第八章 立体几何初步 章末测试卷-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第八章 立体几何初步 章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（    ） A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺 3．已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线为异面直线 B．恒为钝角 C．三棱锥体积越来越大 D． 7．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（   ） A．为直角三角形 B．平面CEF C．平面 D．点D到平面的距离为 10．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得平面 C．四棱锥体积的最大值为 D．点在某个球面上运动 11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，且，点在上运动，则（    ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 13．若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为 . 14．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 16．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 17．如图与所在平面垂直，且，求二面角的余弦值. 18．如图，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点． (1)求证：： (2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．    (1)当二面角为时，求的长； (2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第八章 立体几何初步 章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于D选项，由平行的传递性可知D选项成立； 对于A选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错. 对于B选项，直线不一定相交，根据面面平行的判定定理，面面平行不一定成立，错； 对于C选项，与也有可能相交，错； 故选：D. 2．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（    ） A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【详解】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF， 由题意得：2丈=20尺，圆周长BE=3尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为尺， 故选：C 3．已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：C． 4．正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 因为分别为棱的中点，则∥，故或其补角即为所求， 由正方体的性质可知，即为等边三角形，， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 5．已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得， 又表面积，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：B． 6．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线为异面直线 B．恒为钝角 C．三棱锥体积越来越大 D． 【答案】D 【详解】对于A，易知，所以直线与直线为共面直线，A错误； 对于B，由正方体的性质可知，当F与重合时，为锐角，B错误； 对于C，因为，又平面，平面，所以平面， 又在上，所以到平面的距离为定值， 又三角形也为定值，所以三棱锥体积为定值， C错误； 对于D，因为平面，所以， 又，，所以平面， 因为平面，所以，D正确. 故选：D 7．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 8．如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平面与直线交于点，连接，易知为的中点， 分别取的中点，，连接， ∵平面平面， ∴平面．同理可得平面， ∵平面， ∴平面平面，结合平面， 可得直线平面，即点是线段上的动点． 由直线与平面所成角为，运动点并加以观察， 可得当与（或重合时，与平面所成角等于， 此时所成角达到最小值，满足； 当与中点重合时，与平面所成角达到最大值， 满足，所以与平面所成角的正切取值范围是． 由直线与所成的角为，因为， 所以与所成的角即为与所成的角，运动点并加以观察， 可得当与（或）重合时，与所成的角等于， 此时所成角达到最小值， 满足，可得，所以， 当与中点重合时，与所成的角达到最大值，满足， 因为，，又，所以． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（   ） A．为直角三角形 B．平面CEF C．平面 D．点D到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】该半圆围成的圆锥，如图所示， 设圆锥底面半径为，则， ∴，∴，. ∵F为线段AS的中点，O为线段AD的中点， ∴，且， ∴，即为等腰直角三角形，故选项A正确； 若平面CEF，则， 在直角中，，∴，故选项B错误； ∵，平面，平面， ∴平面，故选项C正确； 设点D到平面的距离为， ∵，即，解得， 即点D到平面的距离为，故选项D正确. 故选：ACD. 10．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得平面 C．四棱锥体积的最大值为 D．点在某个球面上运动 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意知，若存在某个位置使得， 则由于平面，因此平面， 又平面，因此，由题意知，故此时， 易知在折叠过程中，，所以存在某个位置，使得，故存在某个位置，使得，故A正确． 对于B，若存在某个位置，使得平面，因为平面， 所以，但在矩形中，，则、为等腰直角三角形， 所以，显然，故不成立， 所以不存在某个位置，使得平面，故B错误． 对于C，当平面平面时四棱锥的体积最大， 又为等腰直角三角形，所以此时点到平面的距离为， 所以四棱锥体积的最大值为，故C正确． 对于D，如图，取的中点，连接，由于为线段的中点， 所以且， 所以点在以点为球心，为半径的球面上，故D正确． 故选：ACD． 11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，且，点在上运动，则（    ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【详解】因为底面是菱形，所以， 又因为几何体是直四棱柱，所以底面， 且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确. 如图所示，连接和，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以B正确. 设与的交点为，连接，交于点，连接， 因为底面是菱形，所以， 又因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，， 所以，可得，所以C错误； 因为平面平面，所以点在平面内的射影在线段上， 所以， 又因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 13．若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为 . 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦值为，则， 在中，，可得，则， 圆锥的体积，解得，则， 圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积， 圆锥底面面积，所以圆锥的表面积. 故答案为：. 14．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 16．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 17．如图与所在平面垂直，且，求二面角的余弦值. 【答案】 【详解】过作的延长线于，连结， 平面平面，平面平面，平面 点即为点在平面内的射影， 为在平面内的射影， 设，则， ，由余弦定理可得， .， 又，， 设二面角为. 而二面角与互补， 二面角的余弦值为. 18．如图，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点． (1)求证：： (2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接， 由，得，由等边，得， 而平面，，则平面，又平面， 所以. （2）依题意，的面积为，三棱锥体积， 则当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥体积最大， 在中，，，因此当平面时，三棱锥体积最大， 在平面内过作于，连接，由平面，平面， 得，而平面，于是平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，在中，， ，所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．    (1)当二面角为时，求的长； (2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析． 【详解】（1）连结与交于点M， 依题意，， 于是四边形和均为菱形， 和为等边三角形， 所以， 又， 于是在图中，即为二面角的平面角， 即有， 由余弦定理得： ， 所以．    （2）平面平面的情况不存在． 设平面平面， 因为平面，所以， 而且， 因此平面，即有平面， 于是为二面角的平面角， 因为，所以在等腰中不可能等于直角， 即平面平面的情况不存在．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$