精品解析：四川省眉山市仁寿实验中学2024-2025学年高二下学期三月月考数学试题

仁寿实验中学高2023级高二下三月月考试题 数学学科 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等常见函数的求导公式以及求导法则和复合函数的求导法则，一一判断各选项即可. 【详解】由于为常数，故，故A错误； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误． 2. 已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第19项 B. 第20项 C. 第21项 D. 第22项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 3. 已知数列的前n项和是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的前n项和公式分别求得，即可得到和. 【详解】由，所以，， 所以， 故选：A. 4. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率. 【详解】由，则曲线在点处的切线斜率为. 故选：B 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件可得，再结合可求得结果. 【详解】在等比数列中，， 所以， 所以，又， 设公比为q，则， 所以． 故选：B 6. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】设，则对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这表明，且等号成立当且仅当. ①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件； ②当时，取充分小的正数，使得，，； 再取充分大的正数，使得，，，则，且 ，，， . 从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件； ③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点. 而当时，有，且若，则必有，即. 所以在的范围内至多有一个零点. 二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是. 故选：C. 7. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 8 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 10. 若直线l为曲线与曲线的公切线，则直线l的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】曲线，则，曲线，则， 设直线l与曲线的切点坐标为，则切线方程为， 设直线l与曲线的切点坐标为，则切线方程为， 或， 直线l的斜率为0或． 故选：AD. 11. 被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可. 【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，… 设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确； B：，故B正确； C：结合A分析知：，故C错误； D：，， 可得，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的极小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由题意，函数的定义域为，. 因为恒成立，所以由，得；由，得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值. 故答案为：. 13. 在数列中，，，，则通项公式_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法求通项公式，如构造为，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】对递推式的两边同时取倒数，得，即， 因此，，故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是，可得． 故答案为：. 14. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据 “偏导函数”的定义求得，，进而利用换元法结合判别式法求得答案． 【详解】依题意， ， 同理可求得，所以,，设， 则，由， 得， ，此方程有解， 所以， 即，． 故的取值范围为， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值. 【小问1详解】 ， ， 故的图象在点处的切线为， 即； 【小问2详解】 的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由的关系求的通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【小问1详解】 当时，， 当时，满足上式，所以. 【小问2详解】 由题知， 所以，， 两式相减得 所以 17. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算求出公差，进而求解通项公式即可. （2）先利用裂项相消法求得，然后求解前项积即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 则，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以. 18. 已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，故为等差数列，利用求出，根据，其中，，得到，求出公差，得到通项公式； （2），设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和. 【小问1详解】 ，， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； 【小问2详解】 ， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）讨论方程的解的个数； （3）求证：. 【答案】（1）取得极小值，无极大值 （2） 当时，方程有2个解； 当或时，方程有1个解； 当时，方程有0个解. （3） 证明：由，， 即，即， 设，， 所以， 令， 当时，，所以函数在上单调递增， 则 所以令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断函数单调性，进而求得极值； （2）结合函数的图象求解即可； （3）转化为证明，构造函数，，进而结合导数证明即可. 【小问1详解】 由，， 则， 由于恒成立，因此令，即， 令，即或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，画出函数的大致图象： 由图可知，当时，函数与有2个交点，方程有2个解； 当或时，函数与有1个交点，方程有1个解； 当时，函数与有0个交点，方程有0个解. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿实验中学高2023级高二下三月月考试题 数学学科 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第19项 B. 第20项 C. 第21项 D. 第22项 3. 已知数列的前n项和是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 4. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 8 C. 9 D. 16 8. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若直线l为曲线与曲线的公切线，则直线l的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 11. 被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的极小值为________． 13. 在数列中，，，，则通项公式_______． 14. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值集合为________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 17. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项积. 18. 已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）讨论方程的解的个数； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $