专题16.12 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.12 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（专项练习） 第一部分 考点与题型目录 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】利用二次根式的性质化简.............................................3 【题型3】复合二次根式的化简.................................................6 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断.....................................7 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较................................................10 【题型6】二次根式的混合运算................................................12 【题型7】二次根式的化简求值................................................14 【题型8】回归教材..........................................................18 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算................................................21 【题型10】二次根式混合运算化简求值.........................................24 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】分母有理化与二次根式的化简求值...................................26 【题型12】乘法公式与二次根式化简求值.......................................30 【题型13】二次根式与最值探究...............................................35 【题型14】二次根式与规律探究...............................................39 【题型15】二次根式与拓展探究...............................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可． 解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； B. 中，的取值范围是，故此项符合题意； C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意； D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或或 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴且，解得：， ∴． 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键． 3．（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答． 解：由题意可得： 2n-5=5-2n=0， ∴m=0+0+2=2， ∴n-m= 故选A． 【点拨】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　 4．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 【答案】0 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解． 解：∵与都是二次根式， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【题型2】利用二次根式的性质化简 5．（2024·山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 解：在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想， 故选：B． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我们知道（其中）．利用这个性质可以求方程的解．两边平方得，从而求出方程的解为．请尝试利用这个性质探究方程的解．你求出这个方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质． 先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式方程，注意要检验． 解： 解得：或 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． 故答案为：，． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）根式的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的化简，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，将原式的分子变形为，即为，变形为，即为，同理将原式的分母中的两项也变形，变形后分子分母分别提取公因式后约分，最后开方即可得到结果． 解： ． 故答案为：16． 8．（20-21八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．则函数y＝2x＋（x＜0）的最大值为 ．（提示：可以先求－y的最小值） 【答案】 【分析】根据阅读材料，求出-y的最小值，即可求出y的最大值． 解：∵x＜0，则2x＜0，＜0， ∴－y＝－（2x＋）≥－2＝， ∴， 当且仅当2x＝，即x＝时，函数有最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题是阅读型问题，解题的关键是读懂题目中给出的信息，理解阅读材料介绍的知识，主要培养自学能力． 【题型3】复合二次根式的化简 9．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． 11．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 解：∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 12．（19-20八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 【答案】 【分析】根据 进行化简. 解：由 可知，a＜0，又b＜0， 【点拨】掌握，当a＜0，时，是本题的解题关键. 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断 13．（24-25八年级上·上海·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质化简和二次根式的除法运算法则计算逐项判定，即可得出答案． 解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 15．（22-23八年级下·河南安阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】先分别写出各个选项的逆命题，再逐个进行判断即可． 解：A、“二次根式是负数”的逆命题是“如果是负数，那么是二次根式”是假命题，不符合题意； B、“若最简二次根式与能合并成一项，则”的逆命题为：“若，则最简二次根式与能合并成一项”，是假命题，不符合题意； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，是真命题，符合题意； D、“当时，”的逆命题为“当时，则”，是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，写出命题的逆命题，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，以及二次根式的性质． 16．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 解：A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较 17．（18-19九年级·浙江杭州·）已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可． 解： 即 故选：D． 【点拨】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键． 18．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案. 解：∵（）-（）=3-2=3-=->0， ∴， ∵（）-（）=-=-=>0， ∴， ∴， 故选D. 【点拨】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键. 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型6】二次根式的混合运算 21．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可． 解：（1）解： （2） 22．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据平方根，立方根，绝对值的性质进行计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 解：（1）解： ； （2） ． 23．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可． 解：（1）解：原式； （2）原式． 【题型7】二次根式的化简求值 24．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 解：（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．（22-23八年级下·全国·单元测试）化简求值： （1），其中； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）70；（3）3 【分析】（1）先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入即可得出答案； （2）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可得出答案； （3）将进行平方，化简原式，再代入，，进行计算，即可得出答案． 解：（1） 当时 原式＝ ＝ ＝； （2）∵，， ， ∴ （3）∵，， ∵ ∴． 【点拨】本题考查了分式的化简求值、二次根式的化简求值，涉及到完全平方公式的变形，熟练掌握运算法则是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 解：（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8】回归教材 27．（24-25八年级上·四川·期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3），见分析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据题意将式子分母有理化即可求解； （2）将原式的每一项分母有理化，进而即可求解； （3）计算，进而比较大小，即可求解． 解：（1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 （3）解： 28．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【答案】（1）；；  （2）；见分析  （3）① ；② 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式的应用，二次根式的运算，进行解答，即可． （1）根据正方形的面积公式，列式计算，即可； （2）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式，进行计算，即可； （3）①根据题意，则进行化简得，再把代入进行计算，即可；②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解． 解：（1）解： ， ， ， （2）猜想：． 理由如下： 解： ． （2）①解： ， ， ． ②解： ． 【题型9】二次根式的混合运算 29．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． （1）解： ＝ ＝－＋ ． （2）解： ＝· ． 【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 30．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 31．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算； （4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可． 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键． 【题型10】二次根式混合运算化简求值 32．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 【答案】970 【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 解：∵，， ∴原式 ． 【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则． 33．（19-20九年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】2019. 【分析】先由变形可得，再对进行变形为，然后用整体代入的方法即可求出结果. 解：∵，∴， ∴，即， ∴原式 【点拨】本题是代入求值题，考查了二次根式的运算，本题要注意观察式子的特点，对式子进行有目的的变形，然后采用整体代入的方法求值是一种比较简便的方法. 34．（19-20八年级下·四川绵阳·阶段练习）若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值． 【答案】﹣． 