，使以点A，G，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)存在两个M点，点M的坐标为或 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质得，则是直角三角形，是直角三角形，利用即可证明； （2）根据得，根据四边形是正方形得，则是直角三角形，根据将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形得，则，可得是直角三角形，利用可证明，则，根据得，即可得； （3）根据题意得，根据得，根据，，得，根据得，则，在中，，设，则，根据勾股定理得，计算得，则，，可得，在中，，，根据勾股定理进行计算即可得； （4）分情况讨论，①延长交y轴于点，根据，得，利用可证明，可得，则为等腰三角形，根据得，则点的坐标为，②延长与的延长线交于点，作于点F，根据得为等边三角形，则垂直平分，根据得，则点的坐标为，综上，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是直角三角形， ∵将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形， ∴， ∴是直角三角形， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴是直角三角形， ∵将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：∵正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得，， ， ， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴点P的坐标为； （4）存在两个M点， 解：如图所示，    ①延长交y轴于点， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ②延长与的延长线交于点，作于点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线，分类讨论． 111．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．    (1)求菱形的周长； (2)动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)菱形的周长为 (2) (3)存在，点的坐标有或或，理由见详解 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，在中，可求出的长，根据菱形的性质即可求解； （2）用含的式子表示出的长，运用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，根据三角形的面积即可求解； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①如图所示，以为对角线，四边形为平四边形；②如图所示，以为对角线，四边形为平四边形；③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形；根据平行四边形的性质，图形结合，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，    ∵， ∴，， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∴菱形的周长为． （2）解：点的速度为个单位/秒，时间为秒， ∴，， ∵点在线段上， ∴， ∴，解得，， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴，则， ∵，即， ∴． （3）解：存在，点的坐标有或或，理由如下： 根据题意，设， ①如图所示，以为对角线，四边形为平四边形，    ∴，，且，， ∴； ②如图所示，以为对角线，四边形为平四边形，    ∴，，且，， ∴； ③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，    ∴，，且，， ∴； 综上所示，点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标有或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，一次函数图像的性质的综合，掌握菱形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识的综合运用是解题的关键． 巩固训练 112．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．    (1)点的坐标为___________． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，即可求解； （2）设，则，计算出线段即可利用勾股定理求解，进而可求点的坐标； （3）根据“平行四边形的对角线互相平分”即可分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标为 故答案为： （2）解：由题意得： ∴ 设，则 在中： 解得： ∴点 （3）解：由题意得可得： 设点 为对角线，则有： 解得： 故 为对角线，则有： 解得： 故 为对角线，则有： 解得： 故 综上所述： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．熟记相关结论是解题关键． 113．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点A出发，在线段上以的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形是矩形时，求t的值． (3)在整个运动过程中，是否存在t的值，使得平分四边形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形是矩形； (3)． 【分析】（1）根据题意可列出代数式； （2）当时，四边形是矩形，得，即可解决问题； （3）根据梯形的面积公式分别表示出四边形和的面积，列出方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是矩形； （3）解：存在， 由题意知，四边形的面积， 四边形的面积， ∵平分四边形的面积， ∴四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，梯形的面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 114．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)从运动开始，当t取何值时，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判定当时，四边形是平行四边形，然后利用其性质，构建方程，即可得解； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）当时，四边形PDCQ是平行四边形， 此时， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）如图所示，作交于点E， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴在中，， ∴如图所示，当时， ∴； 当时， ∵ ∴ ∴， ∵，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动， ∴当点P 倒点C停止运动时，， ∵当点P到达点C时，点Q也停止运动， ∴点Q运动的时间最多为11秒， ∵， ∴应舍去， 综上所述，当时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】此题主要考查动点问题，平行四边形的判定，一元一次方程，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． 题型二十　梯形 115．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 116．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据梯形、菱形和矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，故为假命题； ②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形，故为真命题； ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题； ④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题． ∴真命题的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假． 117．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 巩固训练 118．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半． 根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 119．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 120．如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米． (1)求梯形ABQP的面积； (2)求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值． 【答案】(1)（10+2t）平方厘米 (2)3 【分析】（1）根据题意用t表示出AP、BQ，根据梯形的面积公式计算，得到答案； （2）根据梯形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，设DP＝t厘米， ∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米， ∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米； （2）解：当梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时，梯形ABQP的面积等于梯形ABCD的面积的一半， 则10+2t＝×（5+11）×4×， 解得：t＝3， ∴当t＝3时，梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等． 【点评】本题考查的是梯形的面积计算，列代数式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 题型二十一　三角形、梯形的中位线 121．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点， 则：，为的中点， 由题意，得：为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 故选C． 122．如图，已知正方形中，G、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（　　） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边不变，则对应的中位线的长度就不变．连接，根据三角形中位线定理可得，因此线段的长不变． 【详解】解：如图，连接． ∵E、F分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴，为定值． ∴线段的长不改变． 故选：C． 123．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：4． 巩固训练 124．如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和垂直平分线的性质，分两种情况讨论：当点位于点左侧时和当点位于点右侧时． 【详解】解：设线段的垂直平分线为． ∵，分别为，的中点， ∴，． ∵为的垂直平分线， ∴． 当点位于点左侧时，． 当点位于点右侧时，． 综上所述，． 故答案为：． 125．如图，在中，BD平分，，垂足为点E，交于点F，点G是的中点．如果，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形、三角形中位线的知识，根据平分，于点，得到，从而得,；结合题意，计算得的值；再根据点是的中点，通过是的中位线的性质，即可完成解题． 【详解】∵平分，于点 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵点是的中点 ∴是的中位线 ∴． 126．已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由已知条件易证，再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知． （2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等腰三角形， E是的中点， ． （2）证明：由（）知， 是直角三角形， G是的中点， ， E、F分别是，的中点， ， ． 题型二十二　平面向量 127．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【答案】D 【分析】本题考查了向量的基本知识，向量的减法运算，根据向量的概念、运算及相关知识即可完成． 【详解】解：A、，故说法错误； B、是一个向量，是一个既有大小又有方向的量，而是向量的模，是一个只有大小的量，两者不相等，故说法错误； C、，故说法错误； D、与平行，故说法正确； 故选：D． 128．下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. ①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 129．如果，那么下列结论正确的是（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【详解】本题考查了平行四边形的性质和相等向量的定义．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由，可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断． 解：， 四边形是平行四边形， A.长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误； B.长度相等且方向相同，相等，正确； C.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误； D.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误． 故选B． 巩固训练 130．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据相等向量的概念逐一判断可得选项. 解：零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错； a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错. 所以正确的命题的个数为1， 故选：B. 131．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 132．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误. 解：既有大小，又有方向的量统称为向量， 结合向量的定义可知仅有②④错误， 结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确， 故选：B. 题型二十三　平面向量的加减法 133．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 根据向量减法的三角形法则可得答案． 本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键． 134．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 【答案】C 【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答． 【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意． B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意． C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意． D、+＝2≠，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小． 135．如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得，然后由三角形法则，求得与，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴＝，， ∴， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键． 巩固训练 136．化简：＝ ． 【答案】 【分析】先去括号，再按照向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是向量的线性运算，向量的加，减，数乘运算统称为向量的线性运算，掌握向量的线性运算法则是解题的关键. 137．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 【答案】 【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得． 【详解】解： 则 故答案为 ： 【点睛】本题主要考查了平面向量的计算，属于基础题型． 138．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 试卷第42页，共43页 3 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形知识归纳与题型突破（23类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、多边形 多边形 知识点二、平行四边形的判定与性质 平行四边形：两组对边分别平行的四边形. 知识点三、特殊的平行四边形 特殊的平行四边形 （1）矩形 （2）菱形 （3）正方形 知识点四、梯形 梯形 等腰梯形 知识点五、三角形、梯形的中位线 梯形常用辅助线的添法 梯形添辅助线目的：将转化为和的问题来解决. 知识点六、平面向量 2.平面向量的运算 03 题型归纳 题型一　多边形的相关概念 1．如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 3．下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 4．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 5．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 6．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．如图，在的方格纸中，点A，B在格点上，如果点C，D在格点上，且是“邻余线”，那么该方格纸中符合条件的“邻余四边形”的个数是 ． 题型二　多边形的对角线问题 7．已知一个多边形从一个顶点只可以引出四条对角线，那么它是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 8．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 9．在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 巩固训练 10．四边形的一个顶点出发可引一条对角线，五边形的一个顶点可引出2条对角线，六边形一个顶点可引出3条对角线，……，猜想：n边形的一个顶点可引出 条对角线 11．已知一个多边形的内角和与外角和相加为，那么从这个多边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 12．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 题型三　多边形的内角和 13．如图，已知、、是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 14．小明利用画图软件画一个多边形，他设计的要求是：个内角中，最小的为，最大的为，且从小到大依次增加相同的度数，则小明画出的多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 15．冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是 ．． 巩固训练 16．经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为 ． 17．一个多边形减少一条边，它的内角和减少 度，如果一个多边形减少一条边后，内角和为度，那么原来的多边形的边数为 ． 18．如图，在五边形中，，垂足为点E，，，求的度数． 题型四　多边形的外角和 19．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 20．2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（   ） A． B． C． D． 21．一个多边形的边数从减少到（，且为正整数），下列说法正确的是（   ） A．内角和、外角和都不变 B．内角和不变、外角和减少 C．内角和减少、外角和不变 D．内角和、外角和都减少 巩固训练 22．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 23．若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． 24．如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 题型五　平面镶嵌 25．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 26．利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 巩固训练 28．如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 29．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 30．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请填写下表 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … (2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________ A．正三角形            B．正六边形            C．正方形                D．正五边 (3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值 题型六　平行四边形的判定 31．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 33．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 巩固训练 34．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 35．在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 36．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 题型七　平行四边形的性质 37．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 38．如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 39．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 巩固训练 40．如图，平行四边形中，P是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则 (填“>”、“<”、“=”) 41．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 42．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 题型八　平行四边形判定与性质的应用 43．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 44．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ． 45．我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ． 巩固训练 46．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 47．如图 ，在8×8的正方形网格中 ，三角形和四边形的所有顶点都在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图 ，并保留作图痕迹． (1)在图1中找一个格点D ，使四边形ABCD是平行四边形． (2)在图2中作一个平行四边形 ，使其面积是四边形面积的2倍 ，且顶点，，，落在平行四边形的边或顶点上． 48．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 题型九　矩形的判定 49．在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 50．在四边形中，，．添加一个条件，使四边形为矩形，这个条件可以是 （填一个即可）． 51．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 巩固训练 52．如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 53．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 54．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 题型十　矩形的性质 55．如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 56．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 57．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 时，四边形是矩形． 巩固训练 58．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 59．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 60．如图，在中，为对角线，，垂足为点．若，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 题型十一　矩形中的折叠问题 61．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 62．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 63．如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 ． 巩固训练 64．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 65．如图，在长方形中，E是边上一点，连接，沿直线翻折后，点A恰好落在长方形的对称轴上的点处，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)延长交于点F，若，求的长． 66．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求、两点的坐标； (2)求过、两点的直线函数表达式． 题型十二　菱形的判定 67．如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 68．如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 69．如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 巩固训练 70．如图，的对角线，相交于点O，要使成为菱形，还需添加的一个条件是 ．    71．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 72．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点作，过点作，两线交于点，求证：四边形是菱形． 题型十三　菱形的性质 73．如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 74．如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（   ） A．3 B． C． D．5 75．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，，是对角线上的一个动点，点的坐标为．求的最小值是 ． 巩固训练 76．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对角线的长分别是和，一次函数的图像经过点，则的值为 ． 77．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 78．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，则的长为________． 题型十四　菱形的面积 79．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A．6 B．8 C．24 D．12 80．如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 81．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 巩固训练 82．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 83．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 84．如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 题型十五　正方形的判定 85．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 86．一个四边形添加下列三个条件便得到正方形：①两组对边分别相等②一个角是直角③一组对边平行且相等④一组邻边相等，请写出一种添加方案 ． 87．在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 巩固训练 88．如图，菱形中，对角线、相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形是正方形，则需要添加一个条件是 ．（填一个即可） 89．如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 90．已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 题型十六　正方形的性质 91．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．3 92．如图，已知正方形的边长为8，点E，F分别在边、上，，当时，的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 93．如图，正方形的对角线，相交于，的平分线交于点，若正方形的边长为2，则的面积为 ． 巩固训练 94．如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ． 95．如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． (1)求的长度； (2)与的位置关系如何？请说明理由． 96．如图，点是正方形的边上一点，把顺时针旋转至的位置．    (1)旋转中心是 ________点，旋转角度是 _______度，则是 _______三角形； (2)若四边形的面积为，求EF的长． 题型十七　正方形中的折叠问题 97．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 98．如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（    ）    A． B．1 C． D． 99．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是 ． 巩固训练 100．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为 ． 101．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 102．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若， ①则的长为 ． ②则的长为 ． 题型十八　中点四边形 103．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ． 104．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是 （填序号，填写一个即可）． 105．第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为，则第个图形的面积为 ．    巩固训练 106．E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，则四边形的形状是 ，当与满足条件 时，四边形是矩形． 107．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 108．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 题型十九　平行四边形的存在性问题 109．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．    (1)求点A的坐标； (2)求的长度； (3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 110．如图，正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段BC于点P，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，直线上是否存在点M，使以点A，G，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由． 111．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．    (1)求菱形的周长； (2)动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 112．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．    (1)点的坐标为___________． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 113．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点A出发，在线段上以的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形是矩形时，求t的值． (3)在整个运动过程中，是否存在t的值，使得平分四边形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 114．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)从运动开始，当t取何值时，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t的值；若不存在，说明理由． 题型二十　梯形 115．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 116．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 117．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 118．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 119．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 120．如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米． (1)求梯形ABQP的面积； (2)求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值． 题型二十一　三角形、梯形的中位线 121．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 122．如图，已知正方形中，G、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（　　） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定 123．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 巩固训练 124．如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 125．如图，在中，BD平分，，垂足为点E，交于点F，点G是的中点．如果，，求的长． 126．已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 题型二十二　平面向量 127．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 128．下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 129．如果，那么下列结论正确的是（  ） A．； B．； C．； D．． 巩固训练 130．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 131．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 132．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 题型二十三　平面向量的加减法 133．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 134．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 135．如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 巩固训练 136．化简：＝ ． 137．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 138．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 试卷第42页，共43页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$