第8章 概率 章末题型归纳总结（5知识点+8题型+好题必刷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第8章 概率 章末题型归纳总结 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （黑龙江省新时代高中教育联合体2025届高三4月考试数学试题）为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（   ） A． B． C． D． 全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． （2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： 性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． （2025·高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P D．    X 0 1 2 P 离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． （多选题）（2025·高三·全国·专题练习）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机抽取出1个球且不放回，直至取出红球为止．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 一、两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 二、二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 三、超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 四、正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 五、正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． （2025·高二·河南信阳·阶段练习）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 条件概率 【例1】（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·广东深圳·一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字，，，，，.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为”，事件“两次点数的最大值为”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·河北沧州·一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 条件概率是概率论中的重要概念，用于描述在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。掌握条件概率，关键在于理解其定义与公式。技巧上，要学会利用已知条件简化问题，如通过划分样本空间、利用事件的独立性或互斥性来求解。同时，树状图、列表法等直观工具也能帮助理清事件关系。总结时，需强调条件概率在实际问题中的应用，如风险评估、预测分析等，并注重培养逻辑思维与问题解决能力。 全概率公式与贝叶斯公式 【例2】（2025·高二·宁夏银川·阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【变式2-1】（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【变式2-2】（2025·高二·贵州遵义·阶段练习）一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 【变式2-3】（2025·高二·广东东莞·阶段练习）把红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，每个盒子5个球，其中的红球分别为2、3、4个.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，再从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【解题方法总结】 全概率公式用于计算一个事件在多个互斥且完备条件下发生的总概率，技巧在于准确划分样本空间并确定各条件概率。公式为. 贝叶斯公式则用于在已知结果下反推原因的概率，即。应用时需先确定先验概率，再结合新证据调整概率。 总结：两者相辅相成，全概率用于正向计算，贝叶斯用于逆向推理，掌握它们能极大提升解决复杂概率问题的能力。 随机变量及其与事件的联系 【例3】（2025·高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-1】（2025·高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2025·高二·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式3-3】（2025·高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【解题方法总结】 随机变量是定义在样本空间上的实值函数，将随机试验的结果映射为实数，分为离散型和连续型。它量化了随机事件的不确定性。事件是样本空间的子集，而随机变量通过取值范围与事件建立关联。 离散型随机变量的分布列 【例4】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式4-1】（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 【变式4-2】（2025·高二·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【变式4-3】（2025·高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【解题方法总结】 离散型随机变量的分布列的步骤： （1）确定取值：明确随机变量所有可能取值。 （2）计算概率：利用排列组合、古典概型等方法计算各取值的概率。 （3）验证性质：检查概率是否非负且总和为1。 二项分布与超几何分布 【例5】（2025·高三·全国·专题练习）某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【变式5-1】（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【变式5-2】（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【变式5-3】（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【解题方法总结】 二项分布与超几何分布的核心区别在于抽样方式与独立性： 1、抽样方式 二项分布：有放回抽样（每次试验独立），样本总量无限或足够大，每次概率p恒定。 超几何分布：无放回抽样（每次试验不独立），样本总量N有限且固定，概率随抽样动态变化。 2、独立性 二项分布：各次试验相互独立，成功概率p不变。 超几何分布：试验间不独立，成功概率依赖剩余样本比例。 3、应用场景 二项分布：适用于质量抽检、重复独立试验（如抛硬币）。 超几何分布：适用于不放回抽样（如抽奖、有限批次产品检测）。 正态分布 【例6】（2025届上海市闵行区高三学业质量调研（二模）数学试卷）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【变式6-1】（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【变式6-2】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【变式6-3】（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式6-4】（2025·高二·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【解题方法总结】 广泛用于自然、社会现象描述，如身高、考试成绩等。掌握正态分布有助于理解数据分布规律，进行概率预测和统计推断。 随机变量的数字特征 【例7】（多选题）（2025·高二·广东东莞·阶段练习）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·山东烟台·阶段练习）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（2025·高二·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【解题方法总结】 数字特征是随机变量概率性质的数值概括，掌握其计算方法与性质，能高效分析随机现象，为统计推断和决策提供依据。 概率的综合应用 【例8】（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【变式8-1】（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【变式8-2】（2025·四川自贡·二模）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【变式8-3】（2025·北京房山·一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，赋能潜力巨大.为了解某校学生对某款学习软件的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90名学生，获得数据如下： 是否使用该款学习软件 男生 女生 使用 40人 30人 不使用 10人 10人 假设学生是否使用该款学习软件相互独立.用频率估计概率. (1)估计该校学生使用该款学习软件的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该校所有学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.的方差分别记为，试比较与的大小（结论不要求证明）. 【变式8-4】（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【解题方法总结】 概率综合应用强调逻辑性与灵活性，需熟练掌握基础公式，善于将实际问题转化为数学模型。多练习、多总结，提升问题分析与解决能力。 1．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 3．（2025·高三·山东济南·期末）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·山东聊城·阶段练习）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江西九江·一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 8．（2025·江苏·模拟预测）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 9．（多选题）（2025·山东淄博·一模）下列命题中，真命题的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120 10．（多选题）（2025·湖北武汉·一模）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示： 作物类别 数量 作物平均高度/ 作物高度的方差 雄性作物 50 30 256 雌性作物 50 20 361 由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（    ） A．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C．为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D．经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 11．（多选题）（2025·江苏泰州·模拟预测）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 12．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机事件，．若，，，则 ． 14．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 15．（2025·广东深圳·一模）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4 9 10 7 3 (1)请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 16．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 17．（2025·陕西西安·二模）某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表： 中奖次数 张数 当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率． (1)估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率． (2)假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差． （i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望； （ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值． 18．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 概率 章末题型归纳总结 条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （黑龙江省新时代高中教育联合体2025届高三4月考试数学试题）为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”， 则，， 则， 因此在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为. 故选：C. 全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． （2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【解析】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： 性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． （2025·高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P D．    X 0 1 2 P 【答案】C 【解析】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． （多选题）（2025·高三·全国·专题练习）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机抽取出1个球且不放回，直至取出红球为止．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】法一：（概率法）由题可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则，，故A正确； 又，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确． 故选：AD． 法二：（排列组合法）由题可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3． 则，，，， 故的分布列为 0 1 2 3 所以，故A正确，B错误；C，D解析法一． 故选：AD． 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 一、两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 二、二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 三、超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 四、正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 五、正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． （2025·高二·河南信阳·阶段练习）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【解析】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为：. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则；；． 所以． 由题意，随机变量，所以． 又，． 所以，， 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲． 条件概率 【例1】（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 、、、、中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 所以，， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【变式1-1】（2025·广东深圳·一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字，，，，，.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为”，事件“两次点数的最大值为”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】事件包含，，，，，，，共7种情况， 其中只有和满足“两次点数的最大值为”，故. 故选：C. 【变式1-2】（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 【变式1-3】（2025·河北沧州·一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 【解题方法总结】 条件概率是概率论中的重要概念，用于描述在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。掌握条件概率，关键在于理解其定义与公式。技巧上，要学会利用已知条件简化问题，如通过划分样本空间、利用事件的独立性或互斥性来求解。同时，树状图、列表法等直观工具也能帮助理清事件关系。总结时，需强调条件概率在实际问题中的应用，如风险评估、预测分析等，并注重培养逻辑思维与问题解决能力。 全概率公式与贝叶斯公式 【例2】（2025·高二·宁夏银川·阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【解析】（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. （2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 【变式2-1】（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【解析】（1）设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 【变式2-2】（2025·高二·贵州遵义·阶段练习）一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 【解析】（1）设第一次取到红球为事件，第二次取到红球为事件，甲取到的2个球颜色不相同为事件， 则， 因为，显然事件为互斥事件， 所以. （2）由题意可知：, , 所以. 【变式2-3】（2025·高二·广东东莞·阶段练习）把红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，每个盒子5个球，其中的红球分别为2、3、4个.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，再从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【解析】（1）设事件表示“选取的是第个盒子”，，. 设事件表示“摸出的球是红球”. 已知甲盒有个球，其中红球个，则； 乙盒有个球，其中红球个，则； 丙盒有个球，其中红球个，则. 根据全概率公式可得：. （2）（ⅰ）根据贝叶斯公式可得： （ii）设事件表示“再摸出的球是红球”. 当从甲盒摸球时（即发生 ），； 当从乙盒摸球时（即发生 ），； 当从丙盒摸球时（即发生 ），. 由（i）知，同理可得，. 则. 【解题方法总结】 全概率公式用于计算一个事件在多个互斥且完备条件下发生的总概率，技巧在于准确划分样本空间并确定各条件概率。公式为. 贝叶斯公式则用于在已知结果下反推原因的概率，即。应用时需先确定先验概率，再结合新证据调整概率。 总结：两者相辅相成，全概率用于正向计算，贝叶斯用于逆向推理，掌握它们能极大提升解决复杂概率问题的能力。 随机变量及其与事件的联系 【例3】（2025·高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 【变式3-1】（2025·高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 【变式3-2】（2025·高二·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【解析】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 【变式3-3】（2025·高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 【解题方法总结】 随机变量是定义在样本空间上的实值函数，将随机试验的结果映射为实数，分为离散型和连续型。它量化了随机事件的不确定性。事件是样本空间的子集，而随机变量通过取值范围与事件建立关联。 离散型随机变量的分布列 【例4】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【答案】D 【解析】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式4-1】（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 【解析】（1）设事件“甲第i次射击命中目标”，设事件“乙第i次射击命中目标”，设事件“第三次射击就结束训练”， 则，． 所以， 所以第三次射击就结束训练的概率为； （2）①设事件“甲射击一次就结束训练” 则， 所以甲射击运动员射击一次的概率， ②设结束训练时，甲射击运动员射击次数为X，则X的可能取值为 ， ， ， 故甲射击运动员射击次数的分布列为： X 1 2 3 … k … P … … 【变式4-2】（2025·高二·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【解析】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 【变式4-3】（2025·高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【解析】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 【解题方法总结】 离散型随机变量的分布列的步骤： （1）确定取值：明确随机变量所有可能取值。 （2）计算概率：利用排列组合、古典概型等方法计算各取值的概率。 （3）验证性质：检查概率是否非负且总和为1。 二项分布与超几何分布 【例5】（2025·高三·全国·专题练习）某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【解析】（1）由表格数据可知，学生每日使用手机的时间小于共有人，故所求概率. （2）设中位数为，由表格数据知，使用手机的时间小于的频率为， 使用手机的时间小于的频率为，故， 所以，解得， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数为. （3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 所以. 【变式5-1】（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【变式5-2】（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【解析】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 【变式5-3】（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【解析】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【解题方法总结】 二项分布与超几何分布的核心区别在于抽样方式与独立性： 1、抽样方式 二项分布：有放回抽样（每次试验独立），样本总量无限或足够大，每次概率p恒定。 超几何分布：无放回抽样（每次试验不独立），样本总量N有限且固定，概率随抽样动态变化。 2、独立性 二项分布：各次试验相互独立，成功概率p不变。 超几何分布：试验间不独立，成功概率依赖剩余样本比例。 3、应用场景 二项分布：适用于质量抽检、重复独立试验（如抛硬币）。 超几何分布：适用于不放回抽样（如抽奖、有限批次产品检测）。 正态分布 【例6】（2025届上海市闵行区高三学业质量调研（二模）数学试卷）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【解析】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 【变式6-1】（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为： 【变式6-2】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【解析】（1）由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； （2）由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，， 所以分布列如下， 0 1 2 3 . 【变式6-3】（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【解析】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 【变式6-4】（2025·高二·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【解析】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 【解题方法总结】 广泛用于自然、社会现象描述，如身高、考试成绩等。掌握正态分布有助于理解数据分布规律，进行概率预测和统计推断。 随机变量的数字特征 【例7】（多选题）（2025·高二·广东东莞·阶段练习）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·山东烟台·阶段练习）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】女性成员人数X的可能值为， 则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD. 【变式7-2】（多选题）（2025·高二·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 【解题方法总结】 数字特征是随机变量概率性质的数值概括，掌握其计算方法与性质，能高效分析随机现象，为统计推断和决策提供依据。 概率的综合应用 【例8】（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【解析】（1）、；；；. 第3次停留在网页上的事件有、， 其概率为． （2）由题意知，、；；；， 用表示第次停留在A,B,C,D处的事件， 则， 所以， ， 所以， 故该公司应该选择网页． 【变式8-1】（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【解析】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则 . ②可取1，2，3， ，， ， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【变式8-2】（2025·四川自贡·二模）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【解析】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . （2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：. 【变式8-3】（2025·北京房山·一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，赋能潜力巨大.为了解某校学生对某款学习软件的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90名学生，获得数据如下： 是否使用该款学习软件 男生 女生 使用 40人 30人 不使用 10人 10人 假设学生是否使用该款学习软件相互独立.用频率估计概率. (1)估计该校学生使用该款学习软件的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该校所有学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.的方差分别记为，试比较与的大小（结论不要求证明）. 【解析】（1）根据题中数据，90名学生中使用该款学习软件的共人， 所以该校学生使用该款学习软件的概率可估计为. （2）从该校全体男生中随机抽取1人，“他使用该学习软件”记为事件A， 从该校全体女生中随机抽取1人，“她使用该学习软件”记为事件， 根据题中数据可知：. 随机变量的可能取值为. 则， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3）设从一年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件，的方差记为， 一年级有200名男生和180名女生，一年级学生使用该学习软件的概率为， 则， 该校所有学生中使用该款学习的概率为， 则， 因为，即， 所以除一年级外其他年级学生中使用该款学习软件的方差， 即. 【变式8-4】（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【解析】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 【解题方法总结】 概率综合应用强调逻辑性与灵活性，需熟练掌握基础公式，善于将实际问题转化为数学模型。多练习、多总结，提升问题分析与解决能力。 1．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 2．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【解析】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 3．（2025·高三·山东济南·期末）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又， 所以，即， 所以， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 4．（2025·高三·山东聊城·阶段练习）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴， ∴正态曲线的对称轴为，则， 即一组电池在20年内能正常使用的概率为， ∴这两组电池在20年内都能正常使用的概率为. 故选：D 5．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 6．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B 7．（2025·江西九江·一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【解析】每名教师抽到问题的概率为， 由题意可知，， 故选：D． 8．（2025·江苏·模拟预测）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 【答案】D 【解析】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 9．（多选题）（2025·山东淄博·一模）下列命题中，真命题的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】AB 【解析】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确. 对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得. 又因为（、为常数），那么. 已知，即，解得，B选项正确. 对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得. 因为，所以. 再根据方差的性质（、为常数），可得. 因为，所以，C选项错误. 对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为. 总体样本平均数. 根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得： ，所以D选项错误. 故选：AB. 10．（多选题）（2025·湖北武汉·一模）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示： 作物类别 数量 作物平均高度/ 作物高度的方差 雄性作物 50 30 256 雌性作物 50 20 361 由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（    ） A．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C．为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D．经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 【答案】ACD 【解析】所有作物的高度的平均值为，故A正确； 所有作物的高度的方差为，故B错误； 设作物高度达到预定达标高度的数量为，依题意知，则， 若，则， 由切比雪夫不等式可得，又， 解得，即最少种植27株，故C正确； 设存活株的概率最大，，则， ， ， 则， 解得，， 解得.又，所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2025·江苏泰州·模拟预测）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个， 所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确. 故选：ABD. 12．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 【答案】 【解析】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量， 的取值范围为，， 则的分布列为 因此，公司每年收益的期望值， 为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得. 故答案为：. 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机事件，．若，，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 14．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【解析】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 15．（2025·广东深圳·一模）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4 9 10 7 3 (1)请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【解析】（1）该市市民对“车辆限行”的赞成率为：； 平均年龄为. （2）的可能取值为，，，，，因为年龄在的市民不赞成“车辆限行”的频率为，由题意， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 16．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. （3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 17．（2025·陕西西安·二模）某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表： 中奖次数 张数 当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率． (1)估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率． (2)假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差． （i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望； （ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值． 【解析】（1）由已知回收的张奖券中中奖号码个数不少于的奖券的数量为， 所以回收的张奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率为， 所以估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率， （2）（i）由已知的可能取值有，，，，， 且，，， ，， 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望， （ii）随机变量的可能取值有，，，，， 且，，， ，， 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望， 由已知， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为. 18．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 【解析】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分， 又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇， 所以； （2）由已知的可能取值为，，，3 ，， 所以的分布列为 所以的数学期望为； （3），证明如下： 的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1， 平均数为：， 的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3， 平均数为： ， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$