第19章一次函数微专题三一次函数与几何图形的综合-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题三 一次函数与几何图形的综合 一次函数与几何图形综合解题技巧主要涉及以下几个方面，结合典型题型和解决方法进行总结： 一、面积问题的转化与计算 铅锤法 ：适用于直角三角形面积计算，通过作垂线将三角形转化为直角三角形。 割补法 ：将复杂图形分割为简单三角形或四边形，利用已知面积公式计算。 平行交轨法 ：通过平移或旋转图形，构造相似三角形或平行四边形，利用等积变换求解。 二、三角形存在性问题 分类讨论 ：根据边长关系（如AB=BC、AC=AB）或角度关系（如直角、等腰）分类讨论。 坐标法 ：设动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，通过方程求解。 几何性质 ：利用勾股定理、三角形内角和等几何性质辅助判断。 三、四边形存在性问题 全等三角形构造 ：通过平移、旋转或翻折构造全等三角形，证明对应边相等。 截长补短模型 ：在已知线段基础上延长或缩短部分线段，构造全等三角形求解。 角平分线与对称模型 ：利用角平分线性质或对称变换构造等腰三角形或矩形。 四、动态几何问题 参数方程法 ：设动点坐标为参数，通过方程求函数解析式。 函数图象分析 ：通过分类讨论建立分段函数，结合图象识别正确解。 动画辅助 ：利用几何软件动态演示图形变化过程，辅助理解解题思路。 五、易错点提醒 1.函数性质误用 ：混淆一次函数与正比例函数，忽视自变量取值范围。 2.几何证明漏步骤 ：证明三角形全等时漏掉关键条件（如SSS、SAS）。 3.计算错误 ：代数运算或几何计算时出现符号错误。 通过以上方法，结合数形结合思想，可有效解决一次函数与几何图形综合问题 类型一 一次函数图象与三角形的综合 【例1】．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，与轴、轴分别交于、两点，已知点坐标为． (1)求直线的解析式； (2)若点在线段上，且满足，求点的坐标． 【变式1-1】．直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【变式1-2】．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【变式1-3】．如图，已知直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，且经过点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴的正半轴上是否存在点，使得以、、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】．已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 类型二 一次函数图象与平行四边形的综合 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)若点是直线在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式2-1】．（1）如图1，平行四边形的对角线、交于点O，过点O作直线，分别交、于点E、F，求证：； （2）如图2，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标是，点D的坐标是，直线平分平行四边形的面积，请直接写出k的值为________． 【变式2-2】．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 【变式2-3】．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 【变式2-4】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 一次函数与特殊平行四边形 【例3】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为一条边向右侧作矩形，且点在直线上，若矩形的面积为20，直线与直线交于点．则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，在平面直角坐标系的位置如图所示，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为 ． 【变式3-2】．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】．在平面直角坐标系中，有一点，连接． (1)如图，以为边，在上方构造正方形，边交直线于点，边交轴于点． ①的长为_____，点的坐标_____，直线的函数表达式______，的长为_____； ②如图2，连接对角线交轴于点，交直线于点，连接，请你判断的形状且说明理由，并求的面积； (2)如图3，以为边，过点在的上方作，且，连接，点是线段的中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当最小时，求此时的长． 【变式3-4】．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题三 一次函数与几何图形的综合（解析版） 一次函数与几何图形综合解题技巧主要涉及以下几个方面，结合典型题型和解决方法进行总结： 一、面积问题的转化与计算 铅锤法 ：适用于直角三角形面积计算，通过作垂线将三角形转化为直角三角形。 割补法 ：将复杂图形分割为简单三角形或四边形，利用已知面积公式计算。 平行交轨法 ：通过平移或旋转图形，构造相似三角形或平行四边形，利用等积变换求解。 二、三角形存在性问题 分类讨论 ：根据边长关系（如AB=BC、AC=AB）或角度关系（如直角、等腰）分类讨论。 坐标法 ：设动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，通过方程求解。 几何性质 ：利用勾股定理、三角形内角和等几何性质辅助判断。 三、四边形存在性问题 全等三角形构造 ：通过平移、旋转或翻折构造全等三角形，证明对应边相等。 截长补短模型 ：在已知线段基础上延长或缩短部分线段，构造全等三角形求解。 角平分线与对称模型 ：利用角平分线性质或对称变换构造等腰三角形或矩形。 四、动态几何问题 参数方程法 ：设动点坐标为参数，通过方程求函数解析式。 函数图象分析 ：通过分类讨论建立分段函数，结合图象识别正确解。 动画辅助 ：利用几何软件动态演示图形变化过程，辅助理解解题思路。 五、易错点提醒 1.函数性质误用 ：混淆一次函数与正比例函数，忽视自变量取值范围。 2.几何证明漏步骤 ：证明三角形全等时漏掉关键条件（如SSS、SAS）。 3.计算错误 ：代数运算或几何计算时出现符号错误。 通过以上方法，结合数形结合思想，可有效解决一次函数与几何图形综合问题 类型一 一次函数图象与三角形的综合 【例1】．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，与轴、轴分别交于、两点，已知点坐标为． (1)求直线的解析式； (2)若点在线段上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的图象性质、两条直线相交问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出点A的坐标，然后根据得到，求出，代入一次函数解析式即可解题． 【详解】（1）解：把代入,得， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为， 又∵， ∴，即， 解得或， 又∵点D在线段上， ∴， 代入得，解得， ∴点D的坐标为． 