精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

沈阳市回民中学2024级高一下学期4月月考 数 学 出题人：高一数学组审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是 A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 4. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 5. 已知，则（ ） A. a B. -a C. D. 不确定 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 C. 向左平移个单位，再将所得图象每一点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 10. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 若为第一象限角，则 11. 函数，是（ ） A. 最小正周期是 B. 区间，上的减函数 C. 图象关于点，对称 D 周期函数且图象有无数条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是________ 13. 已知是方程的根，是第三象限角，则____________. 14. 若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角终边上一点，求下列各式的值． （1） （2） 16. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 17. 已知函数部分图象如图所示． （1）求的解析式 （2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 18. 已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 19. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高一下学期4月月考 数 学 出题人：高一数学组审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出第二象限角的三角函数线，利用三角函数线判断出，由此判断出正确选项. 【详解】如图，作出的三角函数线，显然，且,∵，，∴．∴，即.故选B. 【点睛】本小题主要考查第二象限角的正弦、余弦和正切的运算，属于基础题. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数的定义进行求解即可. 【详解】由，因为，所以， 即， 故选：A 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先转化，再利用的单调性判断大小. 【详解】，， 在单调递增， ，即. 故选：C 4. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】 写出第一象限角，得到的范围，再讨论k的取值即可. 【详解】因为为第一象限角， 所以， 所以， 当时，，属于第一象限角，排除B； 当时，，属于第三象限角,排除AC； 所以第一或第三象限角 故选：D 5. 已知，则（ ） A. a B. -a C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以 故选：B 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项. 【详解】的定义域是， 因为，所以是奇函数，排除CD， 因为，排除B， 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出A，ω 和，即可求函数f（x）的解析式；再通过平移变换函数图象关于y轴对称，求解t的关系式． 【详解】解：由题设图象知，, 周期T＝，解得：T＝16， ∴ω． 可得f（x）＝3sin（）, ∵f（2）＝0， ∴sin（）＝0， ∵， ∴． 故得f（x）＝3sin（）， 将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）的单位， 可得：y＝3sin[]＝3sin（）， 由函数图象关于y轴对称， ∴， 整理得：﹣t＝6+8k， ∵t＞0， ∴当k＝﹣1时，t的最小值为2． 故选:B． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系． 8. 已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可. 【详解】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴， ，① ，② ①-②得， 令，，则，， ，，的最小正周期， 在上单调， ， ，解得， 当时，，则②式为，， 又，，此时， 当时，， 在上不单调，不符合题意舍去； 当时，，则②式为，， 又，当时， ，此时， 当时，，单调递增； 当时，，此时， 当时，，单调递减. 的最大值为9. 故选：C 【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 C. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位； 或者向左平移个单位，再将所得图象每一点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）. 故选：BC. 10. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若为第一象限角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B选项：将代入化简求值即可，验证是否正确； 对于C选项：将分子分母同除以，再将代入化简，验证是否正确； 对于D选项：先判断的正负，然后化简，验证是否正确； 【详解】对于A选项：，故A选项正确； 对于B选项：，，故B选项正确； 对于C选项：，则,故C选项不正确； 对于D选项：为第一象限角，,,故D选项正确； 故选:ABD 11. 函数，是（ ） A. 最小正周期是 B. 区间，上的减函数 C. 图象关于点，对称 D. 周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【解析】 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】， 则对应的图象如图： A中由图象知函数的最小正周期为，故错误， B中函数在上为减函数，故正确， C中函数关于对称，故错误， D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确 故正确的是 故选：BD 【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路: ①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是________ 【答案】 【解析】 【分析】终边在一条直线上的角的取值集合：写出一个角再加上即可.. 【详解】直线y＝－x的倾斜角是， 所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为. 故答案为：. 13. 已知是方程的根，是第三象限角，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由方程的根，求得，由三角函数的基本关系式，求得，再利用三角函数的诱导公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得方程的根为或， 又是第三象限角，所以，所以， 所以， 利用三角函数的诱导公式化简得，原式. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14. 若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得零点，令，零点和在区间内，则且，求得，可得，分别对取值求得结果. 详解】由得，得． 令，零点和在区间内，则且， 即且，化简得， 由，得，所以为大于1的整数． 易得当时，；当时，； 当时，；当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角终边上一点，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义可求得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值； （2）利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【小问1详解】 解：由三角函数的定义可得， 所以，. 【小问2详解】 解：. 16. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 【答案】（1）见解析（2）337.5平方米 【解析】 【详解】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大 试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为， 由题意，即， 即， 所以，所以，，则， 所以当时，面积的最大值为400. （2）即，代入可得 或， 又， 当与不符， 在上单调，当时，最大平方米，此时. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式 （2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象结合余弦函数的性质得出解析式即可； （2）由余弦函数的性质得出函数的值域，进而结合图象解题即可. 【小问1详解】 由图可知， 由，得，得， 因为，所以， 得，又，所以，故 【小问2详解】 由题意可知，与直线有两个交点， 因为，所以， 则，，作出简图为 若函数在上有两个零点，由图可知， 故m的取值范围为 18. 已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出，再根据对称轴是及求出，从而得到的解析式； （2）根据平移变换得到，再通过整体代换，利用正弦函数的图像和性质得到有最小值及对应的自变量的值，即可求的值及的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数图象相邻的对称中心之间的距离为， 所以，即周期，所以， 所以， 又因为函数的图象关于直线轴对称， 所以，，即，， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线， 所以， 当时，，, 当时，有最小值且关于对称， 因为方程在上有两根，， 所以， ，即的取值范围. 19. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $