专题06 排列与组合12考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题06 排列与组合12考点复习指南 排列与组合作为高中数学的重要内容，在实际生活和众多领域都有着广泛且重要的应用。它不仅是解决计数问题的有效工具，还与概率、统计等知识紧密相连，下面将从问题背景、处理角度、解法策略三个方面，对排列与组合的相关考点进行详细阐述。 【问题背景】 在现实世界中，大量的实际问题都涉及到对不同元素的排列和组合方式的计数。在安排课程表时，需要考虑不同课程的先后顺序以及教师和教室的分配；在密码设置中，要确定不同字符的组合方式以保证密码的安全性；在比赛赛程安排中，要计算不同队伍之间的对阵组合。这些问题都可以抽象为排列与组合问题，通过运用相关的数学原理和方法来解决。随着科技的发展和社会的进步，排列与组合在计算机科学、数据分析、运筹学、遗传学等领域的应用愈发深入。在计算机算法设计中，排列组合用于解决搜索、排序和优化等问题；在数据分析中，用于组合数据的采样和特征选择；在运筹学中，帮助优化资源分配和路径规划；在遗传学中，研究基因的组合和排列方式。这使得排列与组合的学习和研究具有重要的现实意义。 【处理角度】 1.分析问题类型：面对具体问题，首先要准确判断它属于排列问题还是组合问题，或者是需要同时运用两个计数原理的综合问题。如果问题涉及元素的顺序，通常是排列问题；若不考虑元素顺序，则是组合问题。对于复杂问题，可能需要将其分解为多个简单的排列或组合问题来处理。在计算从多个小组中选取学生且考虑学生顺序的问题时，属于排列问题；而从一堆相同物品中选取若干物品的问题，则属于组合问题。通过准确判断问题类型，可以选择合适的方法进行求解。 2.选择合适的方法：根据问题类型和特点，选择相应的解题方法。如遇到相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，定序问题用倍缩法或空位法，相同元素分配问题用隔板法等。在实际解题中，可能会同时用到多种方法。在计算有男生和女生的排列问题，既要求男生相邻又要求女生不相邻时，就需要先使用捆绑法处理男生相邻问题，再用插空法解决女生不相邻问题。选择合适的方法能够简化计算过程，提高解题效率。 3.运用计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础。在解题过程中，要明确完成一件事情的步骤和类别，合理运用这两个原理进行计算。在计算复杂的排列组合问题时，可能需要先分类，再在每一类中分步计算，最后将各类结果相加。在计算从不同班级选学生参加活动的方案数时，若要考虑不同班级学生的不同组合情况以及每个组合内部的排列情况，就需要先对不同班级学生的组合进行分类，再对每个组合中选学生的过程进行分步计算。在运用计数原理时，要确保分类不重不漏，分步清晰合理。 4.结合排列组合公式计算：熟练掌握排列数公式和组合数公式，根据问题的具体情况准确代入公式进行计算。在计算从若干个不同元素中选取部分元素进行排列或组合的数量时，直接应用相应公式。在计算过程中，要注意阶乘的运算以及公式中参数的取值范围，避免计算错误。 5.验证与反思：完成计算后，要对结果进行验证和反思。可以通过列举简单情况、与已知结果进行对比或采用不同方法重新计算等方式，检查答案的正确性。在计算复杂的排列组合问题时，可能由于分类或分步不当、公式运用错误等原因导致结果错误，通过验证和反思能够及时发现问题并纠正。同时，反思解题过程有助于加深对问题的理解，提高解决类似问题的能力。 【解法策略】 1.分类加法计数原理的应用：当完成一件事情有多种不同的类别，且每一类方法都能独立完成这件事情时，就可以使用分类加法计数原理。如在计算小张购买高铁车票的方案种数时，因为车票分为二等座、一等座、商务座这三类，每一类都能满足小张的购票需求，所以将这三类车票的数量相加，就能得到总的购票方案种数。在处理这类问题时，关键是要明确分类的标准，确保各类情况之间相互独立且不遗漏任何一种可能。 2.分步乘法计数原理的应用：当完成一件事情需要分多个步骤，且每个步骤都相互依存，只有依次完成所有步骤才能完成这件事情时，适用分步乘法计数原理。如在计算从书架上取一本数学书和一本物理书的取法总数时，需要先从数学书中选一本，再从物理书中选一本，这两个步骤缺一不可，所以将这两个步骤的方法数相乘，就能得到总的取法种数。在应用该原理时，要准确确定每个步骤的方法数，并注意步骤之间的顺序性。 3.两个计数原理的简单应用：在一些实际问题中，往往需要同时运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理。如在给区域涂色的问题中，给每个区域涂色时，既要考虑与相邻区域颜色不同的限制条件，又要对不同区域的涂色情况进行分类讨论。先确定第一个区域的涂色方法，这是一个独立的选择，属于分类的范畴；然后在确定后续区域的涂色方法时，需要依据前面区域的涂色情况，这涉及到分步。在解决这类综合问题时，要清晰地分析问题的结构，合理运用两个计数原理，避免重复或遗漏计算。 4.排列数公式的应用：排列数公式用于计算从n个不同元素中取出m个元素的排列数。在解关于排列数的不等式时，先根据排列数公式将不等式进行化简，然后结合n和m的取值范围求解不等式。在计算排列数时，要准确代入公式进行计算，同时注意对结果的合理性进行检验。 5.元素 (位置) 有限制的排列问题：这类问题中，某些元素或位置有特殊的限制条件。如在安排 20 名同学站成矩形方阵时，要求甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，此时需要优先考虑这三人的位置安排，再安排其他同学。在解决这类问题时，通常采用特殊元素优先法或特殊位置优先法，先满足特殊元素或位置的要求，再对其他元素进行排列。 6.相邻问题的排列问题：当要求某些元素必须相邻时，通常采用捆绑法。将相邻的元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑相邻元素内部的排列顺序。如在计算 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法种数时，把 4 名男生看作一个整体与 3 名女生全排，再考虑男生之间的顺序，通过这种方式可以简化问题的计算。在使用捆绑法时，要注意捆绑后的解绑. 7.不相邻排列问题：与相邻问题相反，这类问题要求某些元素不能相邻。处理时常用插空法，先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻元素插入到这些元素形成的空位中。比如在计算 2 名男生和 4 名女生排成一排，男生既不相邻也不排两端的排法时，先将 4 名女生排成一列，产生中间 3 个空位，再将 2 名男生插入这些空位，从而得出排法种数。运用插空法的关键在于准确找出可插入的空位数量，并合理安排不相邻元素的位置。 8.定序问题：当部分元素的顺序固定时，采用倍缩法或空位法来解决。例如在计算甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，甲在乙左边的不同站队方式时，先不考虑甲、乙的顺序对五人全排列，由于甲在乙左边和乙在甲左边的情况各占一半，所以将全排列结果除以 2 即可得到答案。在处理定序问题时，要理解定序元素之间的固定关系，并选择合适的方法简化计算。 9.组合与组合数公式：组合问题关注从n个不同元素中取出m个元素的组合情况，不考虑元素的顺序。组合数公式用于准确计算组合的数量。在求解涉及组合数的等式或不等式时，依据组合数的性质和计算公式进行变形和求解。在应用组合数公式时，要注意公式中各项的含义和取值范围，确保计算的准确性。 10.简单组合问题的应用：这类问题广泛存在于实际生活和数学计算中，如从不同兴趣小组中抽取学生、从口袋中取球等。解决时，根据题目条件确定从多少个元素中选取以及选取的元素个数，然后运用组合数公式计算。在分析问题时，要准确理解题意，判断是组合问题还是排列问题，避免因混淆概念而导致错误。 11.分堆分配问题：分堆分配问题涉及将元素分成不同的组，并将这些组分配到不同的对象中。处理时，先进行分组，再进行分配。分组时要注意是否是平均分组，若是平均分组，需要除以平均分组的重复次数，以避免重复计算。如在计算将 6 名导游分配到四个景区的安排方法种数时，先将 6 名导游分成四组（有不同的分组方式），再将分好的组分配到四个景区，结合排列组合知识进行计算。在解决分堆分配问题时，要清晰区分分组和分配的步骤，正确处理平均分组的情况。 12.相同元素分配问题：此类问题是将相同的元素分配到不同的对象中。通常使用隔板法，将相同元素看作排成一排的物体，通过在它们之间的空位插入隔板来实现分组。如在计算将 10 个相同小球放入 3 个不同盒子，每个盒子至少放 1 个小球的不同放法时，10 个小球形成 9 个空，从中选 2 个插入隔板，隔板的不同插法对应不同的分配方案。运用隔板法的关键是确定元素之间的空位数量，并正确插入隔板。 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（   ） A．19 B．20 C．90 D．200 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有4本不同的语文书，第3层放有2本不同的外语书，现从书架上任取1本书，有 种不同的取法. 3．（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知集合，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一､二象限内不同点的个数是（    ） A．8 B．6 C．10 D．14 4．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机，则不同的选法有（   ） A．7种 B．11种 C．14种 D．28种 考点2 分步乘法计数原理的应用 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知某校仅有一栋高三教学楼，且该教学楼共有1号、2号、3号、4号四个入口．若来自高三（1）班、（2）班、（3）班、（4）班的四位同学进入该教学楼且不能走与自己班级号码相同的入口（例如高三（1）班的同学不走1号入口），则四位同学用不同的方式进入该教学楼的方法种数为（   ） A．16 B．128 C．64 D．81 6．（24-25高二下·青海西宁·阶段练习）用分步乘法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本数学书和1本物理书，共有多少种取法？（    ） A．9 B．20 C．40 D．60 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 8．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（      ） A． B． C． D． 考点3 两个计数原理的简单应用 9．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 10．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是 .    11．（24-25高三上·上海·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是 考点4 排列数公式的应用 12．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 13．（2019高二下·全国·专题练习）（1）解不等式； （2）证明：. 14．（24-25高二下·河北衡水·期中）满足不等式的的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 15．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 考点5 元素(位置)有限制的排列问题 16．（24-25高二下·江西·阶段练习）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·山东·阶段练习）某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他5名男同学中安排5名同学依次发言．若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有（   ） A．840种 B．960种 C．1080种 D．1200种 18．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 19．（24-25高二下·广东惠州·期中）某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 考点6 相邻问题的排列问题 20．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 21．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 22．（22-23高二下·江苏扬州·期中）3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 23．（21-22高二下·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 24．（23-24高二下·北京·期中）一个圆桌有八个座位，编号为至．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种． 考点7 不相邻排列问题 25．（24-25高三上·上海嘉定·期中）配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 26．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 27．（23-24高二下·陕西西安·期中）名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 28．（24-25高二下·天津·阶段练习）天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．265 B．320 C．480 D．960 29．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 考点8 定序问题 30．（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 31．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 32．（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 33．（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 34．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 考点9 组合与组合数公式 35．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则 . 36．（24-25高二下·湖北·期中）已知m，且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 37．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）若，则 38．（24-25高二下·湖北孝感·期中）若，则实数的值为（    ） A．10 B．10或8 C．8 D．6 39．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 考点10 简单组合问题的应用 40．（2025·广东·一模）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·山西大同·期中）从1到9的九个正整数中，任意抽取三个相加，所得和为奇数的不同取法有 种. 42．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·云南昭通·期中）如图,中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验,其中天和核心舱要安排人,问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人,且不在问天实验舱,则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）      44．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．11种 B．18种 C．30种 D．36种 45．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 考点11 分堆分配问题 46．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 47．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 48．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 49．（2024·陕西·三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 50．（2023·全国·模拟预测）2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有 种不同的分法. 51．（22-23高二上·江西赣州·期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 52．（21-22高三下·上海黄浦·期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有 种． 53．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 54．（24-25高二下·湖北·期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 考点12 相同元素分配问题 55．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 56．（2025·全国·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A．1360 B．2380 C．2510 D．760 57．（2024高三·全国·专题练习）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 58．（22-23高二下·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 59．（22-23高二下·湖北·阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（    ） A．24 B．12 C． D． 2．（24-25高二下·河北衡水·期中）已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（    ） A．13条 B．15条 C．21条 D．36条 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（   ） A．18种 B．20种 C．24种 D．120种 4．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（      ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 7．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 8．（24-25高二下·山西·阶段练习）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．360 B．280 C．156 D．150 9．（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 10．（2025·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 11．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（    ） A．48 B．36 C．18 D．12 二、多选题 12．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（    ） A．若不选择生物、政治，选法总数为8种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 13．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（    ） A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（      ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种 D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 15．（21-22高二上·辽宁营口·期末）现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 三、填空题 16．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知其等号右侧展开式共有3 类非同类项，其等号右侧展开式共有6类非同类项，则的展开式共有 类非同类项. 17．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 18．（24-25高二下·河北·阶段练习）已知某高中信息学竞赛班的甲、乙、丙、丁共4名同学参加了本校自主举办的信息学竞赛的初赛，若最终成绩排名情况为：丙同学不是第1名，甲，乙两名同学的成绩排名相邻，则这4名同学的名次排列情况种数为 . 19．（22-23高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 20．（24-25高二下·河南洛阳·期中）“仁､义､礼､智､信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁､义､礼”，孟子延伸为“仁､义､礼､智”，董仲舒扩充为“仁､义､礼､智､信”.将“仁､义､礼､智､信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智､信”相邻的概率为 . 21．（24-25高三下·上海静安·期中）从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为 ． 22．（24-25高二下·山西·阶段练习）某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示） 四、解答题 23．（24-25高二下·河北衡水·期中）某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，问： (1)有多少种不同的选法？（用数字作答） (2)如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？（用数字作答） (3)如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 24．（24-25高二上·吉林长春·期中）霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 25．（2024高三·全国·专题练习）要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有1名女生入选； (2)至多有2名女生入选； (3)男生甲和女生乙入选； (4)男生甲和女生乙不能同时入选； (5)男生甲、女生乙至少有一个人入选． 26．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； (4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题06 排列与组合12考点复习指南 排列与组合作为高中数学的重要内容，在实际生活和众多领域都有着广泛且重要的应用。它不仅是解决计数问题的有效工具，还与概率、统计等知识紧密相连，下面将从问题背景、处理角度、解法策略三个方面，对排列与组合的相关考点进行详细阐述。 【问题背景】 在现实世界中，大量的实际问题都涉及到对不同元素的排列和组合方式的计数。在安排课程表时，需要考虑不同课程的先后顺序以及教师和教室的分配；在密码设置中，要确定不同字符的组合方式以保证密码的安全性；在比赛赛程安排中，要计算不同队伍之间的对阵组合。这些问题都可以抽象为排列与组合问题，通过运用相关的数学原理和方法来解决。随着科技的发展和社会的进步，排列与组合在计算机科学、数据分析、运筹学、遗传学等领域的应用愈发深入。在计算机算法设计中，排列组合用于解决搜索、排序和优化等问题；在数据分析中，用于组合数据的采样和特征选择；在运筹学中，帮助优化资源分配和路径规划；在遗传学中，研究基因的组合和排列方式。这使得排列与组合的学习和研究具有重要的现实意义。 【处理角度】 1.分析问题类型：面对具体问题，首先要准确判断它属于排列问题还是组合问题，或者是需要同时运用两个计数原理的综合问题。如果问题涉及元素的顺序，通常是排列问题；若不考虑元素顺序，则是组合问题。对于复杂问题，可能需要将其分解为多个简单的排列或组合问题来处理。在计算从多个小组中选取学生且考虑学生顺序的问题时，属于排列问题；而从一堆相同物品中选取若干物品的问题，则属于组合问题。通过准确判断问题类型，可以选择合适的方法进行求解。 2.选择合适的方法：根据问题类型和特点，选择相应的解题方法。如遇到相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，定序问题用倍缩法或空位法，相同元素分配问题用隔板法等。在实际解题中，可能会同时用到多种方法。在计算有男生和女生的排列问题，既要求男生相邻又要求女生不相邻时，就需要先使用捆绑法处理男生相邻问题，再用插空法解决女生不相邻问题。选择合适的方法能够简化计算过程，提高解题效率。 3.运用计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础。在解题过程中，要明确完成一件事情的步骤和类别，合理运用这两个原理进行计算。在计算复杂的排列组合问题时，可能需要先分类，再在每一类中分步计算，最后将各类结果相加。在计算从不同班级选学生参加活动的方案数时，若要考虑不同班级学生的不同组合情况以及每个组合内部的排列情况，就需要先对不同班级学生的组合进行分类，再对每个组合中选学生的过程进行分步计算。在运用计数原理时，要确保分类不重不漏，分步清晰合理。 4.结合排列组合公式计算：熟练掌握排列数公式和组合数公式，根据问题的具体情况准确代入公式进行计算。在计算从若干个不同元素中选取部分元素进行排列或组合的数量时，直接应用相应公式。在计算过程中，要注意阶乘的运算以及公式中参数的取值范围，避免计算错误。 5.验证与反思：完成计算后，要对结果进行验证和反思。可以通过列举简单情况、与已知结果进行对比或采用不同方法重新计算等方式，检查答案的正确性。在计算复杂的排列组合问题时，可能由于分类或分步不当、公式运用错误等原因导致结果错误，通过验证和反思能够及时发现问题并纠正。同时，反思解题过程有助于加深对问题的理解，提高解决类似问题的能力。 【解法策略】 1.分类加法计数原理的应用：当完成一件事情有多种不同的类别，且每一类方法都能独立完成这件事情时，就可以使用分类加法计数原理。如在计算小张购买高铁车票的方案种数时，因为车票分为二等座、一等座、商务座这三类，每一类都能满足小张的购票需求，所以将这三类车票的数量相加，就能得到总的购票方案种数。在处理这类问题时，关键是要明确分类的标准，确保各类情况之间相互独立且不遗漏任何一种可能。 2.分步乘法计数原理的应用：当完成一件事情需要分多个步骤，且每个步骤都相互依存，只有依次完成所有步骤才能完成这件事情时，适用分步乘法计数原理。如在计算从书架上取一本数学书和一本物理书的取法总数时，需要先从数学书中选一本，再从物理书中选一本，这两个步骤缺一不可，所以将这两个步骤的方法数相乘，就能得到总的取法种数。在应用该原理时，要准确确定每个步骤的方法数，并注意步骤之间的顺序性。 3.两个计数原理的简单应用：在一些实际问题中，往往需要同时运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理。如在给区域涂色的问题中，给每个区域涂色时，既要考虑与相邻区域颜色不同的限制条件，又要对不同区域的涂色情况进行分类讨论。先确定第一个区域的涂色方法，这是一个独立的选择，属于分类的范畴；然后在确定后续区域的涂色方法时，需要依据前面区域的涂色情况，这涉及到分步。在解决这类综合问题时，要清晰地分析问题的结构，合理运用两个计数原理，避免重复或遗漏计算。 4.排列数公式的应用：排列数公式用于计算从n个不同元素中取出m个元素的排列数。在解关于排列数的不等式时，先根据排列数公式将不等式进行化简，然后结合n和m的取值范围求解不等式。在计算排列数时，要准确代入公式进行计算，同时注意对结果的合理性进行检验。 5.元素 (位置) 有限制的排列问题：这类问题中，某些元素或位置有特殊的限制条件。如在安排 20 名同学站成矩形方阵时，要求甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，此时需要优先考虑这三人的位置安排，再安排其他同学。在解决这类问题时，通常采用特殊元素优先法或特殊位置优先法，先满足特殊元素或位置的要求，再对其他元素进行排列。 6.相邻问题的排列问题：当要求某些元素必须相邻时，通常采用捆绑法。将相邻的元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑相邻元素内部的排列顺序。如在计算 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法种数时，把 4 名男生看作一个整体与 3 名女生全排，再考虑男生之间的顺序，通过这种方式可以简化问题的计算。在使用捆绑法时，要注意捆绑后的解绑. 7.不相邻排列问题：与相邻问题相反，这类问题要求某些元素不能相邻。处理时常用插空法，先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻元素插入到这些元素形成的空位中。比如在计算 2 名男生和 4 名女生排成一排，男生既不相邻也不排两端的排法时，先将 4 名女生排成一列，产生中间 3 个空位，再将 2 名男生插入这些空位，从而得出排法种数。运用插空法的关键在于准确找出可插入的空位数量，并合理安排不相邻元素的位置。 8.定序问题：当部分元素的顺序固定时，采用倍缩法或空位法来解决。例如在计算甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，甲在乙左边的不同站队方式时，先不考虑甲、乙的顺序对五人全排列，由于甲在乙左边和乙在甲左边的情况各占一半，所以将全排列结果除以 2 即可得到答案。在处理定序问题时，要理解定序元素之间的固定关系，并选择合适的方法简化计算。 9.组合与组合数公式：组合问题关注从n个不同元素中取出m个元素的组合情况，不考虑元素的顺序。组合数公式用于准确计算组合的数量。在求解涉及组合数的等式或不等式时，依据组合数的性质和计算公式进行变形和求解。在应用组合数公式时，要注意公式中各项的含义和取值范围，确保计算的准确性。 10.简单组合问题的应用：这类问题广泛存在于实际生活和数学计算中，如从不同兴趣小组中抽取学生、从口袋中取球等。解决时，根据题目条件确定从多少个元素中选取以及选取的元素个数，然后运用组合数公式计算。在分析问题时，要准确理解题意，判断是组合问题还是排列问题，避免因混淆概念而导致错误。 11.分堆分配问题：分堆分配问题涉及将元素分成不同的组，并将这些组分配到不同的对象中。处理时，先进行分组，再进行分配。分组时要注意是否是平均分组，若是平均分组，需要除以平均分组的重复次数，以避免重复计算。如在计算将 6 名导游分配到四个景区的安排方法种数时，先将 6 名导游分成四组（有不同的分组方式），再将分好的组分配到四个景区，结合排列组合知识进行计算。在解决分堆分配问题时，要清晰区分分组和分配的步骤，正确处理平均分组的情况。 12.相同元素分配问题：此类问题是将相同的元素分配到不同的对象中。通常使用隔板法，将相同元素看作排成一排的物体，通过在它们之间的空位插入隔板来实现分组。如在计算将 10 个相同小球放入 3 个不同盒子，每个盒子至少放 1 个小球的不同放法时，10 个小球形成 9 个空，从中选 2 个插入隔板，隔板的不同插法对应不同的分配方案。运用隔板法的关键是确定元素之间的空位数量，并正确插入隔板。 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（   ） A．19 B．20 C．90 D．200 【答案】A 【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可. 【详解】因为此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张， 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有4本不同的语文书，第3层放有2本不同的外语书，现从书架上任取1本书，有 种不同的取法. 【答案】11 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】求出不同取法种数有3类办法， 从第一层取有5种方法；从第二层取有4种方法；从第三层取有2种方法， 由分类加法计数原理，得不同取法种数为. 故答案为：11 3．（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知集合，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一､二象限内不同点的个数是（    ） A．8 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【分析】分集合中的元素作点的横坐标，集合中的元素作点的纵坐标和集合中的元素作点的横坐标，集合中的元素作点的纵坐标两类讨论，根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分两类情况讨论： 第一类，从集合中取的元素作为横坐标，从集合中取的元素作为纵坐标， 则第一、二象限内的点共有（个）； 第二类，从集合中取的元素作为纵坐标，从集合中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个）. 由分类加法计数原理，所以所求个数为． 故选：D. 4．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机，则不同的选法有（   ） A．7种 B．11种 C．14种 D．28种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理，计算得解. 【详解】由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种， 所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法. 故选：B. 考点2 分步乘法计数原理的应用 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知某校仅有一栋高三教学楼，且该教学楼共有1号、2号、3号、4号四个入口．若来自高三（1）班、（2）班、（3）班、（4）班的四位同学进入该教学楼且不能走与自己班级号码相同的入口（例如高三（1）班的同学不走1号入口），则四位同学用不同的方式进入该教学楼的方法种数为（   ） A．16 B．128 C．64 D．81 【答案】D 【分析】根据分步乘法计算原理求解即可. 【详解】由题意每位同学都有种走法， 所以不同的方式有种. 故选：D. 6．（24-25高二下·青海西宁·阶段练习）用分步乘法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本数学书和1本物理书，共有多少种取法？（    ） A．9 B．20 C．40 D．60 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理计算即得 【详解】从5本不同的数学书和4本不同的物理书中任取1本数学书和1本物理书，取法共有种. 故选：B. 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作， 所以不同方法种数为. 故选：C 8．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】甲从8门选修课中任意选择3门，共有种选法， 从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法， 所以共有种选法. 故选：. 考点3 两个计数原理的简单应用 9．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 【答案】48 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 10．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是 .    【答案】960 【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数. 【详解】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为. 故答案为：. 11．（24-25高三上·上海·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是 【答案】24 【分析】满足各个函数在上严格增函数的参数的取值均为，由于且互不相等，可分情况进行分类讨论，再利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】由题意可知，满足指数函数且， 对数函数且的取值只有4个，分别为； 而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是； 而满足幂函数的的取值有6个（全部）， 使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即； 由于且互不相等，有三种情况： 第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数， 而幂函数不满足，共有种； 第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数， 而对数函数不满足，共有种； 第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数， 而指数函数不满足，共有种； 第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种； 利用分类加法计数原理可得共有种； 故答案为：24 考点4 排列数公式的应用 12．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 13．（2019高二下·全国·专题练习）（1）解不等式； （2）证明：. 【答案】（1）x＝8；（2）详见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，，② 由①②及得. （2）,. 【点睛】本题主要考查排列数的计算问题，要注意中隐含了3个条件：①，；②；③的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解．注意常用变形，（即），的应用． 14．（24-25高二下·河北衡水·期中）满足不等式的的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】AB 【分析】利用排列数计算即可得到结果. 【详解】由已知得：， 又因为，且,所以， 故选：AB. 15．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 考点5 元素(位置)有限制的排列问题 16．（24-25高二下·江西·阶段练习）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理求出甲、乙、丙的站法种数，再将余下17人作全排列即可. 【详解】求20名同学不同的站法种数需两步： 先让甲、乙、丙站，从4行中任取1行，5列中任取1列，其交点让甲站，有种； 从余下3行中任取1行，4列中任取1列，其交点让乙站，有种； 从余下2行中任取1行，3列中任取1列，其交点让丙站，有种， 因此符合要求的甲、乙、丙的站法种数为种， 再让除甲、乙、丙外的17人站，有， 所以这20名同学不同的站法种数为. 故选：B 17．（24-25高二下·山东·阶段练习）某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他5名男同学中安排5名同学依次发言．若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有（   ） A．840种 B．960种 C．1080种 D．1200种 【答案】C 【分析】先从5名男同学中选3人，再分前3名同学有1名女同学，2名女同学2种情况排前3名同学，最后排剩下2名同学可得总安排方法数. 【详解】先从5名男同学中选3人，有种情况； 若前3名同学中，只有1名女同学，则先从3名男生中选2名，有种情况， 再从2名女生中选一名，有2种情况，再将前3人排成一列，有种情况， 最后排剩下2人，有种方法，则前3名同学中， 只有1名女同学的总情况数为：； 若前3名同学中，有2名女同学，则先从3名男生中选1名，有种情况， 再将前3人排成一列，有种情况，最后排剩下2人，有种方法， 则前3名同学中，有2名女同学的总情况数为：； 故不同的安排方法有. 故选：C 18．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若甲乙不值班，值班安排有种； 若甲乙只有一人不值班，值班安排有种； 若甲乙都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有252种. 故选：B 19．（24-25高二下·广东惠州·期中）某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为用个不同的元素填个空的问题，应用特殊元素法及排列数，求体育课排在第四节、体育课不排第四节两种情况下的排法数，即可得. 【详解】学校安排七节课程可看做是用个不同的元素填个空的问题， 要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类． 体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种； 体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，先排第四节，不能是体育和数学，有种， 再排第一节，除了选定的和体育也有种，剩下个全排，种． 所以这天课表的不同排法种数为种． 故选：B. 考点6 相邻问题的排列问题 20．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 【答案】（1）6；（2）576；（3）144 【分析】（1）依题作出树状图，计数即得.也可以利用看成排列问题直接解决； （2）对男生采用“捆绑法”与女生全排，再考虑内部的顺序，即得坐法种数； （3）对男生不相邻且不排两端的情况，考虑在4名女生留下的中间3个空位进行插空，再对女生进行全排即得. 【详解】（1）方法一：依题意，分成三类情况，作图如下： 由图可知，有6种不同的选法. 方法二：看成三个不同元素任取两个不同元素的排列问题，有种不同的方法. （2）把4名男生看作一个元素，与3名女生一起全排，再考虑男生之间的顺序， 故共有坐法种，即男生必须排在一起的坐法有种.              （3）利用插空法，先将4名女生排成一列，然后在中间产生的3个空位中任选2个空位安排男生，共有种安排方法. 21．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【分析】根据捆绑法即可求解. 【详解】由相邻问题捆绑法可得, 故选：A 22．（22-23高二下·江苏扬州·期中）3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 【答案】84 【分析】根据排列数公式计算名同学全排列的排法总数，减去名男同学全部相邻的排法总数即可. 【详解】由已知名同学的全排列数为：种,其中不满足题意的排法，即名男同学全部相邻. 此处应用捆绑法，先将名男生作为一个整体，与女生进行全排列，再对名男生进行全排列， 得到名男生全部相邻的排法总数为：种，在总数当中减去不满足题意的排法， 得到满足题意的排法有：种. 故答案为：84 23．（21-22高二下·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【分析】对甲的位置分三种情况讨论，依次分析丙丁的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论： ①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置， 有种安排方法，则此时有种编排方法； ②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； ③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； 则符合题意要求的编排方法有种； 故选：A. 24．（23-24高二下·北京·期中）一个圆桌有八个座位，编号为至．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种． 【答案】48 【分析】首先个学生对应个偶数位座位有种，再排其对应家长即可. 【详解】由题意，个学生对应个偶数位座位，有， 家长与其孩子相邻，只能坐其孩子的左边或右边， 学生确定好位置后，家长有种排法， 故总排法有种. 故答案为：. 考点7 不相邻排列问题 25．（24-25高三上·上海嘉定·期中）配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 【答案】 【分析】先计算出总的排列方式，然后利用插空法计算出2种无机染料添加顺序不相邻的排列方式，然后求其概率即可. 【详解】一共有种添加顺序，由插空法可知，2种无机染料添加顺序不相邻的种数有, 所以其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为. 故答案为： 26．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【分析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可. 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 27．（23-24高二下·陕西西安·期中）名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】 【分析】首先将名男生排成一排，再把名女生插入到名男生中间的空中，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意，首先把名男生排成一排，有种排法， 再把名女生插入到名男生中间的空中，有种排法， 利用乘法原理得不同排法种数有：种． 故答案为： 28．（24-25高二下·天津·阶段练习）天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．265 B．320 C．480 D．960 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法，以及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”， “谷雨”，“立夏”三块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空. 所以不同的放置方式种数为. 故选：D. 29．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 【答案】96 【分析】由分类加法原理，利用捆绑法与插空法，可得答案. 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 考点8 定序问题 30．（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答） 【答案】360 【分析】首先将个人全排列，固定顺序问题，再除以两人的全排列. 【详解】依题意在的前面的排法有种． 故答案为： 31．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 32．（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 【答案】60 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 33．（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 【答案】40 【分析】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有，再排甲、乙、丙，由分步计数乘法原理可得结果. 【详解】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 故答案为：40. 34．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 考点9 组合与组合数公式 35．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】6 【分析】根据组合数计算即可. 【详解】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 36．（24-25高二下·湖北·期中）已知m，且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可. 【详解】，， ，A错误； ，B正确； ， ，C正确， 由，可得，即，又，解得：，D正确； 故选：A 37．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）若，则 【答案】7 【分析】根据排列数和组合数运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，解得. 故答案为：7. 38．（24-25高二下·湖北孝感·期中）若，则实数的值为（    ） A．10 B．10或8 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由组合数的性质列出两个方程求解即可. 【详解】由组合数的性质可知或， 解得或. 故选：B. 39．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 考点10 简单组合问题的应用 40．（2025·广东·一模）某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义，分别求出每个兴趣小组要抽取的学生人数，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由题意，美术组要抽取的学生数为，音乐组要抽取的学生数为，舞蹈组要抽取的学生数为，由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果. 故选:C. 41．（23-24高二下·山西大同·期中）从1到9的九个正整数中，任意抽取三个相加，所得和为奇数的不同取法有 种. 【答案】40 【分析】由分类加法计数原理和分步计数乘法原理求和为奇数的不同情形种数即可. 【详解】根据题意，从1到9的正整数中任意抽取3个数相加，若所得的和为奇数，则取出的3个数必为1个奇数、2个偶数与3个奇数两类． 当3个数全为奇数时，在1，3，5，7，9取3个奇数有； 当取出的3个数为1个奇数、2个偶数时，分两步： 第一步，先在1，3，5，7，9中取出1个奇数，有种取法， 第二步，再在2，4，6，8中取出2个偶数，有种取法． 则任意抽取3个数，其中1个奇数、2个偶数的取法有（种）， 所以所得的和为奇数的不同情形种数是． 故答案为：. 42．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 43．（23-24高二下·云南昭通·期中）如图,中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验,其中天和核心舱要安排人,问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人,且不在问天实验舱,则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）      【答案】 【分析】因为不在问天实验舱,且问天实验舱只安排人,所以从另外人中任选一人安排在问天实验舱,再从剩余的人中任选人安排在天和核心舱,剩余的人安排在梦天实验舱,结合分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】因为不在问天实验舱,且问天实验舱只安排人, 所以从另外人中任选一人安排在问天实验舱,有种方法; 从剩余的人中任选人安排在天和核心舱,剩余的人安排在梦天实验舱,共种方法, 由分步乘法计数原理可得,共有种方法. 故答案为:. 44．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．11种 B．18种 C．30种 D．36种 【答案】A 【分析】根据组合的定义计算. 【详解】共有幅画，所以共有种不同的选法. 故选：A. 45．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)31 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有1位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得. 【详解】（1）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动， 选择方法数为； （2）因为没有女生人选的选择方法数为， 所以至少有1位女生人选的选择方法数为. 考点11 分堆分配问题 46．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 47．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 48．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 【答案】 【分析】先将教师分成3组，再进行全排列即可得解. 【详解】先将4名教师分成3组的方法有种， 将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种， 所以总的分派方法共有种. 故答案为：. 49．（2024·陕西·三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得. 【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从五人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选:C. 50．（2023·全国·模拟预测）2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有 种不同的分法. 【答案】360 【分析】根据分步乘法计数原理结合排列组合即可求解. 【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法；从余下的5张中任选2张，有种选法；最后余下3张全选，有种选法.由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法. 故答案为:360 51．（22-23高二上·江西赣州·期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当每组人数为时，方法有种. 当每组人数为时，方法有种. 所以不同的分配方法种数为种. 故选：C 52．（21-22高三下·上海黄浦·期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有 种． 【答案】60 【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可. 【详解】由题知， ①将5名大学生分成的三组，有种分组方法， ②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择， 有种情况， 所以有种方案． 故答案为：60 53．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 【答案】B 【分析】根据题意，先从5人中选出三人，在把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法， 则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务， 共有种不同的安排方案. 故选：B． 54．（24-25高二下·湖北·期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 【答案】360 【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数. 【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.   综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 故答案为：360. 考点12 相同元素分配问题 55．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 56．（2025·全国·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A．1360 B．2380 C．2510 D．760 【答案】B 【分析】设，，，，问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法求解的组数. 【详解】设，，，， 由，且是非负整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“1”，将这个“1”排成一排， 在其中间形成的个空位中选择3个空位放入隔板， 则隔板隔开形成4组“1”，每组“1”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B 【点睛】方法点睛：将个相同元素分成组，可用“隔板法”计数，将个元素排成一排，它们之间有个空位，要把它们分成组，只需在这个空位中插入个隔板，故方法总数为.“隔板法”常用来解决名额分配问题、不定方程的正整数解的组数问题等. 57．（2024高三·全国·专题练习）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 【答案】840 【分析】利用隔板法和分步计数原理可求答案. 【详解】设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则， 即问题转化为求方程的非负整数解的组数， ，于是问题转化为正整数，，，， 满足，则不同的有序实数对有多少种可能． 于是把8个1排成1列，放入3个隔板即可，共有种情况， 每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法， 由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种， 所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种． 58．（22-23高二下·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 59．（22-23高二下·湖北·阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D. 2．（24-25高二下·河北衡水·期中）已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（    ） A．13条 B．15条 C．21条 D．36条 【答案】B 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理即可直接计算求解. 【详解】由分步乘法计数原理得从甲地到丙地不同的路线有条. 故选：B 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（   ） A．18种 B．20种 C．24种 D．120种 【答案】A 【分析】先将4个相同的商品分成两个组，再从4个货架上选两个放入这两组商品，利用分步计数原理求解即可. 【详解】将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组， 当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 当2，2分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 故有且仅有2个货架上有商品的放法有. 故选：A. 4．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（      ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】优先安排甲，结合排列计数原理可得结果. 【详解】安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场， 则甲有种选择，其余名歌手任意排列， 所以，不同的安排方法种数为种. 故选：C. 5．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】从甲、乙、丙中选两人占前两名，其余五名可任意排列，由此可得结果. 【详解】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列， 故所有的情况有种. 故选：C. 6．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 【答案】C 【分析】由分步乘法计算可得. 【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有种. 故选：C 7．（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 【答案】B 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为， 若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为， 所以五位数为偶数的情况数为. 故选：B 8．（24-25高二下·山西·阶段练习）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．360 B．280 C．156 D．150 【答案】C 【分析】分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可. 【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成， 故可以组成个符合条件的数． 故选：C 9．（2025高三·全国·专题练习）2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】A 【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案. 【详解】法一：根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组， 安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 法二：去甲活动场地共有（种）情况， 去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况， 所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）． 故选：A． 10．（2025·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 【答案】D 【分析】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 11．（24-25高二下·湖北·期中）为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（    ） A．48 B．36 C．18 D．12 【答案】C 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 二、多选题 12．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（    ） A．若不选择生物、政治，选法总数为8种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 【答案】BCD 【分析】利用组合计数依次对各个选项分析，采用间接法求得选法总数. 【详解】对于A选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的4门课程中选择三门作为选修科目， 可得选法总数为种，故A不正确； 对于B选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为种， 若物理和化学均不选，选法总数为种， 若物理和化学至少选一门，选法总数为种，故B正确； 对于C选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为种， 若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选， 结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确； 故选：BCD． 13．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（    ） A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 【答案】ABC 【分析】对于选项按照组合的要求分步求取即可，对于选项可采用间接法求取. 【详解】对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，所以共有种不同的选法.故A正确. 对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可， 有种不同的选法，故B正确. 对于C，在10人中任选4人，有种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故C正确. 对于D，在10人中任选4人，有种不同的选法，只有男生的选法有种， 10人中任选4人不可能全是女生，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种，故D错误.     故选： 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（      ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种 D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 【答案】BCD 【分析】对于A：可以看做从8个人中取2个人的排列；对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；对于D：先排列再把男生的顺序排除. 【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 对于选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况， 已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有种情况，故D正确； 故选：BCD. 15．（21-22高二上·辽宁营口·期末）现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 三、填空题 16．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知其等号右侧展开式共有3 类非同类项，其等号右侧展开式共有6类非同类项，则的展开式共有 类非同类项. 【答案】21 【分析】由排列组合的知识求解即可. 【详解】由排列组合知识与类比推理可得， 的展开式共有类非同类项. 故答案为： 17．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【答案】 【分析】对选出的3名会说韩语的志愿者分为2种情况讨论即只会韩语中选3人和选2人，分别求出其方法总数即可得出答案. 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 18．（24-25高二下·河北·阶段练习）已知某高中信息学竞赛班的甲、乙、丙、丁共4名同学参加了本校自主举办的信息学竞赛的初赛，若最终成绩排名情况为：丙同学不是第1名，甲，乙两名同学的成绩排名相邻，则这4名同学的名次排列情况种数为 . 【答案】8 【分析】应用已知条件应用分类加法原理计算求解. 【详解】由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有种情况. 故答案为：8. 19．（22-23高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 20．（24-25高二下·河南洛阳·期中）“仁､义､礼､智､信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁､义､礼”，孟子延伸为“仁､义､礼､智”，董仲舒扩充为“仁､义､礼､智､信”.将“仁､义､礼､智､信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智､信”相邻的概率为 . 【答案】/0.1 【分析】根据古典概率公式，结合排列公式计算. 【详解】“仁，义，礼，智，信”排成一排，总排法有种， 其中“仁”排在第一位，且“智，信”相邻的排法有种，故所求概率为.\ 故答案为：. 21．（24-25高三下·上海静安·期中）从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得，易得，从而可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 因为，所以，即， 所以，又因为都是正整数， 所以， 当时，此时， 所以（舍去）， 当时，此时， 所以， 综上所述，， 所以. 故答案为：. 22．（24-25高二下·山西·阶段练习）某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数. 【详解】先分类讨论人员分组情况： 当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法． 再将三组人员分配到三个镇： 因为这三组分配到三个地区有种方法， 所以安排方法总数为． 故答案为： 四、解答题 23．（24-25高二下·河北衡水·期中）某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，问： (1)有多少种不同的选法？（用数字作答） (2)如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？（用数字作答） (3)如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】(1)2380 (2)1008 (3)57120 【分析】(1)从9名男医生，8名女医生共17名医生中选出4名医生即可； (2)从9名男医生中选出2名医生，从8名女医生中选出2名医生，再按照乘法计数原理进行计算； (3)选出4名医生排列即可求解. 【详解】（1）从9名男医生，8名女医生中选出4名的选法种数为：； （2）从9名男医生，8名女医生中选出4名，要求男医生两名，女医生两名的选法种数为： ； （3）从9名男医生，8名女医生中选出4名，再将选出的医生安排到四个社区， 每个社区一名医生的安排种数为：. 24．（24-25高二上·吉林长春·期中）霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 【答案】(1)30 (2)65 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. （2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 25．（2024高三·全国·专题练习）要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有1名女生入选； (2)至多有2名女生入选； (3)男生甲和女生乙入选； (4)男生甲和女生乙不能同时入选； (5)男生甲、女生乙至少有一个人入选． 【答案】(1)771 (2)546 (3)120 (4)672 (5)540 【分析】（1）利用间接法，选从12任选5名，再排除全是男生种数；（2）分三类，没有女生，有1名女生，有2名女生，由分类计数原理计算可得答案；（3）甲乙固定，再从在剩下的10人中选出的3人即可得答案；（4）（5）利用间接法，即可求解． 【详解】（1）至少有1名女生入选，选从12任选5名，再排除全是男生种数，故至少有1名女生入选.则种. （2）至多有2名女生入选，分为没有女生种，1名女生种，2名女生种，根据分类计数原理得21+175+350=546种. （3）男生甲和女生乙入选，在剩下的10人中选出的3人，种. （4）男生甲和女生乙不能同时入选，有种. （5）男生甲、女生乙至少有一个人入选,则种. 26．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； (4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【详解】（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， （2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. （3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， （4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$