专题16.13 二次根式（回归教材与课本源题）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.13 二次根式（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点：“源于教材”但“高于教材”，体现了“题在书外，根在书中”的特点，本专题特别选了一些“课本源题”，供大家参考使用！ 一、填空题 1．（21-22八年级下·河南许昌·期中）本册课本第十六章的二次根式的学习与整式、分式的学习方法和知识结构存在很多类似和相通的地方，同属于代数式的概念和运算．小华同学学完二次根式后，梳理了本章知识结构简图如下： 你认为空格处应填 ． 2．（2018·山东潍坊·中考真题）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 二、解答题 4．（21-22七年级·全国·假期作业）“数学活动”（课本第17页）：做一个底面积为100cm2，长、宽、高的比分别为5：4：3的长方体．求： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的体积是多少？ 5．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； （2）探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； （3）拓展应用 已知，求的值． 7．（22-23八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： （1）若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 9．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 10．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 12．（23-24八年级上·江西南昌·期中）课本再现 思考：对于任意数，一定等于吗？ 得出结论 （1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________． 知识应用 （2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    请化简：． 13．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 14．（23-24八年级下·山东泰安·期中）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）化简：______；______； （2）在有关二次根式得计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中得二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形： 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化； （3）计算：． 15．（20-21八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 16．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） （3）设有理数满足：，则________； （4）已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.13 二次根式（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点：“源于教材”但“高于教材”，体现了“题在书外，根在书中”的特点，本专题特别选了一些“课本源题”，供大家参考使用！ 一、填空题 1．（21-22八年级下·河南许昌·期中）本册课本第十六章的二次根式的学习与整式、分式的学习方法和知识结构存在很多类似和相通的地方，同属于代数式的概念和运算．小华同学学完二次根式后，梳理了本章知识结构简图如下： 你认为空格处应填 ． 【答案】二次根式的加减 【分析】根据二次根式有加减和乘除运算进行填空即可． 解：二次根式的化简和运算有，乘除和加减运算，所以空格处应填二次根式的加减． 故答案为：二次根式的加减． 【点拨】本题主要考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握二次根式运算的分类是解题的关键． 2．（2018·山东潍坊·中考真题）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得． 解：由题意知输入的值为32=9， 则输出的结果为[（9+3）﹣]×（3+） =（12﹣）×（3+） =36+12﹣3﹣2 =， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 二、解答题 4．（21-22七年级·全国·假期作业）“数学活动”（课本第17页）：做一个底面积为100cm2，长、宽、高的比分别为5：4：3的长方体．求： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的体积是多少？ 【答案】（1）这个长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm;（2）300cm3 【分析】（1）设长方体的长为5x cm，则宽为4x cm，高为3x cm，根据长方体的底面积等于长×宽列方程，进而可解． （2）利用长方体的体积等于长×宽×高，即可求解． 解：（1）解：设长方体的长为5x cm，则宽为4x cm，高为3x cm， 由题意可得5x×4x＝100， 解得x＝， 则5x＝5，4x＝4，3x＝3． 答：这个长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm． （2）解：5×4×3＝300（cm3）． 答：长方体的体积是300cm3． 【点拨】本题考查了长方体的体积以及二次根式的混合运用，熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键． 5．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 解：（1）解：． 故答案为： （2） ． （3） ． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； （2）探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； （3）拓展应用 已知，求的值． 【答案】（1）2023；2024；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 7．（22-23八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 【答案】（1）见分析；（2）A；（3）；（4）2 【分析】（1）一种方法是将x，y的值直接代入；另一种方法是将变形为，再将x，y的值代入求解； （2）将变形为，再将x，y的值代入求解； （3）将变形为，再将的值代入求解； （4）根据可知：小数部分，整数部分，代入求解即可． 解：（1）解：方法一： ； 方法二： ∵， ∴，， ∴． （2）解： ， 故选A； （3）解：∵， ∴， ∴ ； （4）解：由题意得：，， ∴． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，求无理数的整数、小数部分等，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及完全平方公式的变形． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： （1）若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 解：（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 9．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1）；（2）①；②x=9；③△ABC 的面积为84 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 解：（1）解：∵三角形边长依次是、、， ∴ ， ∴ ； （2）①，， ； ②，，， ， ， 解得：； ③由②得 ： ， ． 10．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【答案】（1）；；  （2）；见分析  （3）① ；② 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式的应用，二次根式的运算，进行解答，即可． （1）根据正方形的面积公式，列式计算，即可； （2）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式，进行计算，即可； （3）①根据题意，则进行化简得，再把代入进行计算，即可；②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解． 解：（1）解： ， ， ， （2）猜想：． 理由如下： 解： ． （2）①解： ， ， ． ②解： ． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【答案】【发现结论】；【运用结论】1；【拓展提升】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再求出y值，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 解：发现结论：，则a的取值范围是； 运用结论：∵， ∴， 解得：， ， ∴； 拓展提升：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 12．（23-24八年级上·江西南昌·期中）课本再现 思考：对于任意数，一定等于吗？ 得出结论 （1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________． 知识应用 （2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    请化简：． 【答案】（1）5，5，；（2） 【分析】本题考查数轴，二次根式的化简，化简绝对值，掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质求解； （2）根据数轴确定a，c和的正负，进而利用化简． 解：（1），，可以得出结论：， 故答案为：5，5，； （2）由数轴可知，，， ， ． 13．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，一定要认真观察，找对规律并利用二次根式的运算法则准确的开方是解题的关键． （1）利用利用二次根式的运算法则计算即可证明； （2）类比上述式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来； （3）利用利用二次根式的运算法则计算，列出方程求解即可． 解：（1）成立， ； （2）； ； ． 所以以上都成立． 举例如下：，， 规律是： （）； 故答案为：； （3）， ， ， ， 经检验，是方程的解； ， ， ， ， 经检验，是方程的解． 14．（23-24八年级下·山东泰安·期中）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）化简：______；______； （2）在有关二次根式得计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中得二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形： 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化； （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关性质和运算法则成为解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可解答； （2）根据题中介绍的方法进行分母有理化即可； （3）先通过分母有理化化简，然后在运用二次根式的混合运算法则计算即可． 解：（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：． （3）解： ． 15．（20-21八年级上·江苏南通·期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解； （2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果； （3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果． 解：（1）， 故答案为：． （2） ， 则， ∴ ∴． （3） ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键． 16．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） （3）设有理数满足：，则________； （4）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 解：（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$