精品解析：吉林省吉林市松花江中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

吉林松花江中学（2024-2025学年度下学期）高一年级 数学学科月考试题 时间：120分钟 满分：150分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解. 【详解】由，可得， 故复数对应的点位于第四象限， 故选：D 2. 已知向量，，若，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量坐标的线性运算得得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数的值. 【详解】因为向量，，所以， 又，所以，解得. 故选：C. 3. 设向量满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的性质与运算法则找到与的关系，即可求得结果. 【详解】因为，， 所以，即， 故 ，即. 故选：C． 4. 已知向量，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示，结合垂直向量数量积的坐标表示，可得A的正误；结合向量模长的坐标表示，可得B的正误，由数乘计算单位向量，可得C的正误；由投影向量的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，易知与向量平行的单位向量为，则为或，故C错误； 对于D，易知向量在向量的投影向量为，故D正确. 故选：C. 5. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： ， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 6. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 7. 如果复数满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数满足可知，其在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，求出即可. 【详解】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆． 表示圆上的点与点的距离． 因为，所以的最大值是． 故选：A． 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用可以求解的向量来表示. 【详解】记圆心为，则， 因为互为相反向量， 所以， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心， 所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2， 当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时. 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 两个相等向量的模相等 B. 平行向量方向相同 C. 若和都是单位向量，则 D. 平行向量一定是共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据相等向量、平行向量、单位向量、共线向量的概念分析可得答案. 【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确； 根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确； 若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确； 平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确. 故选：AD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断C项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断D项. 【详解】对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：，，（为△ABC外接圆的半径）， 因为，所以，所以，故A项正确； 所以B项，因为，所以，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立； 对于C项，因为， 所以由正弦定理得：，即：， 所以或， 所以或， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立； 对于D项，因为△ABC为锐角三角形， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即：，故D项正确. 故选：AD. 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知. 【详解】对于A，因为，，设点为的中点， 所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确； 对于B，当时，， 因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量， 所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确； 对于D，当时，， 而由正弦定理有，即有， 结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点和向量，若，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设点，，因此，得，得点． 考点：平面向量的坐标表示． 13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】， ， ，. 故答案为：. 14. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值. 【详解】取中点，连接，如图， 由可得，即， 所以三点共线且，即为的重心， 所以， 因为三点共线， 所以， 又，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知平面向量，，，且，. （1）求和； （2）若，，求向量； （3）求与向量的夹角的大小. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量平行，垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果； （2）根据平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据平面向量的夹角公式，结合坐标运算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则，所以. 因为，则，所以. 所以，； 【小问2详解】 因为， ， 所以； 【小问3详解】 设与向量的夹角为，则 ， 因为，所以，即与的夹角为. 17. 如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. （1）求∠ABC 的正弦值； （2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【答案】（1） （2）海里 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值； （2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离. 【小问1详解】 由题设，，，， 在△中，，则； 【小问2详解】 由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里. 18. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，． （1）若，求，的值； （2）求的值； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的运算法则求解 （2）分解后由数量积的运算求解 （3）由数量积的定义求夹角 【小问1详解】 ，故 【小问2详解】 【小问3详解】 ， 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学（2024-2025学年度下学期）高一年级 数学学科月考试题 时间：120分钟 满分：150分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 设向量满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 15 4. 已知向量，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 5. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 7. 如果复数满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 两个相等向量的模相等 B. 平行向量方向相同 C. 若和都是单位向量，则 D. 平行向量一定是共线向量 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点和向量，若，则点的坐标为_________． 13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 14. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知平面向量，，，且，. （1）求和； （2）若，，求向量； （3）求与向量的夹角的大小. 17. 如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. （1）求∠ABC 的正弦值； （2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 18. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，． （1）若，求，的值； （2）求的值； （3）求． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $