精品解析：安徽省六安皋城中学2024--2025学年九年级上学期期中数学测试卷

六安皋城中学2024~2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知点，均在抛物线上，则下列说法中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知抛物线的对称轴为直线，记，，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 7. 如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若面积为6，则k的值为（　 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 9. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线，其中正确的结论是（ ） A B. C. 若，则时的函数值大于时的函数值 D. 点一定在此抛物线上 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（ ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式为____________． 12. 已知由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，是由抛物线和抛物线组成的“月牙线”，则k的值为____． 13. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 14. 如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． （1）若，则________． （2）若，则k可取的最大整数值为________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在中，，，，求的长和的度数． 18. 如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求A，B两点的坐标； （2）若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 20. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 六、（本大题满分12分） 21. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 七、（本大题满分12分） 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 八、（本大题满分14分） 23. 抛物线与轴交于A，B两点，点在点右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接、，点是线段上动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． （3）如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安皋城中学2024~2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D． 【详解】A、有无数个值，故A错误，符合题意； B、由比例的性质，得，故B正确，不符合题意； C、由合比性质，得，故C正确，不符合题意； D、由合比性质，得，故D正确，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的运算，根据正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值，进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：D． 3. 如图是二次函数图象，使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 4. 已知点，均在抛物线上，则下列说法中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线解析式可得出抛物线对称轴直线为y轴，开口向上．然后利用二次函数的图像和性质一一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴直线， ∴抛物线对称轴直线为y轴，开口向上． ．若，则，原说法错误，故该选项不符合题意； ．若，则，原说法错误，故该选项不符合题意； ．若，则y随x的增大而增大，则，原说法错误，故该选项不符合题意； ．若 ，则y随x的增大而减小，则，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 已知抛物线的对称轴为直线，记，，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴公式以及实数大小的比较，解题关键是利用作差法比较实数大小．由抛物线对称轴公式，计算得出，再利用作差法比较和的大小即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的对称轴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．首先根据题意可知，再结合位似图形的性质可得，结合解得的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点是位似中心， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（ ）． A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，再利用相似三角形的性质和面积公式，逐一判断即可解答，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，故A不成立； , ，即，故B不成立； ， ， ，即，故C成立； , ，故D不成立， 故选：C． 9. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线，其中正确的结论是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值大于时的函数值 D. 点一定在此抛物线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线开口向下，交轴于正半轴得出，，即可判断A；由抛物线的对称性得出点关于直线的对称点为，即可判断B；由抛物线的对称性得出横坐标是的点的对称点的横坐标为，结合二次函数的性质即可判断③；求出，结合点的对称点是即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴于正半轴， ∴，， ∴，故A结论错误； ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故B结论错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴横坐标是的点关于对称轴对称点的横坐标为， ∵， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值，故C结论错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故D结论正确； 故选：D． 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（ ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，则，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 12. 已知由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，是由抛物线和抛物线组成的“月牙线”，则k的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与x轴交点，先求得抛物线与x轴的交点，结合题意可知抛物线与x轴的交点也相同，代入即可求得k． 【详解】解：令，则，解得，抛物线与x轴的交点为和， ∵由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线” ∴抛物线与x轴的交点为和， 则，解得 故答案为2． 13. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设正方形的边长为x，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程求解即可； 【详解】设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． （1）若，则________． （2）若，则k可取的最大整数值为________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切，相似三角形的判定和性质，不等式等知识的综合运用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，运用勾股定理可得，，如图，延长交于点，根据正切值的计算可得，根据，可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据（1）的计算方法可得，，解得，，由，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，设，则， 由（1）可得，，，且， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（无解）， 解得，， ∵取最大整数， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键． （1）分别找出A、B、C关于轴对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形； （2）连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接，如图所示， 就是所求三角形，再结合的位置，可得其坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； ∵， 与位似，且位似比为2， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出的长度，再根据在中各边的长度求出的余弦，根据余弦值求出的度数． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，， ； ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形．解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值． 18. 如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再证明，据此根据相似三角形的性质建立比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求A，B两点的坐标； （2）若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与面积问题，解题的关键是： （1）令，则，解方程即可求解； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，然后把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 20. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 六、（本大题满分12分） 21. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 七、（本大题满分12分） 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 八、（本大题满分14分） 23. 抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． （3）如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点，对称轴为直线，利用待定系数法即可求解； （2）求得，，，得直线的解析式为，直线的解析式为，设点，求得直线的解析式为，进而求得，根据结合二次函数的性质即可求解； （3）设点，，求得直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，直线，的交点在直线上运动，求得，可知，整理得，结合直线的解析式，当时，，进而可知直线经过定点． 【小问1详解】 解：由题意可得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线过点， ∴，可得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 当时，，解得：，， 即：，， 当时，，即：， 设直线的解析式为：，可得，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得，解得：， ∴， 则 ， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 过定点，理由如下： 设点，， 设直线的解析式为：，代入，， 有，解得：， 即直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∵直线，的交点在直线上运动， ∴， 解①得：，解②得， 即：，整理得：， 即：直线的解析式为：， 当时，， 即：直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$