精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题

2024—2025学年高一4月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 所以扇形的面积为． 故选：C. 2. 下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数定义域，以及的表达式，即可判断奇偶性；对于B、D两项，代入区间，求出整体的取值范围，结合正弦函数的单调性，即可判断正误. 【详解】对于A项，由可得，， 所以，函数的定义域为关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故A错误； 对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误； 对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故C错误； 对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移计算判断即可. 【详解】只要把的图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象， 故选：A. 4. 已知，，且，则（ ） A. －3 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知，代入坐标化简得出，代入式子计算即可得出答案. 【详解】由已知，可得，即， 整理可得. 所以. 故选：B. 5. 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数定义以及正切函数的定义列出不等式组，根据正切函数的图象与性质解不等式即可得出答案. 【详解】要使函数有意义， 则应有. 由正切函数的图象与性质解可得，， 所以，函数的定义域为. 故选：A. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的运算以及数量积的运算求解即可． 【详解】由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 所以， 故选：C． 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，可判断C选项；求出点的坐标，可判断A选项；根据正弦函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断D选项. 【详解】因为， 又因为，易得 解得，所以点的坐标为， 所以是第四象限角，且，所以 故选：B 8. 已知为的外接圆圆心，若，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出为直角三角形，再结合求出，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项． 【详解】 因为，故为的中点，而为外心， 故为直角三角形，且， 取的中点为，连接，则， 因为，故，故， 而为锐角，故，故，所以， 而向量在向量上的投影向量为， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意向量，，，下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量数量积的定义即可判断ABC；再根据平面向量的减法即可判断D． 【详解】对于A，，， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误； 对于C，，其中为的夹角， 因为，可得， 所以恒成立，故C正确； 对于D，根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D正确； 故选：CD． 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数在上有4个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义结合图象可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项． 【详解】对于A选项，易知函数的定义域为， 因为 ，作出函数的图象如下图所示： 所以，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B选项，当时，，则， 此时，， 因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，故B正确； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的一条对称轴为直线，故C正确； 对于D选项，由，解得， 当时，，可得， 解得，所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：BCD． 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 的面积为 C. D. 是的图象的一个对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】由图象得出函数的最值，即可得出，判断A项；设，，，求出向量的坐标，根据已知条件列出方程求解得出.根据正弦函数的图象及性质可得出，求出的坐标，根据三角形的面积公式求解即可得出B项；根据正弦函数的图象及其性质结合的坐标，得出函数的周期，进而求出的值，判断C项；代入点的坐标得出的值，进而由可得出对称中心满足的条件，列方程验证即可判断D项. 【详解】对于A项，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以.故A正确； 对于B项，不妨设，，，且， 易知. 则，， 所以， . 又，所以有， 整理可得. 因为，所以，. 根据正弦函数的性质可知， 所以，有，，， 的面积为.故B正确； 对于C项，由B可知，， 所以，.故C错误； 对于D项，由前分析可知，， 又函数图象过点， 所以有， 所以有， 解得，即. 又， 所以，. 由可得，. 令可得，， 所以，不是的图象的一个对称中心.故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将分母中的1化为，然后分子分母同时除以，整理得到一个关于的式子，代入数值求解即可得出答案. 【详解】由已知可知. 则. 代入可得， . 故答案为：. 13. 已知，．若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合角的范围求解可得出，，由，结合两角差的正余弦公式求解得出的值.进而根据两角差的余弦公式求解得出的值，结合不等式得出的取值范围，即可得出答案. 【详解】因为，所以，. 又，所以. 所以，， . 因为，， 所以，， 所以，. 因为，，所以. 又， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知向量，满足，，则的最大值为________，最小值为______ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据已知可得出，然后结合向量加法的三角形法则即可得出答案. 【详解】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 四、本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 平行四边形中，，，，求： （1）的值； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，代入结合数量积的运算律即可得出答案； （2）根据已知可得，代入结合数量积的运算律得出，进而在中，根据余弦定理及其推论求解即可得出答案. 【小问1详解】 易知， . 【小问2详解】 由已知可得， 所以，. 在中，有，，， 由余弦定理及其推论可得. 16. 已知，对任意都有． （1）求的值； （2）若当时，方程有唯一实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知得出函数的对称轴，结合正弦函数的对称性列出方程求解得出的关系式，结合的范围，即可得出答案； （2）根据已知求出，令，作出的图象，将已知方程有唯一实根转化为与的图象有唯一交点.根据数形结合 法列出关于的关系式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，是函数的一个对称轴. 根据正弦函数的对称性可知，. 又， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 方程有唯一实根，可转化为与的图象有唯一交点. 令， 作出函数的图象如下图 有图象可知，当或， 即或时，函数与的图象有唯一交点， 即方程有唯一实根. 17. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解． 【小问1详解】 向量，可得，且， 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以． 【小问2详解】 由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要． （1）一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式； （2）当时，求此游客距离地面的高度； （3）在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，计算即可； （3）根据题意列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 设， 由题意知：，， 故， ，，可取， ， 故解析式为，． 【小问2详解】 ， 所以当时，求此游客距离地面的高度为． 【小问3详解】 由题得，，即， 解得， 所以此游客距离地面高度不少于的时间有． 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）4 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出，结合数量积公式得出的值，进而求出的值，根据定义代入数值计算即可得出答案； （2）根据已知得出的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出的值，进而求出，然后代入公式求解即可得出答案； （3）由已知可得，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出.换元令，根据基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 又，， 则. 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由已知可得，，， 所以有，，， 则. 又， 所以， 所以，. 【小问3详解】 由已知可得， 所以，，则，. 又， 所以，. 因为，所以. 令，则， 当且仅当，，即时等号成立， 所以，的最小值为， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意可知与向量的数量积相似，可结合课本已学的知识点，结合新定义公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一4月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，，且，则（ ） A. －3 B. 3 C. D. 5. 的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，若，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意向量，，，下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数在上有4个零点 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 的面积为 C. D. 是的图象的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知，．若，，则的值是______． 14. 已知向量，满足，，则的最大值为________，最小值为______ 四、本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 平行四边形中，，，，求： （1）的值； （2）． 16. 已知，对任意都有． （1）求的值； （2）若当时，方程有唯一实根，求实数的取值范围． 17. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18. 某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要． （1）一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式； （2）当时，求此游客距离地面的高度； （3）在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？ 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $