专题07 二项式定理9考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题07 二项式定理9考点复习指南 二项式定理作为数学中的重要内容，在多个领域有着广泛的应用。它不仅在代数计算中占据关键地位，还在概率统计、组合数学等学科以及实际生活中的排列组合问题里发挥着重要作用。下面从问题背景、处理角度、解法策略三个方面对二项式定理相关考点进行分析。 【问题背景】 在数学研究和实际应用中，经常会遇到形如这样的式子展开的需求。二项式定理正是为了解决这类式子的展开问题而产生的，它给出了展开式的通项公式，能方便地求出展开式中特定项的系数、项数以及各项系数的和等相关信息. 【处理角度】 1.运用通项公式：二项式展开式的通项公式是解决二项式问题的核心工具。无论是求特定项的系数、项数，还是判断有理项等问题，都需要通过通项公式进行分析和计算。在使用通项公式时，要准确确定公式中的n、r等参数，按照公式进行计算。 2.利用组合数性质：组合数的性质在二项式问题中有着重要作用，可用于简化二项式系数的计算、证明二项式相关的等式以及解决与二项式系数最值有关的问题。在证明一些复杂的二项式等式时，巧妙运用组合数性质可以将等式两边的组合数进行变形和化简，从而使证明过程更加简洁明了。在计算二项式系数的和或差时，也可以利用这些性质进行转化，提高计算效率。 3.赋值法：对于系数和问题，赋值法是一种非常有效的解法。通过给二项式中的变量赋予特定的值，如x = 1、x = -1等，能够快速得到各项系数之和、奇数项系数和、偶数项系数和以及各项系数绝对值的和等。在运用赋值法时，要根据所求问题的特点选择合适的赋值。如果要求所有项系数之和，通常令变量等于1；若要区分奇数项和偶数项系数的情况，则令变量等于1和-1，然后通过两式相加或相减来求解。 4.转化与化归思想：在解决三项展开式问题或多项式乘积的展开式问题时，常常运用转化与化归思想。将三项式转化为二项式来处理，把复杂的多项式乘积展开问题通过合理的变形和分类讨论，转化为可以利用二项式定理解决的问题。这种思想方法能够将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，降低解题难度。 5.观察与归纳：在研究杨辉三角相关问题时，观察和归纳是重要的方法。通过仔细观察杨辉三角中数字的排列规律、每行数字的特点以及相邻行之间的关系，归纳总结出一般性的结论。观察杨辉三角中每行数字的和与二项式系数和的关系，发现第n行数字的和等于，利用观察和归纳得到的结论，可以快速解决一些与二项式系数有关的问题，同时也有助于深入理解二项式定理的本质。 【解法策略】 1.二项展开式中特定项的系数问题：主要通过二项式展开式的通项公式来求解。通过确定n、r的值，结合题目条件求出特定项的系数。若要求展开式中有理项的项数，需根据有理项的定义，即该项中变量的指数为整数，通过通项公式确定满足条件的r的个数。 2.多项式乘积的展开式问题：这类问题需要将多项式中的每一项与另一多项式的每一项相乘，然后合并同类项来确定特定项的系数。在解决此类问题时，要注意各项相乘时的系数计算以及同类项的合并，避免遗漏或重复计算。 3.三项展开式问题：通常将三项式转化为二项式来处理，在展开过程中，需要多次运用二项式展开式的通项公式，根据各项的次数要求确定系数。对于较复杂的三项展开式，可能还需要对不同的二项式展开情况进行分类讨论，综合计算得到最终结果。 4.二项式系数的性质：利用二项式系数的性质来解决问题，如二项式系数的对称性（与首末两端 “等距离” 的两项的二项式系数相等）、增减性与最大值（当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大）以及二项式系数的和等。在已知展开式中某些二项式系数的关系时，可根据这些性质列出方程或等式，求解n的值；在求展开式中所有项的二项式系数和时，直接利用二项式系数和的性质进行计算。 5.二项式系数的最值：根据二项式系数的增减性和对称性来确定二项式系数最大的项。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 。在具体问题中，可先判断n的奇偶性，再确定最大二项式系数所在的项数。对于求展开式中系数最大的项，除了考虑二项式系数的大小，还需结合展开式通项公式中各项系数的正负情况，通过列出不等式组来确定系数最大的项。 6.系数和问题：利用赋值法来求解各项系数和、奇数项系数和、偶数项系数和以及各项系数绝对值的和等问题。令二项式中的字母取特殊值，如令x = 1可得到各项系数之和；令x = -1，再结合令x = 1时的结果，通过两式相加或相减可求出奇数项系数和与偶数项系数和；对于各项系数绝对值的和，若二项式中各项系数正负相间，可令x = -1得到。在运用赋值法时，要根据所求问题选择合适的赋值，准确计算出相应的系数和。 7.系数最大问题：求展开式中系数最大的项，通常设展开式中第r + 1项的系数最大，根据通项公式写出该项系数，然后列出不等式组，通过解不等式组确定r的取值范围，进而得到系数最大的项。在列不等式组时，要综合考虑相邻两项系数的大小关系，确保所求的项系数最大。同时，要注意系数的正负情况对结果的影响。 8.二项式定理的应用：二项式定理在证明整除问题、近似计算以及推导组合数的相关性质等方面有广泛应用。在证明整除问题时，将所给式子转化为二项式形式，利用二项展开式中各项与除数的关系来证明；在近似计算中，根据二项式展开式，舍去较小的项来得到近似值；在推导组合数性质时，通过构造合适的二项式，利用二项展开式中某项的系数相等来得出结论。在应用二项式定理解决这些问题时，需要根据具体问题的特点，巧妙地构造二项式，并灵活运用二项式展开式的性质和特点。 9.杨辉三角：杨辉三角直观地展示了二项式系数的排列规律，通过观察杨辉三角中数字的排列和组合数的性质，可以解决与二项式系数相关的一些问题。利用杨辉三角中某行数字与二项式系数的对应关系，判断二项式系数的大小关系、计算二项式系数的和等。杨辉三角还蕴含着许多有趣的数学规律，如每行数字左右对称、相邻两行数字之间的关系等，这些规律为解决二项式相关问题提供了直观的思路和方法。 考点1 二项展开式中特定项的系数问题 1．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 2．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 3．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 4．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 考点2 多项式乘积的展开式问题 6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）在的展开式中，项的系数为 . 9．（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 12．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 考点3 三项展开式问题 13．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 15．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 16．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 17．（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 18．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 考点4 二项式系数的性质 19．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．（23-24高二下·山东青岛·期中）设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ． 22．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 23．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则其展开式中的常数项为（    ）． A．4 B． C．6 D． 考点5 二项式系数的最值 25．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 26．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高三上·安徽·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 28．（23-24高二下·河北唐山·期中）在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 29．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 考点6 系数和问题 30．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 31．（24-25高二下·全国·课后作业）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 32．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 34．（23-24高二下·山西临汾·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 35．（23-24高二下·北京延庆·期中）若，且，则实数值为（    ） A． B． C．或 D．或 36．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 考点7 系数最大问题 37．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 38．（22-23高二下·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 39．（22-23高三上·江西南昌·开学考试）在展开式中，下列说法错误的是（    ） A．常数项为 B．第项的系数最大 C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为 40．（21-22高二下·河南商丘·期中）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（    ） A． B． C． D． 41．（21-22高二下·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 考点8 二项式定理的应用 42．（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 43．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 44．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 45．（24-25高三上·贵州·开学考试）若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”． (1)设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列． (2)已知递增数列的前n项和为，且． ①求的通项公式； ②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求． 46．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 47．（24-25高三上·湖北·期中）若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 48．（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 49．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 考点9 杨辉三角 50．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 51．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A．350 B．295 C．285 D．230 52．（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（    ） A． B．第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 D．第2020行的第1010个数最大 53．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 一、单选题 1．（24-25高二下·河北衡水·期中）展开式中，的系数为（    ） A． B．32 C． D．24 2．（24-25高二下·河北邢台·期中）已知，则为（    ） A．180 B．150 C．120 D．200 3．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）若对恒成立，其中，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知的展开式中含项的系数是20，则的值等于（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．以上都不对 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若，则（    ） A．243 B．27 C．1 D． 6．（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 9．（2021·北京西城·一模）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 10．（21-22高二下·重庆九龙坡·阶段练习）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 11．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 二、多选题 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 13．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知在的二项展开式中，第项为常数项，则（    ） A． B．展开式中系数的绝对值最大的项是第项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为 14．（24-25高二下·河北衡水·期中）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 15．（24-25高二下·湖北·期中）对任意实数x，有.则下列结论正确的是（   ） A． B．（，1，…，9）的最大值为 C． D． 16．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，下列说法正确的是（      ） A．展开式共10项 B．含项的系数为2016 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为512 三、填空题 17．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 18．（24-25高二下·河北衡水·期中）的展开式有7项，则 ；展开式中的系数为 ． 19．（24-25高二下·湖北·期中）二项式展开式中的系数为 . 20．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，的系数为 （结果用数字作答） 21．（2022·广东茂名·一模）的展开式中，其中不含的项为 . 22．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 23．（24-25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 四、解答题 24．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 25．（24-25高二下·湖北·期中）已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. (1)求的值. (2)记，求被除的余数. 26．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； 27．（24-25高二下·河北保定·期中）已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求值及二项式系数最大项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答）. 28．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知的二项展开式有7项． (1)求，并求出所有二项式系数之和； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式中的有理项． 29．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 30．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题07 二项式定理9考点复习指南 二项式定理作为数学中的重要内容，在多个领域有着广泛的应用。它不仅在代数计算中占据关键地位，还在概率统计、组合数学等学科以及实际生活中的排列组合问题里发挥着重要作用。下面从问题背景、处理角度、解法策略三个方面对二项式定理相关考点进行分析。 【问题背景】 在数学研究和实际应用中，经常会遇到形如这样的式子展开的需求。二项式定理正是为了解决这类式子的展开问题而产生的，它给出了展开式的通项公式，能方便地求出展开式中特定项的系数、项数以及各项系数的和等相关信息. 【处理角度】 1.运用通项公式：二项式展开式的通项公式是解决二项式问题的核心工具。无论是求特定项的系数、项数，还是判断有理项等问题，都需要通过通项公式进行分析和计算。在使用通项公式时，要准确确定公式中的n、r等参数，按照公式进行计算。 2.利用组合数性质：组合数的性质在二项式问题中有着重要作用，可用于简化二项式系数的计算、证明二项式相关的等式以及解决与二项式系数最值有关的问题。在证明一些复杂的二项式等式时，巧妙运用组合数性质可以将等式两边的组合数进行变形和化简，从而使证明过程更加简洁明了。在计算二项式系数的和或差时，也可以利用这些性质进行转化，提高计算效率。 3.赋值法：对于系数和问题，赋值法是一种非常有效的解法。通过给二项式中的变量赋予特定的值，如x = 1、x = -1等，能够快速得到各项系数之和、奇数项系数和、偶数项系数和以及各项系数绝对值的和等。在运用赋值法时，要根据所求问题的特点选择合适的赋值。如果要求所有项系数之和，通常令变量等于1；若要区分奇数项和偶数项系数的情况，则令变量等于1和-1，然后通过两式相加或相减来求解。 4.转化与化归思想：在解决三项展开式问题或多项式乘积的展开式问题时，常常运用转化与化归思想。将三项式转化为二项式来处理，把复杂的多项式乘积展开问题通过合理的变形和分类讨论，转化为可以利用二项式定理解决的问题。这种思想方法能够将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，降低解题难度。 5.观察与归纳：在研究杨辉三角相关问题时，观察和归纳是重要的方法。通过仔细观察杨辉三角中数字的排列规律、每行数字的特点以及相邻行之间的关系，归纳总结出一般性的结论。观察杨辉三角中每行数字的和与二项式系数和的关系，发现第n行数字的和等于，利用观察和归纳得到的结论，可以快速解决一些与二项式系数有关的问题，同时也有助于深入理解二项式定理的本质。 【解法策略】 1.二项展开式中特定项的系数问题：主要通过二项式展开式的通项公式来求解。通过确定n、r的值，结合题目条件求出特定项的系数。若要求展开式中有理项的项数，需根据有理项的定义，即该项中变量的指数为整数，通过通项公式确定满足条件的r的个数。 2.多项式乘积的展开式问题：这类问题需要将多项式中的每一项与另一多项式的每一项相乘，然后合并同类项来确定特定项的系数。在解决此类问题时，要注意各项相乘时的系数计算以及同类项的合并，避免遗漏或重复计算。 3.三项展开式问题：通常将三项式转化为二项式来处理，在展开过程中，需要多次运用二项式展开式的通项公式，根据各项的次数要求确定系数。对于较复杂的三项展开式，可能还需要对不同的二项式展开情况进行分类讨论，综合计算得到最终结果。 4.二项式系数的性质：利用二项式系数的性质来解决问题，如二项式系数的对称性（与首末两端 “等距离” 的两项的二项式系数相等）、增减性与最大值（当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大）以及二项式系数的和等。在已知展开式中某些二项式系数的关系时，可根据这些性质列出方程或等式，求解n的值；在求展开式中所有项的二项式系数和时，直接利用二项式系数和的性质进行计算。 5.二项式系数的最值：根据二项式系数的增减性和对称性来确定二项式系数最大的项。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 。在具体问题中，可先判断n的奇偶性，再确定最大二项式系数所在的项数。对于求展开式中系数最大的项，除了考虑二项式系数的大小，还需结合展开式通项公式中各项系数的正负情况，通过列出不等式组来确定系数最大的项。 6.系数和问题：利用赋值法来求解各项系数和、奇数项系数和、偶数项系数和以及各项系数绝对值的和等问题。令二项式中的字母取特殊值，如令x = 1可得到各项系数之和；令x = -1，再结合令x = 1时的结果，通过两式相加或相减可求出奇数项系数和与偶数项系数和；对于各项系数绝对值的和，若二项式中各项系数正负相间，可令x = -1得到。在运用赋值法时，要根据所求问题选择合适的赋值，准确计算出相应的系数和。 7.系数最大问题：求展开式中系数最大的项，通常设展开式中第r + 1项的系数最大，根据通项公式写出该项系数，然后列出不等式组，通过解不等式组确定r的取值范围，进而得到系数最大的项。在列不等式组时，要综合考虑相邻两项系数的大小关系，确保所求的项系数最大。同时，要注意系数的正负情况对结果的影响。 8.二项式定理的应用：二项式定理在证明整除问题、近似计算以及推导组合数的相关性质等方面有广泛应用。在证明整除问题时，将所给式子转化为二项式形式，利用二项展开式中各项与除数的关系来证明；在近似计算中，根据二项式展开式，舍去较小的项来得到近似值；在推导组合数性质时，通过构造合适的二项式，利用二项展开式中某项的系数相等来得出结论。在应用二项式定理解决这些问题时，需要根据具体问题的特点，巧妙地构造二项式，并灵活运用二项式展开式的性质和特点。 9.杨辉三角：杨辉三角直观地展示了二项式系数的排列规律，通过观察杨辉三角中数字的排列和组合数的性质，可以解决与二项式系数相关的一些问题。利用杨辉三角中某行数字与二项式系数的对应关系，判断二项式系数的大小关系、计算二项式系数的和等。杨辉三角还蕴含着许多有趣的数学规律，如每行数字左右对称、相邻两行数字之间的关系等，这些规律为解决二项式相关问题提供了直观的思路和方法。 考点1 二项展开式中特定项的系数问题 1．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 【答案】(1)15 (2)有3项，分别是第1、第7和第13项 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求出第7项为，令即可求解； （2）由（1）知，根据通项公式可得，则为6的倍数，即可求解. 【详解】（1）因为展开式的第7项是 由于第7项是常数项，故，解得； （2）由（1）知， 展开式的通项为， 若为有理项，则为整数， 为6的倍数， ，，共三个数， 展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. 2．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 【答案】C 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式中含项的系数为. 故选：C. 3．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由二项式定理可列方程求解参数. 【详解】因为二项式的展开式中的系数是， 所以，解得. 故选：C. 4．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的通项公式求解. 【详解】的展开式的第7项的二项式系数是. 故选：C. 5．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 考点2 多项式乘积的展开式问题 6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式定理，即可求解. 【详解】因为，的展开式的通项公式为 所以，的展开式中的系数为， 解得， 故选：B. 7．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】直接利用二项式定理展开，可求系数和. 【详解】 ， 因为，所以含的项为，， 所以含系数和为. 故选：A. 8．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】55 【分析】结合乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】 的通项公式为， 其含有项和常数项分别，， 则的展开式中含有的项的系数为. 故答案为：. 9．（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果. 【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数， 即. 故选：B 10．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为， 且的展开式为， 令，解得，可得； 令，解得，不合题意； 所以项的系数为. 故选：B. 11．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【详解】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 12．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 【答案】C 【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可. 【详解】， 要得到含项，只需要找出展开式的，即可. 二项式的展开式中含的项为，没有含的项. 故含项为，含项的系数是240. 故选：C. 考点3 三项展开式问题 13．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】将视为一个整体，利用二项式定理求的展开式，再结合二项式定理确定展开式中各项的展开式中的常数项，由此可得结论. 【详解】 ， 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 14．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 15．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】45 【分析】由二项式展开得项只能在展开式中，进一步结合二项式系数即可求解. 【详解】， 项只能在展开式中，即为，系数为. 故选：45. 16．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中项的系数，得到答案. 【详解】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 17．（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【答案】B 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 18．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由，写出展开式的通项，再代入计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以， 即的展开式中的系数为. 故选：B 考点4 二项式系数的性质 19．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 20．（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得. 【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 21．（23-24高二下·山东青岛·期中）设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ． 【答案】5 【分析】由二项式系数的性质得出，再根据列出方程求解即可． 【详解】展开式的二项式系数的最大值为， 展开式的二项式系数的最大值为， 因为，所以，即，解得， 故答案为：5． 22．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】根据各项二项式系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】由题意得，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 23．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 24．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则其展开式中的常数项为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】由展开式中所有项的二项式系数和为， 所以，解得； 所以展开式的通项为，， 令，解得，所以展开式中的常数项为． 故选：B． 考点5 二项式系数的最值 25．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 26．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值. 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得. 故选：D. 27．（21-22高三上·安徽·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 28．（23-24高二下·河北唐山·期中）在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质直接求出值. 【详解】由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，即， 所以. 故选：B 29．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】C 【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大． 故选：C. 考点6 系数和问题 30．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1); (2)2; (3)18. 【分析】(1)根据二项式系数和为先确定值，再计算的值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【详解】（1）由二项式系数和为512知，， 故， 所以. （2）在中， 令，可得， 令，可得， 所以 . （3）在中， 两边求导可得， 令,可得， 所以. 31．（24-25高二下·全国·课后作业）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 【答案】(1)512 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质直接计算即可. （2）令，即可求得各项系数之和. （3）令，得，结合（2）的结果相加即可求解. （4）结合展开式通项可知各项系数的符号，有，令，即可求得. 【详解】（1）设. 二项式系数之和为. （2）令，，得各项系数之和. （3）令，，得， 又， 两式相加得， 故所有奇数项系数之和为. （4）， ，，，，. ， 令，，得. 32．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赋值法求解即可. 【详解】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 33．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 【答案】C 【分析】分别令、得两式相加可得答案. 【详解】令，得， 令，得， 两式相加得， 则. 故选：C. 34．（23-24高二下·山西临汾·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 【答案】C 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 35．（23-24高二下·北京延庆·期中）若，且，则实数值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】取，则， 取，则，因此，解得或， 故选：C 36．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 【答案】D 【分析】借助赋值法令可计算出，再借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有， 即，故， 即有， 对，有， 令，则有， 即. 故选：D. 考点7 系数最大问题 37．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解. 【详解】因为的展开通项公式为， 又当时，取最大值， 则系数最大的项是第13项． 故选：C. 38．（22-23高二下·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，. 所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，， 解得或（舍去）， 所以，. 设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为， 则有，即， 整理可得，所以. 又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项. 故选：B. 39．（22-23高三上·江西南昌·开学考试）在展开式中，下列说法错误的是（    ） A．常数项为 B．第项的系数最大 C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为 【答案】B 【分析】由二项式定理可得展开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由展开式共有项可知C正确；令即可得到D正确. 【详解】展开式的通项为：； 对于A，令，解得：，常数项为，A正确； 对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为， 则，，，， 展开式第项的系数最大，B错误； 对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确； 对于D，令，则所有项的系数和为，D正确. 故选：B. 40．（21-22高二下·河南商丘·期中）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求得n，再利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】由已知，两边取模，得， 所以n＝10． 二项式的展开式的通项为， 因为n＝10，则． 令第r＋1项的系数最大，则， 即，解得， 因为，所以r＝3， 所以， 故系数最大的项为． 故选：C． 41．（21-22高二下·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B 考点8 二项式定理的应用 42．（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用二项展开式，得出展开式的常数项为，即可求解； （2）由，结合二项展开式，即可得证. 【详解】（1）解：由， 则多项式的展开式的常数项为，解得. （2）解：由 ， 所以能被6整除. 43．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】(1)7 (2)128.45 (3) 【分析】（1）根据二项式系数列方程，即可求解， （2）利用二项式展开，即可代入求解， （3）根据二项式展开式的通项，列不等式求解即可. 【详解】（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ （2） （3） 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 44．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【答案】(1)，， ，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中的系数相等可证一般性结论； （2）通过的展开式中的系数相等可证结论； （3）结合前两个结论，作差可证结论. 【详解】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是构造二项式，利用二项展开式中某项的系数相等得出题中需证的结论. 45．（24-25高三上·贵州·开学考试）若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”． (1)设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列． (2)已知递增数列的前n项和为，且． ①求的通项公式； ②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求． 【答案】(1)答案见解 (2)①；② 【分析】（1）由等差数列的性质及已知条件求解即可； （2）由及为递增数列，利用求解即可；通过构造，根据导数计算出，再根据错位相减计算即可． 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 又，所以，则， ①当时，， 则所以可能数列为：；；；； ①当时， 由，解得，， 当时，由，且，，所以不合题意舍去； 所以可能数列为：；；；；；；；；；；；． 综上，所有可能的数列为：；；；；；；；；；；；；；；；． （2）①当时，，则； 当，， 所以， 因为为递增数列，且，所以时，， 所以，即， 所以为首项为，公差为的等差数列， ； ② ， 设， 两边求导得，， 令，则， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以． 【点睛】关键点睛：通过构造计算；通过错位相减法求． 46．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【分析】由，，结合二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 47．（24-25高三上·湖北·期中）若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 48．（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 49．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 考点9 杨辉三角 50．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 51．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A．350 B．295 C．285 D．230 【答案】C 【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可. 【详解】记此数列的前20项的和为，则. 故选：C. 52．（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（    ） A． B．第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 D．第2020行的第1010个数最大 【答案】D 【分析】对于ABC选项，都可以对照图表与二项式系数的关系，即可得到判断；对于D选项，则需要找到二项式系数的规律分析即可或直接运用二项式系数的性质直接判断，如第2020行的二项式系数是，根据二项式系数的性质最大的是，从而判断是第1011项． 【详解】对于：因为，所以，故正确； 对于：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为；而第9行第8个数字就是36，故B正确； 对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故C正确； 对于D：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故D错误. 故选:D. 53．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 【答案】D 【分析】由题意可知：前10项分别为，结合组合数的性质运算求解. 【详解】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220. 故选：D． 一、单选题 1．（24-25高二下·河北衡水·期中）展开式中，的系数为（    ） A． B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据二项式展开式计算求解. 【详解】展开式中，的项为. 故选：C. 2．（24-25高二下·河北邢台·期中）已知，则为（    ） A．180 B．150 C．120 D．200 【答案】A 【分析】由，结合通项公式即可求解. 【详解】因， 其通项公式为：， 令，可得：. 故选：A 3．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）若对恒成立，其中，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用二项展开式的特征，把等号右边表示为，与等号左边相等，可求出. 【详解】 ， ，即. 故选：D 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知的展开式中含项的系数是20，则的值等于（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】先求得二项式的展开式的通项公式，进而根据题意可得，求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 又， 所以含项的系数是， 又的展开式中含项的系数是20， 所以，解得或. 故选：C. 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若，则（    ） A．243 B．27 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理知为正数，为负数，然后令可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为， 当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数. 所以. 故选：D. 6．（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是. 故选：B. 7．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式中通项的特征即可求解. 【详解】由二项式定理得，的通项公式为， 由得，，由得， ∴，， ∵，， ∴的系数为. 故选：C. 8．（24-25高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 【答案】A 【分析】由二项式的展开式通式求得常数项即可. 【详解】设二项式的展开式中的通项为 ，， 令，可得，, 故选：A. 9．（2021·北京西城·一模）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 【答案】B 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 10．（21-22高二下·重庆九龙坡·阶段练习）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项求的系数. 【详解】由题得的展开式的通项为 令，则,所以的系数为 故选：B 11．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 二、多选题 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】CD 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误. 对于：由二项式，可得展开式的通项为：，. 令，可得，则项的系数为，所以选项错误. 对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确. 对于：二项式系数和为，所以选项正确. 故选：. 13．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知在的二项展开式中，第项为常数项，则（    ） A． B．展开式中系数的绝对值最大的项是第项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为 【答案】ABC 【分析】根据第6项为常数项，求出，然后分别进行判断即可. 【详解】该二项式展开式的通项为，因为第项为常数项，所以当时，，解得,故A正确， 由，解得，所以展开式中系数的绝对值最大的项是第，故 B正确． 含的项得，即，所求的系数为，故C正确． 根据通项公式，由题意得，令，，则，即，，应为偶数，可取，，，即可取，，，第项，第项与第项为有理项．故D错误． 故选：ABC. 14．（24-25高二下·河北衡水·期中）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，由二项式系数的性质，即可判断ABC，分别令与，然后两式相减，即可判断D. 【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确； 对于B，因为第3项二项式系数为，第8项的二项式系数为， ，故B正确； 对于C，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，令可得①， 令可得②， 两式相减可得， 所以，故D错误； 故选：ABC 15．（24-25高二下·湖北·期中）对任意实数x，有.则下列结论正确的是（   ） A． B．（，1，…，9）的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可判断A；由，可判断为负，为正，计算可判断B；令，计算可判断C；结合B计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B，由， 则展开式的通项公式为， 所以为负，为正， 当时，计算可得，， ，，， 所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得， 所以，又，可得，故C正确； 对于D，由B可知，故D正确. 故选：BCD. 16．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，下列说法正确的是（      ） A．展开式共10项 B．含项的系数为2016 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为512 【答案】ABD 【分析】对于AD：根据二项展开式的性质即可得结果；对于BC：根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】对于选项AD：因为，则展开式共10项，所有项的二项式系数之和为，故AD正确； 对于BC：二项展开式的通项为， 令，可得，则含项的系数为，故B正确； 令，可得，则展开式中有常数项，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 17．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 【答案】 【分析】令得，令得，即得，由，利用二项式定理展开即可求解. 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 18．（24-25高二下·河北衡水·期中）的展开式有7项，则 ；展开式中的系数为 ． 【答案】 6 60 【分析】先求，然后根据二项展开式的通项公式求系数即可. 【详解】由的展开式有7项，所以，即得， 的展开式的系数为， 故答案为：6；60. 19．（24-25高二下·湖北·期中）二项式展开式中的系数为 . 【答案】112 【分析】应用二项式的通项公式计算求解即可. 【详解】通项公式，令得，， 所以展开式中的系数为112. 故答案为： 20．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，的系数为 （结果用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理结合条件求解即可. 【详解】由题意可知：含的为， 所以的系数为. 故答案为：. 21．（2022·广东茂名·一模）的展开式中，其中不含的项为 . 【答案】和. 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可得展开式的通项为， 所以多项式的展开式中不含x的项分别为： 和. 故答案为：和. 22．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得，所以， 则展开式的通项为 ，， 令，解得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 23．（24-25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 【答案】-3 【分析】写出二项展开式的通项公式，得到，故得到，求出答案. 【详解】展开式通项公式为， 令得， 故，解得. 故答案为：-3 四、解答题 24．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． （2）， 令，解得； 令，整理得， 故． （3）的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 25．（24-25高二下·湖北·期中）已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. (1)求的值. (2)记，求被除的余数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出，可得出关于的方程，由题意得出，可解出的值； （2）由题意得出，结合二项展开式可求出除的余数. 【详解】（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和， 由题意有，即，整理得， 因为，解得. （2）因为， 所以， ， 所以能被整除 因此，被除的余数为. 26．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得出的值； （2）分别令、，两式相加可得出的值. 【详解】（1）因为，， 令得，. （2）因为，， 令得，， 令得，， 上述两个等式相减得，故. 27．（24-25高二下·河北保定·期中）已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求值及二项式系数最大项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答）. 【答案】(1)； (2)6561 (3)3281 【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可； （2）利用赋值法，令，求出即可； （3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得. 【详解】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以， 故. 即，二项式系数最大项为第5项：； （2）令，得， 所以. （3）令，得， 令，得. 两式相加可得. 28．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知的二项展开式有7项． (1)求，并求出所有二项式系数之和； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式中的有理项． 【答案】(1)；64 (2)1215 (3)，，， 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【详解】（1）因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； （2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； （3）因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 29．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 30．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$