【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可． 解：∵x，y是实数，且y＝， ∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0， 解得：x＝， ∴y＝， ∴x）﹣（）的值． ＝2x+2﹣x﹣5 ＝x﹣3 ＝﹣3 ＝． 【点拨】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值． 【题型11】分母有理化与二次根式的化简求值 35．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： （1）=______； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）仿照题目给定的方法解答即可； （2）设，结合，解答即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得． 故． 36．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）9；（3）；（4） 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 解：（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型12】乘法公式与二次根式化简求值 38．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 【答案】（1），；（2）；（3）2021；（4）7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 解：（1）解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 40．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算：　 　； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 【题型13】二次根式与最值探究 41．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　 　 （2）当时，的最小值为 　 　； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值． 解：（1）解：当时，均为正数， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＞0时，的最小值为2； 故答案为：2； （2）解：当时，， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＜0时，的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时， ， ∴， 当且仅当，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时，的最大值为， ∴当时，的最大值为． 【点拨】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意． 42．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【答案】（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米 【分析】（1）根据当时，，当时，，即可求解， （2）令，，根据“当，时，”，即可求解， （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， （4）设一边长为米，则另一边为米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的得值，即可求解， 本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材料所提供的结论． 解：（1）∵当，时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （2）当，式子，当且仅当时，即：时，有最小值，最小值为2， （3）∵， ∴， ∴，当且仅当时，即：时有最小值，最小值为24， （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米， 则：，即：， ∴所用篱笆的长为米， （米）， 当且仅当时，即时，取得最小值16， 此时，（米），（米）， 故答案为：（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． 【题型14】二次根式与规律探究 43．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】（1）；（2）2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 解：（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 44．阅读材料已知下面一列等式： ；；； （1）请用含的等式表示你发现的规律___________________； （2）证明一下你写的等式成立； （3）利用等式计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）；（4） 【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式； （2）根据分数的运算法则即可验证； （3）根据（1）中的结论进行计算即可； （4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可． 解：（1）解：根据题意，由规律可得： 它的一般性等式为； （2）证明： 原式成立； （3）解： ； （4）解： ． 【点拨】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论． 【题型15】二次根式与拓展探究 45．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 【点拨】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 46．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.12 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（专项练习） 第一部分 考点与题型目录 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】利用二次根式的性质化简.............................................2 【题型3】复合二次根式的化简.................................................2 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断.....................................3 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较.................................................4 【题型6】二次根式的混合运算.................................................4 【题型7】二次根式的化简求值.................................................4 【题型8】回归教材...........................................................5 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算.................................................6 【题型10】二次根式混合运算化简求值..........................................7 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】分母有理化与二次根式的化简求值....................................7 【题型12】乘法公式与二次根式化简求值........................................8 【题型13】二次根式与最值探究...............................................10 【题型14】二次根式与规律探究...............................................12 【题型15】二次根式与拓展探究...............................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或或 3．（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 【题型2】利用二次根式的性质化简 5．（2024·山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 6．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我们知道（其中）．利用这个性质可以求方程的解．两边平方得，从而求出方程的解为．请尝试利用这个性质探究方程的解．你求出这个方程的解是 ． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）根式的值是 ． 8．（20-21八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．则函数y＝2x＋（x＜0）的最大值为 ．（提示：可以先求－y的最小值） 【题型3】复合二次根式的化简 9．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 11．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 12．（19-20八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断 13．（24-25八年级上·上海·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级下·河南安阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 16．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较 17．（18-19九年级·浙江杭州·）已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 20．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【题型6】二次根式的混合运算 21．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： （1） （2） 23．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）计算： （1）； （2）． 【题型7】二次根式的化简求值 24．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 25．（22-23八年级下·全国·单元测试）化简求值： （1），其中； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【题型8】回归教材 27．（24-25八年级上·四川·期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 28．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【题型9】二次根式的混合运算 29．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 30．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 31．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型10】二次根式混合运算化简求值 32．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 33．（19-20九年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 34．（19-20八年级下·四川绵阳·阶段练习）若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值． 【题型11】分母有理化与二次根式的化简求值 35．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： （1）=______； （2）已知，求的值． 36．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【题型12】乘法公式与二次根式化简求值 38．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 39．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 40．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算：　 　； （3）比较与的大小，并说明理由． 【题型13】二次根式与最值探究 41．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　 　 （2）当时，的最小值为 　 　； （3）当时，求的最大值． 42．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【题型14】二次根式与规律探究 43．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 44．阅读材料已知下面一列等式： ；；； （1）请用含的等式表示你发现的规律___________________； （2）证明一下你写的等式成立； （3）利用等式计算：； （4）计算：． 【题型15】二次根式与拓展探究 45．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 46．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$