【变式1-1】．直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点的坐标 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：． （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或． （3）解：由题意，．设，则． 在中，， ． ． 解得，． ． 点的坐标． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是：（1）掌握待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况：当时，当时，分别 求出点D坐标；（3）利用勾股定理建立关于点M纵坐标的方程． 【变式1-2】．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出点M的坐标是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当时，设点M的坐标为，利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， 即，； （2）分两种情况考虑： ①当时，轴， ∴点M的坐标为； ②当时，设点M的坐标为， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或． 【变式1-3】．如图，已知直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，且经过点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴的正半轴上是否存在点，使得以、、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理； （1）将点，分别代入解析式，解方程，即可求解； （2）设，，分别求得的长，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，且经过点． ∴ 解得： ∴ （2）解：设， ∵， ∴，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：（负值舍去） ∴或或 【变式1-4】．已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图象的平移，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积的计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先确定平移后的函数解析式，然后求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴交点坐标为， 设直线的解析式为：，把和代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）设平移后的直线解析式， 则与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴与坐标轴围成的三角形面积为， 解得：， ∴平移后的直线解析式为或． 类型二 一次函数图象与平行四边形的综合 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)若点是直线在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，解（2）掌握三角形的面积的计算方法，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题． （1）利用轴上的点的坐标特征即可得出结论； （2）先求出点的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论． 【详解】（1）解：点是直线与轴的交点坐标， ， 点是直线与轴的交点坐标， ； （2）解：如图1，直线与相交于，   ， ，， ， 点是直线在第四象限内的一个动点， ， ， （3）解：如图2，    由（2）知，， 当时，， ， ， ①当是对角线时，取的中点，连接并延长取一点使， 设， ，， 的中点坐标为， ， ，， ，， ， ②当为对角线时，同①的方法得，； ③当为对角线时，同①的方法得，； 即：满足条件的点的坐标为或或． 【变式2-1】．（1）如图1，平行四边形的对角线、交于点O，过点O作直线，分别交、于点E、F，求证：； （2）如图2，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标是，点D的坐标是，直线平分平行四边形的面积，请直接写出k的值为________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质，证明，即可得出结论； （2）连接、交于点，根据坐标中点公式，得出点坐标为，再根据平分平行四边形面积的直线必过对角线交点，将点代入直线，求出k的值即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，连接、交于点， 四边形是平行四边形，点B的坐标是，点D的坐标是， 点坐标为， 直线平分平行四边形的面积， 直线过点， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 【答案】(1)，平行四边形面积8； (2)或． 【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键． （1）过，分别作于，于，由四边形是平行四边形，得到，，，证得，推出即可得到结果； （2）分多种情况讨论，即当点在线段上时，；当点在线段上时，，逐一计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当时， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作于， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得 ， 综上所述，或． 【变式2-3】．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3) 【分析】（1）只需证明即可． （2）分三种情况求解即可． （3）先证明，得到，确定直线的解析式为，设点，则，其中， 求得直线的解析式，根据面积差为4，得到求解即可． 【详解】（1）证明：∵D是中点 ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， ∴．设， （I）当时，则， ， ， 根据题意，得， 解得：， 故； （II）当时，则，则， 根据题意，得， 解得：，（均舍去）； （III）当时，则 ，故， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故， 所以或4． （3）如图，，点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线的解析式为， 设点，则，其中， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∵点是直线上的点， ， 解得． ，， 且四边形与的面积差为4， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键． 【变式2-4】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）画出图形，分类讨论利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：①为平行四边形时，则， ∴； ②为平行四边形时，则， ∴， ③为平行四边形时， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P 而， ∴， 综上所述，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 类型三 一次函数与特殊平行四边形 【例3】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为一条边向右侧作矩形，且点在直线上，若矩形的面积为20，直线与直线交于点．则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线y1=2x+4求得OB=4，根据解析式面积求得D(5，4)，代入y2=-x+b求得解析式，然后联立解析式，解方程组即可求得． 【详解】∵直线y1=2x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴B(0，4)， ∴OB=4， ∵矩形OCDB的面积为20， ∴OB•OC=20， ∴OC=5， ∴D(5，4)， ∵D在直线y2=﹣x+b上， ∴4=﹣5+b， ∴b=9， ∴直线y2=﹣x+9， 解，得， ∴P(，)， 故选：A． 【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征． 【变式3-1】．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，在平面直角坐标系的位置如图所示，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】由菱形的性质知，点C与点A关于对称，连接交于P，连接，此时最小，最小值等于．用待定系数法求得直线的解析式为，直线的解析式为，然后联立丙解析式，求解即可得点P坐标． 【详解】解：∵菱形 ∴点C与点A关于对称， 连接交于P，连接，如图， ∵点C与点A关于对称， ∴ ∴ 此时最小，最小值等于． ∵菱形的边长为5， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， 过点B作于E， ∵菱形的边长为5， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 设的解析式为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式3-2】．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)①，点F坐标为；②存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先证明，设，则，， 在中，由勾股定理得，求出点，而点，即可求直线的表达式； （3）①待定系数法求直线表达式，交点只需联立两条直线表达式，解方程组即可； ②分类讨论：以为边；以为对角线，两种情况，根据菱形的四条边相等即对角线垂直的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题知，在矩形中，点B的坐标是， ∴，，， ∴； （2）解：解：过点E作， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：①在矩形中，点B的坐标是， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线和直线交于点F， ∴， 解得：， ∴， ②当、都为菱形的边时，如图： ， ∴或； ②当为菱形的边，为菱形对角线时，如下图， ∴， ∴， 综上，满足条件的点m的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，涉及矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求解析式等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式3-3】．在平面直角坐标系中，有一点，连接． (1)如图，以为边，在上方构造正方形，边交直线于点，边交轴于点． ①的长为_____，点的坐标_____，直线的函数表达式______，的长为_____； ②如图2，连接对角线交轴于点，交直线于点，连接，请你判断的形状且说明理由，并求的面积； (2)如图3，以为边，过点在的上方作，且，连接，点是线段的中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当最小时，求此时的长． 【答案】(1)①5；；；；②等腰直角三角形， (2) 【分析】（1）①过点作轴于点，过点作轴于点，首先利用勾股定理解得的值；证明，由全等三角形的性质可得，，即可确定点坐标；利用待定系数法求得直线的解析式，结合，可设直线的函数表达式为，进而确定直线的函数表达式；在确定，然后计算的长度即可； ②过点作轴于点，首先利用待定系数法求得直线的解析式为，联立和并求解，即可确定点，进而证明，，即可确定的形状为等腰直角三角形，然后计算其面积即可； （2）首先证明点的运动轨迹在过点，且与垂直的直线上， 作点关于直线的对称点，连接，过点作轴于点，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，求得直线的解析式为，进而确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式为，联立和并求解，即可确定点坐标，然后利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将点代入，可得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，可得，即， ∴； 故答案为：5；；；； ②的形状为等腰直角三角形，理由如下： 如下图，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立和，可得， 解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线解析式为， ∴， ∴，， ∴的形状为等腰直角三角形， ∴； （2）解：如下图，当点与点重合时， 此时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为正方形， 如下图，当点到达中点时， 此时，且， 即点与点重合， ∴点的运动轨迹在过点，且与垂直的直线上，即， 如下图，作点关于直线的对称点，连接，过点作轴于点， 此时，则， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 结合（1）可知，，，直线解析式为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵，即， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立和， 可得，解得， ∴此时， ∴， 即当最小时，此时的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，运用数形结合的思想分析问题． 【变式3-4】．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【详解】（1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$