广西柳州市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

柳州二中2023级高二上学期开学考数学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：粟丽妮 审题人：王磊 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题) 一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ） A. 年甲系列产品收入比年的多 B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 直线是图象的一条对称轴 7. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时 B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为8小时 C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时 D. 这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有100人 10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 到面的距离为 D. 作平面，垂足为，则为的重心 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分) 12. 若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________． 13. 若，则________. 14. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. 在中， （1）求值； （2）求角和的面积. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 17. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. （1）求灯柱的高（用表示）； （2）此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为，答对“应急救援”题库中题目的概率为，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率； （2）求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率． 柳州二中2023级高二上学期开学考数学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：粟丽妮 审题人：王磊 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题) 一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分) 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BD 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分) 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0.75## 四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 【15题答案】 【答案】（1） （2），的面积为 【16题答案】 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【17题答案】 【答案】（1）, （2）当时，取得最小值米 【18题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $柳州二中2023级高二上学期开学考数学参考答案 1.D 2.C3.C 4.A 5.D【详解】取MD的中点F,连接EF,AF,由E为CD的中点，得EF/1MC,EF=MC=2, 则∠AEF是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形ABCD中，AE=√AD+DE2=√5，在△MAD中，MD=MA=4, C0S∠ADF=2 2_1,4=2+22-2x2x2x6, 4 于是coS∠AEP=AB+EF2-AF25+4-63W5 2AE.EF 2W5×220 B 所以异面直线CM与AB所成的角的余弦值为35赦选：D 20 6D【详解】对于选明A可得+-+引日-co+9血立，故A错误： 对B,令+2s2x≤+2ake2,→平+msxs好+m(keZ, 4 则g(x)在 _ππ 44 上单调递增，故B错误： 对于c因为0引前以2x0引，故2x小，g倒在0 上的最小值为0，故C错误： 3 对干D,函数（血2的对将镇方程为2x=如k=列，化简可得=经+=列， 取=0，可得=开所以《平是g(y图象的一条对称辅，故D正确故选：D 7.C【详解】因为D是BC边上靠近点C的三等分点，E是AD的中点， 所以D丽-i(Dc+C-名c-号4c-君(AB+Ac)c=。4C 6 所以5=+4c=-0丽=后+兮4C.因为级C不共线，所2-言业写所以2+以 2 8.B【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：a心2-c2+b2=b, 再由余弦定理得：csC=b=2,因为0<C<π，所以C=3,又c=3, 由余弦定理c2=a2+b2-2 ab cosC,即9=d+b2-ab, 因为2+b2≥2ab,所以9≥2b-ab,即ab≤9，当且仅当a=b=3时等号成立， 故VABC的面积S=。 nc-sm于95g 24 所以VABC面积的最大值为W5故选：B 4 答案第1页，共4页 9.AC 10.BC【详解】对于A:可得a+b=（-1,2),且2x2≠1x(-1),所以a+b与c不共线，故A错误； 对于选项B:若c 对于选项c:因为a-6=(5,0,则a(位-)=10，日=5，片-8=5。 ala-b) 所以ā与a-b的关角余位为形-司 1025 5x55，故C正确； 对于选项D:由题意可知： “苏=5，月=而，因为e是与石同向的单位向量· rr ab r or 所以向量a在向量b上的投影向量为 e= 2 , 故D错误； 11.BD【详解】解：因为OA,OB,OC两两互相垂直，OB∩OC=O,AO⊥平面OBC, 故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，又OA=OB=OC=1,所以∠ABO=45°， 故直线AB与平面OBC所成的角为45°，故A错误： 取BC中点为D,连接OD,AD, 因为OA=OB=OC=1,OA,OB,OC两两互相垂直，所以AB=AC=BC=√5，OD⊥BC,AD⊥BC, 因为OD∩AD=D,所以BC⊥平面AOD,故∠ODA为二面角O-BC-A的平面角， 则tam∠ODA=OA:V2,故二面角O-BC-A的正切值为V2,故B项正确： OD 因为AB=AC=BC=V5,所以AD=6,设O到面ABC的距离为h, 2 则以ac11=6c=兮x:解得a9放c项谈： 因为AB=AC=BC=√2，故VABC为等边三角形， 因为OM⊥平面ABC,则M点为O点在平面ABC上的投影，又OA=OB=OC=1, 即O点到VABC顶点A,B,C的距离相等，即M点到VABC项点A,B,C的距离相等， 故M为VABC的重心，故D项正确.故选：BD 12.1【详解】由已知可得m≠-2，k=--4-四1，解得=1，故答案为：1. x2-x1m+2 49 49 14.075或子【详解】事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感樂， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907,966,569,556,989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率 答案第2页，共4页 伪，025，则三只豚鼠中全少一只被感染的概率为1-025=0.75.故答案为：0.75 15.【详解】)在△4BC中，由正弦定理得inBsin2A正2n4sinB今2 sinBsinco4En4sin® 因为sinB≠0，sim4≠0，所以cosA=-7y 由余弦定理得d=b2+c2-2 bccos4,代入64=b2+49-2b,∴.b2-2b-15=0, 解得b=3或b=-5(舍) (2)由余弦定理推论得cosC=口+B-c2_4+9491 2ab 2x8×3-2, 因为0<C<,所以角c-骨： 因此△4BC的面积为bsnC=×8×3×5-6N5 2 2 2 16.【详解】(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1,解得x=0.02 (2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75x0.35+85×0.3+95×0.1=77, 中位数设为m,则0.05+0.2+(m-70)x0.035=0.5,解得m=540 7 (3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005x10=5人，其中男生3人，女生2人.记为A,A2,A,B,B2, 记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A, 从5人中抽取2人有：AA,AA,AB,AB2,A,4,AB,AB2,AB,AB2,BB2 所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个， 所以P④高 17.【详解】(1)由题意知，在a4CD中，∠CD4=匹-日， 2 由正弦定理，得4C-m)n∠Cn1=16/5co9 在VABC中，由正弦定理， AC 得AB=h= sin/ARc·sm∠4CB=32cos0sim0,”≤0≤ 6 AC (2)在VABC中，由正弦定理，得BC= sinBAC32co 0im AB+BC=32co50sin0+32cos0sin0=16cos20-+8, (3 6 由丁0子故爱20-名骨 6 6 63 所以当0=严时，AB+BC取得最小值8+85≈21.86米. 4 答案第3页，共4页 18.【详解】(1)取AD的中点O,连接PO,CO, 因为△PAD为等边三角形，所以POLAD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平面ABCD, 因为ABC平面ABCD,所以AB⊥PO, 又PD⊥AB,PD∩PO=P,PD,POC平面PAD,所以AB⊥平面PAD, 因为DMC平面PAD,所以AB⊥DM,因为M是PA的中点，所以DM⊥PA, 因为AB,PAC平面PAB,且AB∩PA=A,所以DM⊥平面PAB. (2)因为AD=2,BC=1,由(1)知四边形ABCO为矩形，则AB1OC, P 又AB⊥平面PAD,所以CO⊥平面PAD,以O为坐标原点， 分别以OC,OD,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 p0aa09c4aoa1o)o-61-o-fu0. D方 B 取平面PAB的法向量为DM= 3V3 0,-22 设平面PCD的法向量为i=(x,y,=), mPD=0 则 即 m.CD=0 x00,令山，则x=B,=,所以m=3 m.DM cosm,DM 5√7 成·DM 3V万7，所以平面P0D与平面2AB夹角的余弦值为行 19.【详解】(1)设事件A为甲恰好答对一道题，事件B为乙恰好答对两道题 Pw--1}音--54的日G 515 所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为， 36 (2)设事件C为冲锋队”最终得6分，事件D为冲锋队”最终得5分， O m--分-号分6 1-PC-PD=1-15=25 63636 所以冲锋队最终得分不超过4分的概率为三 36 答案第4页，共4页