精品解析：湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷

2024-2025学年度下学期高二期中考试 高二数学试卷 命题学校：云梦一中 命题救师：孙小锋 审题学校：安陆—中 考试时间：2025年4月10日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内、写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A B. 9 C. D. 12 3. 已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 4. 点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知m，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 7. 已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（ ） A 10 B. 11 C. 12 D. 12或13 8. 设，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 若直线l过C点，则 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间最短距离为 10. 对任意实数x，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. （，1，…，9）的最大值为 C. D. 11. 已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（ ） A. B. n的取值为2、3、4 C. D. mn的取值为3、6、9 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________. 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 14. 已知且，集合和集合，若，则实数a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. （1）求的值. （2）记，求被除的余数. 16 已知数列满足，（）. （1）证明：数列等比数列. （2）设，求. 17. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 18. 已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程. （2）求证：为定值. （3）求面积的最小值. 19. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）设，令. （ⅰ）讨论的单调性. （ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高二期中考试 高二数学试卷 命题学校：云梦一中 命题救师：孙小锋 审题学校：安陆—中 考试时间：2025年4月10日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内、写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 3. 已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ） A 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解. 【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为， 所以，，即得， 所以，所以， 则. 故选：A. 4. 点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为， 故选：B 5. 若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得. 【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或. 故选：D. 6. 已知m，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可. 【详解】，， ，A错误； ，B正确； ， ，C正确， 由，可得，即，又，解得：，D正确； 故选：A 7. 已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 12或13 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出，再由单调性求得答案. 【详解】，，当时，，两式相减得， 而，解得，因此数列是等比数列，， 数列是递增正项数列，， 因此，所以当取最小值时，. 故选：C 8. 设，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以，即， 所以在单调递减，因为，所以， 即，所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 若直线l过C点，则 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点代入，计算即得；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点，即可判断当且仅当时弦长最短，同时结合图象可判断此时直线的斜率不存在，从而排除. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，直线l过点，则有，则，故B正确； 对于C，由圆心到直线的距离，可得， 显然的值不存在，故C错误； 对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长， 而直线l过定点，当且仅当时， ，此时，， 但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误. 故选：AB. 10. 对任意实数x，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. （，1，…，9）的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；由，可判断为负，为正，计算可判断B；令，计算可判断C；结合B计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B，由， 则展开式的通项公式为， 所以为负，为正， 当时，计算可得，， ，，， 所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得， 所以，又，可得，故C正确； 对于D，由B可知，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设零点个数为m，方程的实根个数为n，则（ ） A. B. n的取值为2、3、4 C. D. mn的取值为3、6、9 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析，的零点分布，进而可得结果. 【详解】由，可得为二次函数，（）为的零点， 由，得或， 因为，令，解得或；令，解得， 所以在和内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 所以，又，，即， 若，则，此时，与矛盾，故A正确； 因为，所以有2个解，有1个解， 所以有3个解，故B错误； 当时，如图所示，的零点个数为，所以，， 故， 当时，如图所示，的零点个数为， 所以，，故， 当时，如图所示，的零点个数为，所以，， 故，故C错误，D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】 如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【答案】360 【解析】 【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数. 【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种. 综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 故答案为：360. 14. 已知且，集合和集合，若，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论集合，进而可求解. 【详解】或， 当，对于等价于， 若，则，故此时不等式不成立， 即此时一定落在的内部，满足， 若， 要满足，需满足对于在恒成立， 即，即， 构造函数，求导可得：， 由，可得， 由，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 最大值为， 所以，即， 综上可知：实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. （1）求的值. （2）记，求被除的余数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，可得出关于方程，由题意得出，可解出的值； （2）由题意得出，结合二项展开式可求出除的余数. 【小问1详解】 的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和， 由题意有，即，整理得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以能被整除 因此，被除的余数为. 16. 已知数列满足，（）. （1）证明：数列是等比数列. （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列满足，（）， 则， ∴， 又∵， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，则（）， ∴ ， ∴ . 17. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. 【小问2详解】 因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 18. 已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程. （2）求证：为定值. （3）求面积的最小值. 【答案】（1）标准方程为，准线方程为 （2）证明见解析 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； 【小问2详解】 证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； 【小问3详解】 由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 19. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）设，令. （ⅰ）讨论的单调性. （ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当，，通过分析函数单调性，求得即可得证. （2）（1）求导，再分和两种情况讨论求解. （ⅱ）根据存在两个极值点和，则的两个极值点满足，化简转化为，令，用导数证明即可. 【小问1详解】 在定义域内是增函数 ∴当时， 要证，只需证 设（） ∴ ∵在上单调递增且 ∴在上单调递减，在上单调递增 ∴ 故时，. 【小问2详解】 （ⅰ） 当时，.定义域为 ∴ ①当时，在上恒成立（当且仅当，时取等号） ∴恒成立，故在上单调递减. ②当时，令，则有两不等正实根 当时， 当时， ∴在和上单调递减，在上单调递增. （ⅱ）若存在两个极值点，由（ⅰ）知. ∵的两个极值点、为方程的两根. ∴，，∴， 要证等价于证明. 设（） ∴ ∴在上单调递增 ∴ ∴. 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$