拓展03 构造函数5考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展03 构造函数5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学以及数学知识体系中，函数是极为关键的内容，而构造函数作为一种重要的解题手段，贯穿于函数问题的多个方面。从函数的性质研究，如单调性、极值、最值，到函数相关的不等式与方程问题求解，构造函数都发挥着重要作用。这5个考点涵盖了比较大小、解不等式、不等式恒成立、证明不等式以及解决方程的根等问题，这些问题不仅是对函数知识的深入考查，更是培养学生数学思维与解题能力的重要载体。通过构造函数，能够将复杂的数学问题转化为更易于分析和解决的形式，体现了数学中的转化与化归思想，有助于学生深入理解函数的本质，提升数学综合素养，在高考数学中占据着重要的地位，是学生需要重点掌握的内容。 【处理角度】 1. 依据条件特征构造函数：仔细观察题目所给的条件，包括函数的表达式、导数信息、不等式形式以及方程结构等，分析其中的规律和特点，从而确定合适的函数进行构造。例如，当出现函数与其导数的组合形式时，考虑构造乘积或商的形式的函数；若不等式两边具有相似的结构，则尝试构造一个新函数，使不等式两边成为该函数在不同点的取值。 2. 利用导数研究函数性质：构造出函数后，通过求导来获取函数的单调性、极值和最值等性质。导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。函数的极值点是导数为零或导数不存在的点，通过比较极值与端点值的大小可确定函数的最值。这些性质对于解决各类问题至关重要，比如在比较大小时，可根据函数单调性判断函数值的大小关系；在解决不等式恒成立问题时，函数的最值可作为关键依据。 3. 结合函数性质解决问题：根据构造函数的性质，对原问题进行求解。在解不等式时，利用函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系；在证明不等式时，通过分析函数的最值或单调性来证明不等式成立；在处理方程的根的问题时，将方程转化为函数的零点问题，借助函数的图象与性质，判断零点的个数以及所在区间。 【解法策略】 1. 构造函数比较大小：观察所比较的数或式子的结构，找到相似性，构造与之相关的函数。对构造的函数求导，确定其单调性。根据函数单调性，判断函数在不同点处函数值的大小关系，从而得出所比较数或式子的大小顺序。 2. 构造函数解不等式：根据不等式的形式，构造合适的函数。通过对构造函数求导，分析其单调性、极值等性质。将原不等式转化为关于构造函数的不等式，利用函数单调性去掉函数符号，转化为普通不等式求解。对于涉及奇偶性的函数，利用奇偶性的性质，将不等式转化到函数单调性已知的区间上进行求解。 3. 构造函数解决不等式恒成立问题：把不等式进行变形，使一边为含参数的式子，另一边为构造的函数。对构造的函数求导，研究其单调性和最值。根据恒成立条件，若不等式恒成立，那么含参数的式子要不大于函数的最小值，或者不小于函数的最大值，由此确定参数的取值范围。有时需要对参数进行分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，进而确定满足恒成立条件的参数范围。 4. 构造函数证明不等式：分析要证明的不等式，根据其结构特点构造函数。求构造函数的导数，判断函数的单调性和极值情况。通过研究函数的最值，或者在特定区间上函数值的范围，来证明不等式成立。若函数在某个区间上的最小值大于零，那么在该区间上与函数相关的不等式就成立；或者通过比较两个构造函数的大小关系，来证明原不等式。 5. 构造函数解决方程的根：将方程转化为函数形式，令方程一边为零，另一边构造为函数。对构造的函数求导，分析其单调性、极值和最值，进而画出函数大致图象。把方程的根的问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题，或者两个函数图象的交点问题。根据函数图象的特征，判断交点个数，即方程根的个数；或者通过分析交点所在区间，确定方程根的范围。 考点1 构造函数比较大小 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点2 构造函数解不等式 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 考点3 构造函数解决不等式恒成立问题 11．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·湖北·期中）若在上恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 13．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 14．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点4 构造函数证明不等式 17．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性. (2)证明：当时，. 18．（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，设的两个零点为，求证：. 19．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． (3)证明：当且时，存在极大值，且极大值大于． 20．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 21．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 考点5 构造函数解决方程的根 22．（2024·全国·模拟预测）已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·四川自贡·期中）曲线上两点关于直线对称的点在曲线上，则的取值范围是 ． 24．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·河南·期中）已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知函数 的定义域为 ，设 的导函数是 ，且恒成立， 则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 4．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 6．（24-25高三上·陕西西安·期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 . 9．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 10．（24-25高三上·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题 11．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值； (2)若，求证：. 12．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)若函数，求不等式的解集. 13．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 14．（24-25高二下·重庆垫江·阶段练习）已知函数． (1)若，求曲线在处切线方程； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展03 构造函数5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学以及数学知识体系中，函数是极为关键的内容，而构造函数作为一种重要的解题手段，贯穿于函数问题的多个方面。从函数的性质研究，如单调性、极值、最值，到函数相关的不等式与方程问题求解，构造函数都发挥着重要作用。这5个考点涵盖了比较大小、解不等式、不等式恒成立、证明不等式以及解决方程的根等问题，这些问题不仅是对函数知识的深入考查，更是培养学生数学思维与解题能力的重要载体。通过构造函数，能够将复杂的数学问题转化为更易于分析和解决的形式，体现了数学中的转化与化归思想，有助于学生深入理解函数的本质，提升数学综合素养，在高考数学中占据着重要的地位，是学生需要重点掌握的内容。 【处理角度】 1. 依据条件特征构造函数：仔细观察题目所给的条件，包括函数的表达式、导数信息、不等式形式以及方程结构等，分析其中的规律和特点，从而确定合适的函数进行构造。例如，当出现函数与其导数的组合形式时，考虑构造乘积或商的形式的函数；若不等式两边具有相似的结构，则尝试构造一个新函数，使不等式两边成为该函数在不同点的取值。 2. 利用导数研究函数性质：构造出函数后，通过求导来获取函数的单调性、极值和最值等性质。导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。函数的极值点是导数为零或导数不存在的点，通过比较极值与端点值的大小可确定函数的最值。这些性质对于解决各类问题至关重要，比如在比较大小时，可根据函数单调性判断函数值的大小关系；在解决不等式恒成立问题时，函数的最值可作为关键依据。 3. 结合函数性质解决问题：根据构造函数的性质，对原问题进行求解。在解不等式时，利用函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系；在证明不等式时，通过分析函数的最值或单调性来证明不等式成立；在处理方程的根的问题时，将方程转化为函数的零点问题，借助函数的图象与性质，判断零点的个数以及所在区间。 【解法策略】 1. 构造函数比较大小：观察所比较的数或式子的结构，找到相似性，构造与之相关的函数。对构造的函数求导，确定其单调性。根据函数单调性，判断函数在不同点处函数值的大小关系，从而得出所比较数或式子的大小顺序。 2. 构造函数解不等式：根据不等式的形式，构造合适的函数。通过对构造函数求导，分析其单调性、极值等性质。将原不等式转化为关于构造函数的不等式，利用函数单调性去掉函数符号，转化为普通不等式求解。对于涉及奇偶性的函数，利用奇偶性的性质，将不等式转化到函数单调性已知的区间上进行求解。 3. 构造函数解决不等式恒成立问题：把不等式进行变形，使一边为含参数的式子，另一边为构造的函数。对构造的函数求导，研究其单调性和最值。根据恒成立条件，若不等式恒成立，那么含参数的式子要不大于函数的最小值，或者不小于函数的最大值，由此确定参数的取值范围。有时需要对参数进行分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，进而确定满足恒成立条件的参数范围。 4. 构造函数证明不等式：分析要证明的不等式，根据其结构特点构造函数。求构造函数的导数，判断函数的单调性和极值情况。通过研究函数的最值，或者在特定区间上函数值的范围，来证明不等式成立。若函数在某个区间上的最小值大于零，那么在该区间上与函数相关的不等式就成立；或者通过比较两个构造函数的大小关系，来证明原不等式。 5. 构造函数解决方程的根：将方程转化为函数形式，令方程一边为零，另一边构造为函数。对构造的函数求导，分析其单调性、极值和最值，进而画出函数大致图象。把方程的根的问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题，或者两个函数图象的交点问题。根据函数图象的特征，判断交点个数，即方程根的个数；或者通过分析交点所在区间，确定方程根的范围。 考点1 构造函数比较大小 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数， 利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系. 【详解】因为，所以； 因为函数单调递增，，所以，即，则，所以； 构造函数，则， 令，则， 显然在上单调递增，所以， 故在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 从而，故有，整理得， 所以，故． 故选：B 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及. 【详解】由题得， 构造函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以. 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 综上，. 故选：B 3．（24-25高二下·湖北·期中）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以，即， 所以在单调递减，因为，所以， 即，所以. 故选：D 考点2 构造函数解不等式 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合题意得，所以在上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， ，即， 又，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 5．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6．（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，利用导数结合奇偶性判断其单调性，再将合理转化并分类讨论，求解的取值范围即可. 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，， 则，则函数为偶函数， 由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为，故D正确. 故选：D． 7．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 8．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解. 【详解】设，则． 由当时，，得，即，故在区间上单调递增． 又，所以，即． 因为为上的偶函数，所以， 即，计算得，所以， 解得或． 故答案为：. 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 考点3 构造函数解决不等式恒成立问题 11．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性奇偶性转化为在上恒成立，再分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故 故选：A 12．（24-25高二下·湖北·期中）若在上恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分参得到，进而求得的最大值，即可求解. 【详解】由得，所以在上恒成立， 构造， 求得可得：， 由可得：，由，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得最大值为，所以， 故的最小值为， 故选：D. 13．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数单调性； （2）解法一：分离参数可得在上恒成立，构建，利用导数求其最值即可得结果；解法二：可知在上恒成立，分类讨论，结合（1）中的单调性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）解法一：（分离参数法）由已知得在上恒成立， 等价于在上恒成立， 构建， 则 构建，可知在上单调递减，且， 当时，，即； 当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，即实数的取值范围为； 解法二：（分类讨论法）由题意可知： 在上恒成立， 由（1）知，当时，在上单调递减； 且，不合题意； 当时，可知， 构建，可知在上单调递增，且， 若，则，可得， 故实数的取值范围为 14．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 15．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 16．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，分和两种情况，参变分离得到，构造，求导得到其单调性，求出最小值为，得到. 【详解】， 令，则， 因为在R上单调递增，所以， 当时，可由向右平移得到， 结合与的图象可知，恒成立， 当时，由得到，其中， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 故， 综上，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：同构构造，从而令，得到，根据的单调性得到，再进行下一步求解. 考点4 构造函数证明不等式 17．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性. (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）构造函数，求导，确定最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知 要证， 只需证， 即证 令 即证， 因为，再令. 因为， 由，可得，，可得 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以， 所以当时，. 18．（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，设的两个零点为，求证：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，利用导数分析函数的单调性即可； （3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而利用导数证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，即， 故所求切线方程为. （2）由，， 则， 令，则； 令，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证， 因为，且在上单调递减， 从而只需证即可. ， 令， 在上单调递增. ，即证，即证. 19．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． (3)证明：当且时，存在极大值，且极大值大于． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对求导后，通过解不等式，可得的单调区间； （2）时，恒成立等价于时，恒成立，令，注意到，可得恒成立的一个必要条件为，然后由题证明也是恒成立的充分条件即可得答案； （3）令，可得极大值为，其中，要证明 ，等价于证明，其中，，利用导数研究的单调性可完成证明. 【详解】（1）时，， 令， ，. 则的单调递增区间为： （2）， 则时，恒成立， 等价于时，恒成立. 令，则 注意到，则，对恒成立的一个必要条件为， 下面证明也是所涉恒成立的充分条件. 令，则， 即在上单调递增， 当时，注意到，， 结合在上单调递增，则使， 则， 则在上单调递减，则当时，，这与题意不符； 当时，，则，则在上单调递增， 又，则时，. 综上可知，当，恒成立时，； （3）， 其中满足，则令， ， 则在上递增，在上递减， 则极大值为. 要证，即证，注意到， 则 ，其中. 令，. 因，. 则， 令， 则， 则在上单调递增，又， 则，使， . 则，， 则在上递减，在上单调递增， 则， 令， 则，得在上递增， 则. 即当时，，故命题得证. 【点睛】关键点睛：本题第二小问处理恒成立问题的方法为由题目条件猜测满足题意的充要条件，也称为“必要性探路”.对于不便求出零点的问题，可如第三问先由零点存在性定理证明解的存在性，再设出零点，并用零点的等式性质解决问题. 20．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求的导数，利用导数与函数极值的关系即可得解； （2）利用，结合放缩法将不等式转化为证明恒成立，再构造函数，利用导数即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， 则， 若，则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值. （2）因为，所以， 要证，只需证即可， 即证即可，即证即可， 令，则， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以的最大值在或处取得，又，， 所以，即恒成立， 所以. 21．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 考点5 构造函数解决方程的根 22．（2024·全国·模拟预测）已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合导数研究函数的图像与性质，画出函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 由题知，故方程恰有两个不同的根．设，， 则与的图像有两个交点， ，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， ，当时，， 在同一坐标系中做出与的大致图像如图所示， 设直线与的图像相切时切点的横坐标为， ， 即．设，则， 易知在上单调递增，， ，， 由图可知，方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为， 故选:B． 23．（24-25高三上·四川自贡·期中）曲线上两点关于直线对称的点在曲线上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为与有2个交点，即有2个不同的实根，设，求导得到其单调性，并画出函数图象，结合的图象为过定点的直线，得到相切时的斜率，数形结合得到的取值范围. 【详解】与关于对称， 又上两点关于直线对称的点在曲线上， 故与有2个交点， 即有2个不同的实根， 即有2个不同的实根， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，且趋向于0时，趋向于， 当趋向于时，趋向于0， 作出的图象，如下：    且的图象为过定点的直线， 当与相切时，设切点为，此时， 又根据两点间斜率公式得， 所以，故， 由于在上单调递增，且， 故有唯一解， 故切线斜率为， 数形结合得到时，有2个不同的实根， 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为有3个不同的根，令，，利用导数求出的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由方程有3个不同的根，即有3个不同的根， 令，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，作出图象如下： 所以，即. 故选：B. 25．（24-25高三上·河南·期中）已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）先设，再把与的图象相切的直线恰有2条转化为关于的方程有两个不等的实根，构造，再根据方程有两个不等实根求参. 【详解】（1）因为点在的图象上，所以， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 所以的方程为， 将点的坐标代入得， 因为过点与的图象相切的直线恰有条， 所以关于的方程有两个不等的实根. 设，则， 令，得，或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为,的极小值为, 因为方程有两个不等实根，则，或， 即的值为或. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知函数 的定义域为 ，设 的导函数是 ，且恒成立， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设不等式特点，设，判断的单调性，利用函数的单调性，可得，即得，即可判断. 【详解】设 则 ， 故 在定义域上是增函数， 于是 即 ， 即有，故得 . 故选:C. 2．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解. 【详解】因为，由，得到，即， 令，则，因为，所以在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又， 所以，可得，即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选D. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解. 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【答案】D 【分析】A选项，令得；D选项，构造函数，得到的单调性，然后利用单调性和的性质即可得到结论；BC选项，根据的正负判断. 【详解】在中令得，故A错； 令，则， 因为当时，， 所以，在上单调递增， 因为，所以当时，，时，， 因为在时，，时，， 所以时，，故D正确； ，则，，故的正负不确定，故B错； 当时，，，故在的单调性不确定，故C错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型： ①乘积形式：例如，； ②商的形式：例如，. 4．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 二、多选题 5．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】AD 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 6．（24-25高三上·陕西西安·期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出、的大小，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 构造函数，其中，则， 当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数， 当时，，即， 因为、为正实数，所以，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，由可得， 所以，，A对B错， 因为对数函数在上为增函数，则，C对； 因为，则，但无法判断的大小，D错. 故选：AC. 三、填空题 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先证明若原不等式恒成立，则有，再证明若，则原不等式恒成立，即可得到的取值范围是. 【详解】①若原不等式对恒成立，取，得. 而，，故，解得. 再取，得，从而，解得. 从而一定有. ②若，设，则对有，对有，所以在上递增，在上递减. 故对任意，都有，所以，. 这就说明了，故. 从而有，即原不等式恒成立. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于的方程有三个不等的实根转化为有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，结合二次方程根的分布，求得答案. 【详解】由题意得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示， 令，，由方程有三个不等的实根， 即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内， 令，， 则有两个不等的实根，设为， 则，所以不妨令， 则，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将问题转化为直线恒在上方来求解，即可得，进而构造函数，求得的最小值. 【详解】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，重点在于通过通过转化将转化为只含的表达式，求得最小值，需要较强的分析问题解决问题的能力，难度较大. 10．（24-25高三上·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】原不等式等价于，当，可得，当时，构造，利用导数研究单调性可得，即可得在上恒成立，构造，利用导数求得最大值，即可求解. 【详解】依题意，．得，所以， 所以， 因为，所以，若，显然成立，此时满足； 若，令，在上恒成立， 所以在上单调递增，而，所以． 综上，在上恒成立，所以． 令，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，即． 所以的取值范围为. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合(图象在上方即可)； ③分类讨论参数. 四、解答题 11．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值； (2)若，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求得，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间、减区间以及极大值、极小值； （2）当时，可得出，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，证明出即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 又因为，当时，；当时，. 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为， 故有极小值，无极大值. （2）当时，，定义域为，则， 令，则， 故在上单调递增， 又因为，， 所以，存在，使得，即，即， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 因此，当时，. 12．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)若函数，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意求得切线斜率，求得切点坐标，利用点斜式方程可求切线方程； （2）作差得，构造函数，根据导数研究其单调性，求得最值，进而可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 则的图象在处的切线方程为，即. （2）. 令，则， 由，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，则. 故当时，，当时，， 从而的解集为. 13．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围. 【详解】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 14．（24-25高二下·重庆垫江·阶段练习）已知函数． (1)若，求曲线在处切线方程； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数在某点的导数，该导数就是曲线在该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，利用点斜式方程可求得切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导分析函数单调性来确定最值. 【详解】（1）当时，. 首先求的导数：可得. 然后求和的值： 将代入，得. 将代入，得. 最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为，即. （2）当时，恒成立，即恒成立. 对不等式进行化简：可得在上恒成立. 设，则. 求的导数：可得. 设，求的导数：. 因为，所以，，则.这说明在上单调递减. 所以，即.则在上单调递减. 所以.因此，.   则实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$